机器人的力控制讲解

假设机器人的动力方程如下
Hq Cq g(q)
（25）
其中，H为惯量矩阵，C 为阻尼矩阵，g(q) 为重力项， 为关节
空间的力或力矩矢量。
位置型阻抗控制的控制律为
gˆ(q) J T Kp (xd x) Kd xd x （26）
其中，gˆ (q) 为重力补偿项，K p 为刚度系数矩阵，Kd 为阻尼系数
主动柔顺具有阻抗控制、力位混合控制和动态混合控制等类型。 阻抗控制 通过力与位置之间的动态关系实现柔顺控制。阻抗控制的静 态，即力和位置的关系，用刚性矩阵描述。阻抗控制的动态， 即力和速度的关系，用粘滞阻尼矩阵描述。
力位混合控制 分别组成位置控制回路和力控制回路，通过控制律的综合实 现柔顺控制。
V

1 2
eTx K pex
qT Hq
其中， ex xd x 。
（30）
对式（30）求导数，并将式（28）代入，得
V eTx K pex qT J T K pex KDex qTCq 考虑 xd 为常数的情况。此时，有下式成立
eTx xT qT J T 将式（32）代入式（31）中，得
2、位置型阻抗控制
原理
位置型阻抗控制，是指机器人末端没有受到外力作用时，通过 位置与速度的协调而产生柔顺性的控制方法。位置型阻抗控制， 根据位置偏差和速度偏差产生笛卡尔空间的广义控制力，转换 为关节空间的力或力矩后，控制机器人的运动。
框图
图3. 位置型阻抗控制
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机器人末端表现出希望的刚度。
三、 阻抗控制主动柔顺
阻抗控制主动柔顺，是指通过力与位置之间的动态关系 实现的柔顺控制。
阻抗控制可以划分为：
力反馈型阻抗控制 位置型阻抗控制 柔顺型阻抗控制
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三、 阻抗控制主动柔顺
1、力反馈型阻抗控制
将利用力传感器测量到的力信号引入位置控制系统，可以 构成力反馈型阻抗控制。图2所示是一种力反馈型阻抗控制的 框图。
该位置控制是建立在微分运动基础上的。 当机器人的当前位置与期望位置存在较大的偏差时，该位置
控制中的笛卡尔位置偏差与关节位置偏差的转换将不准确。为 了避免系统振荡，位置控制系数 K p 不应选择过大。
力反馈的引入降低了机器人末端的刚度。 当末端受到外力或力矩时，力反馈的引入使得位置可以存
在一定的偏差，从而使末端表现出柔顺性。K fp 越大，末端刚 度越低。
一 刚度与柔顺 工业机器人的笛卡尔空间静
二 力与关节空间静力的转换 三 阻抗控制主动柔顺 四 力和位置混合控制
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一、 刚度与柔顺
1、机器人的刚度
为了达到期望的机器人末端位置和姿态，机器人所能够表 现的力或力矩的能力。
影响机器人末端端点刚度的因素，主要有：
连杆的挠性（flexibility）
作为给定，速度反馈由关节速度利用雅可比矩阵
力反馈引入位置控制和速度控制后，机器人末端表现出一定的柔顺 性，其刚度降低，并具有粘滞阻尼特性。
位置控制部分
由图2可知，其输出 q1 为
q1 K p J 1 xd T (q) K fpF
（21）
其中：xd 为期望位置； T 为机器人的运动学方程，即基坐标系到末端坐标系的变换矩阵；
矩阵，xd 为机器人的期望位置，xd 为机器人的期望速度，x 为机器
人的当前位置，x为机器人的当前速度， 为机器人的力矩矢量。
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将式（26）代入式（25）中，得到位置型阻抗控制的动力学方程
Hq Cq g(q) gˆ(q) J T Kp (xd x) Kd xd x （27）
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机器人的力控制
机器人的力控制，着重研究如何控制机器人的各个 关节使其末端表现出一定的力和力矩特性，是利用机器 人进行自动加工（如装配等）的基础。
工业机器人的力控制分为：
关节空间的力控制
力控制
笛卡尔空间的力控制
柔顺控制
主动阻抗控制 力和位置混合控制
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主要内容
利用主动刚性控制，可以使特定方向的刚度降低或加强。图1 为主动刚性控制框图。
图1. 主动刚性控制框图 图中，K p 是末端笛卡尔坐标系的刚性对称矩阵，可以人为设定。 注：该方案通过对关节位置的控制，使机器人末端表现出一定的
刚度。
对于关节空间的位置偏差 qd q ，利用雅可比矩阵J 将其转换为
q 是关节位置矢量；
F 是机器人末端的广义力； J 是雅可比矩阵； K fp是位置控制部分的力与位置变换系数； K p 是位置控制系数。
由第二章式（2-207）可知
dq J 1D J 1 xd T(q) （22）
结合式（21）和式（22），可得出如下结论：
该位置控制为积分控制。 采用增量输出，使得该位置控制具有积分作用。
图2. 力反馈型阻抗控制
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在不考虑力反馈通道时，图2所示系统是一个基于雅可比矩阵的 增量式控制系统。它由位置控制和速度控制两部分构成。
位置控制部分
以期望的位置 xd 作为给定，位置反馈由关节位置利用运动学方程 计算获得。
速度控制部分
以期望的速度 计算获得。
xd
速度控制部分
由图2可知，其输出 q2 为
q2 Kv J 1 xd Jq K fvF
（23）
其中：xd 为期望速度；
q 是关节速度矢量；
K fv是速度控制部分的力与位置变换系数；
Kv 是速度控制系数。
一般地，雅可比矩阵J 是关节位置矢量的函数。在关节位置矢量的 小邻域内，可以认为 J 是常量。不考虑 J 的时变性，对式（2-207）求
（31） （32）
V eTx KDex qT Cq 0
（33）
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由于V 0 且 V 0，根据Lyapunov稳定性定理，系统是稳定的。
上述结论是在J 0 的前提下获得的。当J 0 时，由式（31）可
知，V 不能保证小于等于0。
对于J 0 时的情况，可以建立式（34）所示的正定Lyapunov函数
系C下的虚拟位移。
由第二章式（2-197）可知，基坐标系下的虚拟位移 D和坐标系 C
下的虚拟位移 CD 之间存在如下关系。

