牛顿定律及应用举例
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2
mg
Rh r R sin ， cos R
h R
g
2
第二章 牛顿定律
例12 如图长为 l 的轻绳，一端系质量为 m 的小球, o 另一端系于定点 ， 时小球位于最低位置，并具 t 0 有水平速度 v0 ，求小球在任意位置的速率及绳的张力. 解
FT mgcos man mgsin mat
m2 注意：（1）先设定正方向，再列式子; （2）注意正负号表示方向与设定正方向相同相反。
例8 上题中,若 m2 为圆柱体，细绳从圆 柱体中间的细孔中穿过，圆柱体可沿绳 子滑动，今看到柱体相对于绳子以匀加 速a下滑,求 m1 , m2 相对于地面的加速度, 绳的张力以及柱体与绳子间摩擦力.
m1
m1
m2
k 极限速度，又称收尾速度 t mg B V (1 e m ) (即最后物体做近似匀速直线的速度) k
例18 质量为 m 的物体自空中落下，它除受重力外， 还受到一个与速度平方成正比的阻力的作用。比例系数 为 k ， k 为正常数。该下落物体的收尾速度(即最后物体 做近似匀速直线运动的速度)将是：
第二章 牛顿定律
例1．有体重相等的甲乙两人，分别抓住一跨过无摩 擦的定滑轮的轻柔绳的两端，开始时处于同一高度并 相对于地面静止，现令他们同时开始往上爬，且知甲 相对于绳子的速率是乙相对于绳子速率的两倍，则 （A）甲先到达顶部； （B）乙先到达顶部； （C）同时到达顶部； （D）不能确定谁先到达顶部。 例2．两个质量相等的小球，由一 轻弹簧相连接，再用细线悬挂于 天花板上，处于静止状态，如图 所示。将细线剪断的瞬间，求球1 和球2的加速度。
第二章 牛顿定律
第二章 牛顿定律
第二章 牛顿定律
第二章 牛顿定律
英国伟大的物理学家、数学家、天文学家。 牛顿在自然科学领域里作了奠基的贡献，堪称科 学巨匠。 牛顿出生于英国北部林肯郡的一个农民家庭。 1661年考上剑桥大学特里尼蒂学校，1665年毕业， 当时正赶上鼠疫，牛顿回家避疫两年，期间几乎考 虑了他一生中所研究的各个方面，特别是他一生中 的几个重要贡献：万有引力定律、经典力学、微积 分和光学。 牛顿运动定律是研究物体相互作用与机械运动 关系的定律，通过本章我们学习用牛顿定律解决问 题思路和方法。
Fy may dv F ma m mr , dt 若取自然坐标系,则有 v2 Fn m an m m r 2 r 3. 利用其它的约束条件补充联系方程；
若取直角坐标系,则有 Fx max ,
4. 先用文字符号求解，后代入数据计算结果.
第二章 牛顿定律
（C）θ =arctg(Rω 2/g) （D）需由小珠质量决定
第二章 牛顿定律
例11 在一只半径为R 的半球形碗内，有一质量为
m的小球，当球以角速度 在水平面内沿碗内壁作匀
速圆周运动时,它离碗底有多高？
R
FN
m h
解：设小球位置如图
r
m
FN cos mg
FN sin m r
0.45m
第二章 牛顿定律
例16．一质量为1kg的物体沿X轴无摩擦地运动，设 t 0 时，x0 0, v0 0, 求 （1）物体在力 F 0.3 0.4t (N) 的作用下运动了3秒钟，
它的速度和加速度增为多大？ （2）物体在力 F 0.3 0.4 x (N) 的作用下运动了3米， 它的速度和加速度增为多大？
(1) Vt 3s 2.7 (m / s)
(2) Vx3m 2.32 (m / s)
at 3s 1.5 (m / s2 ) ax3m 1.5 (m / s 2 )
第二章 牛顿定律
例17 计算小球 m在水中竖直沉降的速度。已知水对小 球的浮力为 B 不变，水对小球的粘滞力 R k v ，式 中 k 是和水的粘性、小球半径有关的一个常量。
mg (A) . k
g (B) . 2k
(C) gk.
