最新高考数学必备独家专题参数方程

第二节 参数方程

A 组 基础题组

1.在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为{x =-8+t ,

y =t 2(t 为参数),曲线C 的参数方程为{x =2s 2,

y =2√2s (s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值.

解析 易知直线l 的普通方程为x-2y+8=0. 因为点P 在曲线C 上,所以可设P(2s 2

,2√2s), 从而点P 到直线l 的距离d=

2√2s+8√12+(-2)

2

=

√2)2

√5

.

当s=√2时,d min =

4√5

5

. 因此当点P 的坐标为(4,4)时,曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值4√5

5

. 2.已知曲线C 的参数方程为{

x =6cosθ,

y =4sinθ

(θ为参数),在同一平面直角坐标系中,将曲线C 上

的点按坐标变换{x '=1

3x ,

y '=1

4y 得到曲线C'. (1)求曲线C'的普通方程;

(2)若点A 在曲线C'上,点D(1,3),当点A 在曲线C'上运动时,求AD 的中点P 的轨迹方程. 解析 (1)将{x =6cosθ,y =4sinθ代入{x '=1

3x ,y '=14y ,得曲线C'的参数方程为{x '=2cosθ,

y '=sinθ, ∴曲线C'的普通方程为

x '2

4

+y'2=1.

(2)设点P(x,y),A(x 0,y 0), ∵D(1,3),且AD 的中点为P, ∴{

x 0=2x -1,

y 0=2y -3,

又点A 在曲线C'上, ∴(2x-1)2+4(2y-3)2=4,

∴动点P 的轨迹方程为(2x-1)2+4(2y-3)2=4.

3.(2018合肥第一次质量检测)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1:{

x =3cosθ,

y =2sinθ

(θ为参数),

在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ-2cos θ=0. (1)求曲线C 2的直角坐标方程;

(2)若曲线C 1上有一动点M,曲线C 2上有一动点N,求|MN|的最小值. 解析 (1)由ρ-2cos θ=0得ρ2-2ρcos θ=0. ∵ρ2=x 2+y 2,ρcos θ=x,∴x 2+y 2-2x=0, 即曲线C 2的直角坐标方程为(x-1)2+y 2=1. (2)由(1)可知,圆C 2的圆心为C 2(1,0),半径为1. 设曲线C 1上的动点M(3cos θ,2sin θ), 由动点N 在圆C 2上可得|MN|min =|MC 2|min -1.

∵|MC 2|=√(3cosθ-1)2

+4sin 2θ=√5cos 2,

∴当cos θ=3

5时,|MC 2|min =4√5

5

, ∴|MN|min =|MC 2|min -1=

4√5

5

-1. 4.(2018昆明高三摸底调研)在平面直角坐标系xOy 中,已知倾斜角α的直线l 过点A(2,1).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ,直线l 与曲线C 分别交于P,Q 两点.

(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程; (2)若|PQ|2=|AP|·|AQ|,求直线l 的斜率k. 解析 (1)直线l 的参数方程为{

x =2+tcosα,

y =1+tsinα

(t 为参数).

曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2y.

(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程,得t 2+(4cos α)t+3=0,由Δ=(4cos α)2-4×3>0,得cos 2 α>3

4,

由根与系数的关系,得t 1+t 2=-4cos α,t 1·t 2=3,

由参数的几何意义知,|AP|=|t 1|,|AQ|=|t 2|,|PQ|=|t 1-t 2|, 由题意知,(t 1-t 2)2=t 1·t 2,则(t 1+t 2)2=5t 1·t 2, 得(-4cos α)2=5×3,解得cos 2α=15

16,

满足cos 2α>3

4,所以sin 2α=1

16,tan 2α=1

15,所以直线l 的斜率k=tan α=±√15

15.

B 组 提升题组

1.(2018课标全国Ⅲ,22,10分)在平面直角坐标系xOy 中,☉O 的参数方程为{x =cosθ,

y =sinθ

(θ

为参数),过点(0,-√2)且倾斜角为α的直线l 与☉O 交于A,B 两点. (1)求α的取值范围;

(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程. 解析 (1)☉O 的直角坐标方程为x 2+y 2=1. 当α=π

2时,l 与☉O 交于两点.

当α≠π

2时,记tan α=k,则l 的方程为y=kx-√2.l 与☉O 交于两点当且仅当|√2√1+k 2

|<1,解得

k<-1或k>1,即α∈(π

4,π

2)或α∈(π

2,3π4

).

综上,α的取值范围是(π

4,3π4

).

(2)l 的参数方程为{

x =tcosα,y =-√2+tsinα

(t 为参数,π4<α<3π

4).

设A,B,P 对应的参数分别为t A ,t B ,t P ,则t P =t A +t B 2

,且t A ,t B 满足t 2-2√2tsin α+1=0.

于是t A +t B =2√2sin α,t P =√2sin α. 又点P 的坐标(x,y)满足{

x =t P cosα,

y =-√2+t P sinα.

所以点P 的轨迹的参数方程是

{x =√2

2sin2α,y =-√22-√2

2cos2α

(α为参数,π4<α<3π4).

2.直线l 的参数方程为{x =1+1

2t ,

y =√3

2t (t 为参数),曲线C 的极坐标方程为(1+sin 2θ)ρ2

=2. (1)写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程; (2)设直线l 与曲线C 相交于A,B 两点,若点P 为(1,0),求

1|PA |

2+

1|PB |

2

的值.

解析 (1)消去参数t 得直线l 的普通方程为√3x-y-√3=0.

曲线C 的极坐标方程为ρ2

+ρ2

sin 2

θ=2,化为直角坐标方程为x 2

+2y 2

=2,即x 2

2+y 2=1. (2)将直线l 的参数方程代入曲线C:x 2+2y 2=2,得7t 2+4t-4=0.