(D) gk.
第二章 牛顿定律
例19 一物体自地面以速率 v0 竖直上抛。假定空气对 2 f kmv ，其中 m 为物体的质量， 物体阻力的大小为
k 为常量。试求：
T cos N sin ma (1) T sin N cos mg
(2) a g cot
m
a
第二章 牛顿定律
例7 如图，滑轮和绳子的质量不计，滑轮与轴间的摩 擦力不计.且 m1 m2. 求重物释放后,物体加速度和绳 的张力.
m1 m2 2m1m2 a1 a2 g, T g m1 m2 m1 m2
2
dv mg sin m dt dv dv d v dv dt d dt l d
FT mgcos mv / l
o
FT e
n
v0 m g
et
v
2 v v0 2lg (cos 1)
v
v0
vdv gl sin d
0
mB g
N AB
TB
f AB
NB
N AB fB mB g
F
第二章 牛顿定律
第五节 牛顿定律应用举例
第二章 牛顿定律
运用牛顿定律解决问题的思路和方法
1. 确定研究对象进行受力分析; (隔离物体，画受力图，不要画力的分解图） 2. 取坐标系,根据 F m a 列方程（一般用分量式）:
第二章 牛顿定律
例9 如图，长为1米的圆锥摆，如果 摆角为 30 ，摆的周期是多少？
l
l cos T 2 g
r
o
例10 一小环可在半径为R的大圆环上无摩擦地滑动， 大圆环以其竖直直径为轴转动。当圆环以恒定角速度ω 转动，小环偏离圆环转轴而且相对圆环静止时，小环所 在处圆环半径偏离竖直方向的角度θ 为 （A）θ =π /2 （B）θ =arccos(g/Rω 2)
第二章 牛顿定律
二. 几种常见力 1、 万有引力 重力 2、 弹性力
m1m2 F G 2 G 6.67 1011 N m2 kg2 r -2 g 9.80m s P mg ,
（压力,支持力,张力, 弹簧弹力等）
一些弹簧弹力，在弹性限度内遵从： F k x 3、 摩擦力 滑动摩擦力 静摩擦力
F0 (M m) g tan NMm mg / cos NM Mg mg
m
F0
M
题6图
第二章 牛顿定律
例5 一个粗糙的刚球 m 放在倾角为 的斜面上，如图， AB挡板垂直于水平面，圆球处于静止状态。 （1）求圆球对斜面的正压力，挡板对小球的正压力； （2）竖直挡板被迅速拿开的瞬间，小球获得的加速度。
思考题
1. 物体的运动方向和合外力是否一定相同？ 2. 物体受到几个力的作用，是否一定产生加速度？ 3. 物体运动的速率不变，所受合外力是否为零？ 4. 物体速度很大，所受到的合外力是否也很大？ 5. 用绳子系一物体，在竖直平面内作圆周运动，当这物 体达到最高点时，（1）有人说这时物体受到三个力： 重力，绳子拉力以及向心力。是否正确？ （2） 有人说这三个力的方向都是向下的，但物体不下 落，可见物体还受到一个方向向上的离心力和这些力平 衡着。是否正确？
A
N1 mg / cos N2 mg tan
a g tan
B
第二章 牛顿定律
例6 如图,设质量 m 0.50kg 的小球挂在倾角为 30
，
的光滑斜面上。 （1）求当斜面以 a 2.0m s2 向右运动时，绳中的
张力及小球对斜面的正压力；
（2）当 a = ? 时小球将脱离斜面.
第二章 牛顿定律
二. 说明
1. 牛顿运动定律为实验定律。 2. 适用范围：（1）质点，（2）低速；（3）惯性系。 惯性系：牛顿第一定律成立的参照系叫惯性系。 例：加速向前的车子里,一光滑桌面上放一小球。 参考系： 地面 加速向前的车 a’ 惯性系 非惯性系
a
一般地，地面或相对于地面作匀速直线运动的参考系 都是比较理想的惯性系。
(a1 2 g , a2 0)
第二章 牛顿定律
例3 如图，质量为M 的小车，在光滑轨道上受恒力 F 作用，有一质量为 m 的物块放在车上，随小车一起运 动，求物块受到的摩擦力。
mF f a总m mM
m
M
F
例4 如图，斜面与水平桌面间、木块与斜面均无摩擦。 今要使木块相对于斜面静止，则水平力 F0 ? m 与M 间的正压力为? M 对水平桌面的正压力等于 ?
2 v0 FT m( 2 g 3g cos ) l
第二章 牛顿定律
例13 质量为m的物体在摩擦系数为 的平面上作匀速 直线运动，问当力与水平面成 角多大时最省力？
解： 建立坐标系，受力分 析，列受力方程。
y N
F F
x
F cos N 0 N F sin mg 0
方向：总是和相对运动（或趋势）的方向相反。
大小： f滑 滑 N 说明： a、一般情况 滑 静 ； b、
f静m 静 N
N
为正压力。
第二章 牛顿定律
画隔离体图
F
A B
A B
F
轻质绳子，滑轮光滑
f
N
N BA
F
mg
A
mA g
NB
B
A TA
N BA
mA g
B
f BA
第二章 牛顿定律
(2)牛顿第二定律
单位：m ,kg ;
F ,N 。
a. 建立起物体受力与物体运动之间的定量关系；
b. 给出了惯性的确切定义：质量是物体惯性的量度； 质量越大惯性越大,改变物体的运动状态就越不容易；
c. 牛顿第二定律的表述：
d (m v ) F dt
v c 时，m 为常量，取国际单位，则：
f
o
mg 联立求解： F mg cos sin 分母有极大值时，F 有极小值， y cos sin
dy / d 0, d 2 y / d 2 0,
arctan
第二章 牛顿定律
例14 质量为 m 的物体，在 F = F0kt 的外力作用下 沿 x 轴运动，已知 t = 0 时，x0= 0,v0= 0, 求：物体在 任意时刻的加速度 a，速度 v 和位移 x 。
第二章 牛顿定律
第一节
1. 牛顿第一定律
牛顿运动三定律
一. 牛顿运动三定律
任何物体都保持其静止或匀速直线运动的状态， 直到有外力迫使它改变运动状态为止。 2. 牛顿第二定律
物体受外力作用时，所获得的加速度 F 大小与物体所受的合外力成正比，与物体 a m 质量成反比，方向与合外力的方向一致。 3. 牛顿第三定律 作用力与反作用力大小相等，方 F 1 2 F 21 向相反，作用在一条直线上。
第二章 牛顿定律
3. 牛顿三定律是相互独立的。
(1)牛顿第一定律不能仅仅认为是牛顿第二定律的特例。
a. 它说明了运动和力的关系；
b. 它实际上提出了惯性的概念，牛顿第一定律是定义、 寻找、检查惯性系的依据。
惯性是物体固有的，物体的惯性有平动惯性和转动 惯性，质点作平动时只需考虑平动惯性。
物体在外力的作用下，从静止开始运动，是 判断: 由于外力克服了物体的惯性。 答案：错误，物体的惯性是不能克服的。
F ma
为瞬时对应Fra Baidu bibliotek系.
第二章 牛顿定律
若质点同时受几个力的作用，则： F F1 F2 F3 a a1 a2 a3 m m (3)牛顿第三定律
为力的叠 加原理。
d.牛顿第二定律只适用于惯性参照系,非惯性系不适用.
a. 提出作用力和反作用力，它们是同种性质的力， 总是同时产生，同时消失。 b. 说明系统的内力之和总是零。 c. 牛顿第三定律适用于任何参照系。 d. 注意和平衡力的区别。 4.引力质量和惯性质量
F0 kt a m
F0 k 2 v t t m 2m
F0 2 k 3 x t t 2m 6m
例15 一质量为 2 103 kg 的子弹，在枪筒中前进时 8000 x (N) ，子弹在 所受到的合力： F 400 9 300m s1 。试计算枪筒的长度。 枪口时的速度为
mg
Rh r R sin ， cos R
h R
g
2
第二章 牛顿定律
例12 如图长为 l 的轻绳，一端系质量为 m 的小球, o 另一端系于定点 ， 时小球位于最低位置，并具 t 0 有水平速度 v0 ，求小球在任意位置的速率及绳的张力. 解
FT mgcos man mgsin mat
m2 注意：（1）先设定正方向，再列式子; （2）注意正负号表示方向与设定正方向相同相反。
例8 上题中,若 m2 为圆柱体，细绳从圆 柱体中间的细孔中穿过，圆柱体可沿绳 子滑动，今看到柱体相对于绳子以匀加 速a下滑,求 m1 , m2 相对于地面的加速度, 绳的张力以及柱体与绳子间摩擦力.
m1
m1
m2
k 极限速度，又称收尾速度 t mg B V (1 e m ) (即最后物体做近似匀速直线的速度) k
例18 质量为 m 的物体自空中落下，它除受重力外， 还受到一个与速度平方成正比的阻力的作用。比例系数 为 k ， k 为正常数。该下落物体的收尾速度(即最后物体 做近似匀速直线运动的速度)将是：
第二章 牛顿定律
例1．有体重相等的甲乙两人，分别抓住一跨过无摩 擦的定滑轮的轻柔绳的两端，开始时处于同一高度并 相对于地面静止，现令他们同时开始往上爬，且知甲 相对于绳子的速率是乙相对于绳子速率的两倍，则 （A）甲先到达顶部； （B）乙先到达顶部； （C）同时到达顶部； （D）不能确定谁先到达顶部。 例2．两个质量相等的小球，由一 轻弹簧相连接，再用细线悬挂于 天花板上，处于静止状态，如图 所示。将细线剪断的瞬间，求球1 和球2的加速度。
第二章 牛顿定律
第二章 牛顿定律
第二章 牛顿定律
第二章 牛顿定律
英国伟大的物理学家、数学家、天文学家。 牛顿在自然科学领域里作了奠基的贡献，堪称科 学巨匠。 牛顿出生于英国北部林肯郡的一个农民家庭。 1661年考上剑桥大学特里尼蒂学校，1665年毕业， 当时正赶上鼠疫，牛顿回家避疫两年，期间几乎考 虑了他一生中所研究的各个方面，特别是他一生中 的几个重要贡献：万有引力定律、经典力学、微积 分和光学。 牛顿运动定律是研究物体相互作用与机械运动 关系的定律，通过本章我们学习用牛顿定律解决问 题思路和方法。
Fy may dv F ma m mr , dt 若取自然坐标系,则有 v2 Fn m an m m r 2 r 3. 利用其它的约束条件补充联系方程；
若取直角坐标系,则有 Fx max ,
4. 先用文字符号求解，后代入数据计算结果.
第二章 牛顿定律
（C）θ =arctg(Rω 2/g) （D）需由小珠质量决定
第二章 牛顿定律
例11 在一只半径为R 的半球形碗内，有一质量为
m的小球，当球以角速度 在水平面内沿碗内壁作匀
速圆周运动时,它离碗底有多高？
R
FN
m h
解：设小球位置如图
r
m
FN cos mg
FN sin m r
0.45m
第二章 牛顿定律
例16．一质量为1kg的物体沿X轴无摩擦地运动，设 t 0 时，x0 0, v0 0, 求 （1）物体在力 F 0.3 0.4t (N) 的作用下运动了3秒钟，
它的速度和加速度增为多大？ （2）物体在力 F 0.3 0.4 x (N) 的作用下运动了3米， 它的速度和加速度增为多大？
(1) Vt 3s 2.7 (m / s)
(2) Vx3m 2.32 (m / s)
at 3s 1.5 (m / s2 ) ax3m 1.5 (m / s 2 )
第二章 牛顿定律
例17 计算小球 m在水中竖直沉降的速度。已知水对小 球的浮力为 B 不变，水对小球的粘滞力 R k v ，式 中 k 是和水的粘性、小球半径有关的一个常量。
mg (A) . k
g (B) . 2k
(C) gk.
(D) gk.
第二章 牛顿定律
例19 一物体自地面以速率 v0 竖直上抛。假定空气对 2 f kmv ，其中 m 为物体的质量， 物体阻力的大小为
k 为常量。试求：
T cos N sin ma (1) T sin N cos mg
(2) a g cot
m
a
第二章 牛顿定律
例7 如图，滑轮和绳子的质量不计，滑轮与轴间的摩 擦力不计.且 m1 m2. 求重物释放后,物体加速度和绳 的张力.
m1 m2 2m1m2 a1 a2 g, T g m1 m2 m1 m2
2
dv mg sin m dt dv dv d v dv dt d dt l d
FT mgcos mv / l
o
FT e
n
v0 m g
et
v
2 v v0 2lg (cos 1)
v
v0
vdv gl sin d
0
mB g
N AB
TB
f AB
NB
N AB fB mB g
F
第二章 牛顿定律
第五节 牛顿定律应用举例
第二章 牛顿定律
运用牛顿定律解决问题的思路和方法
1. 确定研究对象进行受力分析; (隔离物体，画受力图，不要画力的分解图） 2. 取坐标系,根据 F m a 列方程（一般用分量式）:
第二章 牛顿定律
例9 如图，长为1米的圆锥摆，如果 摆角为 30 ，摆的周期是多少？
l
l cos T 2 g
r
o
例10 一小环可在半径为R的大圆环上无摩擦地滑动， 大圆环以其竖直直径为轴转动。当圆环以恒定角速度ω 转动，小环偏离圆环转轴而且相对圆环静止时，小环所 在处圆环半径偏离竖直方向的角度θ 为 （A）θ =π /2 （B）θ =arccos(g/Rω 2)
第二章 牛顿定律
二. 几种常见力 1、 万有引力 重力 2、 弹性力
m1m2 F G 2 G 6.67 1011 N m2 kg2 r -2 g 9.80m s P mg ,
（压力,支持力,张力, 弹簧弹力等）
一些弹簧弹力，在弹性限度内遵从： F k x 3、 摩擦力 滑动摩擦力 静摩擦力
F0 (M m) g tan NMm mg / cos NM Mg mg
m
F0
M
题6图
第二章 牛顿定律
例5 一个粗糙的刚球 m 放在倾角为 的斜面上，如图， AB挡板垂直于水平面，圆球处于静止状态。 （1）求圆球对斜面的正压力，挡板对小球的正压力； （2）竖直挡板被迅速拿开的瞬间，小球获得的加速度。
思考题
1. 物体的运动方向和合外力是否一定相同？ 2. 物体受到几个力的作用，是否一定产生加速度？ 3. 物体运动的速率不变，所受合外力是否为零？ 4. 物体速度很大，所受到的合外力是否也很大？ 5. 用绳子系一物体，在竖直平面内作圆周运动，当这物 体达到最高点时，（1）有人说这时物体受到三个力： 重力，绳子拉力以及向心力。是否正确？ （2） 有人说这三个力的方向都是向下的，但物体不下 落，可见物体还受到一个方向向上的离心力和这些力平 衡着。是否正确？
A
N1 mg / cos N2 mg tan
a g tan
B
第二章 牛顿定律
例6 如图,设质量 m 0.50kg 的小球挂在倾角为 30
，
的光滑斜面上。 （1）求当斜面以 a 2.0m s2 向右运动时，绳中的
张力及小球对斜面的正压力；
（2）当 a = ? 时小球将脱离斜面.
第二章 牛顿定律
二. 说明
1. 牛顿运动定律为实验定律。 2. 适用范围：（1）质点，（2）低速；（3）惯性系。 惯性系：牛顿第一定律成立的参照系叫惯性系。 例：加速向前的车子里,一光滑桌面上放一小球。 参考系： 地面 加速向前的车 a’ 惯性系 非惯性系
a
一般地，地面或相对于地面作匀速直线运动的参考系 都是比较理想的惯性系。
(a1 2 g , a2 0)
第二章 牛顿定律
例3 如图，质量为M 的小车，在光滑轨道上受恒力 F 作用，有一质量为 m 的物块放在车上，随小车一起运 动，求物块受到的摩擦力。
mF f a总m mM
m
M
F
例4 如图，斜面与水平桌面间、木块与斜面均无摩擦。 今要使木块相对于斜面静止，则水平力 F0 ? m 与M 间的正压力为? M 对水平桌面的正压力等于 ?
2 v0 FT m( 2 g 3g cos ) l
第二章 牛顿定律
例13 质量为m的物体在摩擦系数为 的平面上作匀速 直线运动，问当力与水平面成 角多大时最省力？
解： 建立坐标系，受力分 析，列受力方程。
y N
F F
x
F cos N 0 N F sin mg 0
方向：总是和相对运动（或趋势）的方向相反。
大小： f滑 滑 N 说明： a、一般情况 滑 静 ； b、
f静m 静 N
N
为正压力。
第二章 牛顿定律
画隔离体图
F
A B
A B
F
轻质绳子，滑轮光滑
f
N
N BA
F
mg
A
mA g
NB
B
A TA
N BA
mA g
B
f BA
第二章 牛顿定律
(2)牛顿第二定律
单位：m ,kg ;
F ,N 。
a. 建立起物体受力与物体运动之间的定量关系；
b. 给出了惯性的确切定义：质量是物体惯性的量度； 质量越大惯性越大,改变物体的运动状态就越不容易；
c. 牛顿第二定律的表述：
d (m v ) F dt
v c 时，m 为常量，取国际单位，则：
f
o
mg 联立求解： F mg cos sin 分母有极大值时，F 有极小值， y cos sin
dy / d 0, d 2 y / d 2 0,
arctan
第二章 牛顿定律
例14 质量为 m 的物体，在 F = F0kt 的外力作用下 沿 x 轴运动，已知 t = 0 时，x0= 0,v0= 0, 求：物体在 任意时刻的加速度 a，速度 v 和位移 x 。
第二章 牛顿定律
第一节
1. 牛顿第一定律
牛顿运动三定律
一. 牛顿运动三定律
任何物体都保持其静止或匀速直线运动的状态， 直到有外力迫使它改变运动状态为止。 2. 牛顿第二定律
物体受外力作用时，所获得的加速度 F 大小与物体所受的合外力成正比，与物体 a m 质量成反比，方向与合外力的方向一致。 3. 牛顿第三定律 作用力与反作用力大小相等，方 F 1 2 F 21 向相反，作用在一条直线上。
第二章 牛顿定律
3. 牛顿三定律是相互独立的。
(1)牛顿第一定律不能仅仅认为是牛顿第二定律的特例。
a. 它说明了运动和力的关系；
b. 它实际上提出了惯性的概念，牛顿第一定律是定义、 寻找、检查惯性系的依据。
惯性是物体固有的，物体的惯性有平动惯性和转动 惯性，质点作平动时只需考虑平动惯性。
物体在外力的作用下，从静止开始运动，是 判断: 由于外力克服了物体的惯性。 答案：错误，物体的惯性是不能克服的。
F ma
为瞬时对应Fra Baidu bibliotek系.
第二章 牛顿定律
若质点同时受几个力的作用，则： F F1 F2 F3 a a1 a2 a3 m m (3)牛顿第三定律
为力的叠 加原理。
d.牛顿第二定律只适用于惯性参照系,非惯性系不适用.
a. 提出作用力和反作用力，它们是同种性质的力， 总是同时产生，同时消失。 b. 说明系统的内力之和总是零。 c. 牛顿第三定律适用于任何参照系。 d. 注意和平衡力的区别。 4.引力质量和惯性质量
F0 kt a m
F0 k 2 v t t m 2m
F0 2 k 3 x t t 2m 6m
例15 一质量为 2 103 kg 的子弹，在枪筒中前进时 8000 x (N) ，子弹在 所受到的合力： F 400 9 300m s1 。试计算枪筒的长度。 枪口时的速度为