Cd Cd
x y

nx ox
ny oy
nz oz
( p n)x ( p o)x
( p n)y ( p o)y
( p n)z dx
Wq FqT dq
（7）
其中，Wq 是机器人在关节空间所做的虚功；
Fq f1 f2
fn T 是机器人关节空间的等效静力或静力矩；
dq dq1 dq2
dqn T 是关节空间的虚拟位移。
由第二章式（2-207）知，笛卡尔空间与关节空间的虚拟位移之
间存在如下关系
D J (q)dq
Hq Cq 0
（29）
此时，机器人各关节不再提供除重力补偿以外的力或力矩，机器
人处于无激励的平衡状态。另外，当机器人处于奇异位置时，J 0。
此时，机器人也处于无激励的平衡状态，但位置和速度均可能存
在误差。
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稳定性分析
为验证系统的稳定性，建立式（30）所示的正定Lyapunov函数。
ax
ay
az z
机器人在基坐标系和坐标系 C下所做的虚功相等。由式（3）、
（4）、（5）整理可得
C F (H T ) 1F
（6）
其中ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ矩阵 H 为不同坐标系下微分变换的等价变换矩阵，见式（5）。
2、笛卡尔空间与关节空间的静力变换
机器人在关节空间的虚功，可以表示为式（7）
机器人末端的位姿偏差。末端位姿偏差经过刚性对称矩阵 K p ， 转换为末端广义力，再通过力变换转换为关节空间的力或力矩。
上述主动刚性控制的控制律为
JT Kp J (qd q)
（20）
注：当 qd q 0 时，关节空间的控制力或力矩为0。 当 qd q 0 时，关节空间具有一定的控制力或力矩，从而使
动态混合控制
在柔顺坐标空间将任务分解为某些自由度的位置控制和另一些 自由度的力控制，然后将计算结果在关节空间合并为统一的关 节力矩。
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二、工业机器人的笛卡尔空间静力与关节空间静力的转换
关节空间的力或力矩与机器人末端的力或力矩具有 直接联系。通常，静力和静力矩可以用6维矢量表示。
一阶导数，得到式（24）。
dq J 1(xd x) J 1 xd Jq （24）
比较式（23）和式（24）可知，速度控制也是以微分运动为基础 的，而且是以 在关节位置矢量的小邻域内是常量为前提的。因此 ，速度控制的周期不应过长，以避免式（24）不成立，导致速度 估计不准确。另外，力反馈的引入增加了机器人末端的速度控制的 粘滞阻尼。当末端受到外力或力矩时，力反馈的引入使得速度可以 存在一定的偏差，从而使末端表现出柔顺性。K fv 越大，末端的粘 滞阻尼越大。
位置控制部分的输出q1 和速度控制部分的输出q2相加，作为 机器人的关节控制增量 q ，用于控制机器人的运动。因此，图2 所示的力反馈型阻抗控制，其本质上是以位置控制为基础的。
值得注意的是，对于上述力反馈型阻抗控制，机器人末端的刚 度在一个控制周期内是不受控制的，即机器人末端在一个控制周期 内并不具有柔顺性。
特点： 柔顺能力由机械装置提供，只能用于特定的任务；响应速度 快，成本低。
主动柔顺（active compliance）
是指通过对机器人进行专门的控制获得的柔顺能力。
通常，主动柔顺通过控制机器人各关节的刚度，使机器人末端表现出
所需要的柔顺性。
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一、 刚度与柔顺
（8）
其中， J (q) 为机器人的雅可比矩阵。
考虑到机器人在笛卡尔空间与关节空间的虚功是等价的，由 式（3）、（7）和（8）可得
Fq J (q)T F
（9）
注：式（9）给出了机器人末端在笛卡尔空间的广义静力与关节空 间的静力之间的等效关系，即笛卡尔空间与关节空间的静力变换。
3、主动刚性控制
设基坐标系下广义力 F 的虚拟位移为D ，如式（2）所示。
T
D dx dy dz x y z
（2）
则广义力 F 所做的虚功记为W ，见式（3）。
W FTD
在坐标系 下C，机器人所做的虚功CF 为
（3）
CW CFT CD
（4）
其中，CF是机器人在坐标系C下的广义力，CD 是机器人在坐标
如果重力补偿项 gˆ (q)能够完全补偿重力项 g(q)，则动力学方程
由式（27）转变为式（28）
Hq Cq J T Kp (xd x) Kd xd x
（28）
由式（28）可知，当机器人的当前位置到达期望位置，当前速度
达到期望速度时，xd x 0 ，xd x 0 ，式（28）成为式（29）。
F fx f y fz mx my mz T
（1）
其中，关F节为广义力矢量， fx f y fz 为静力，mx my mz
控制 笛为静力矩。
所谓静力变换，是指机器人在静止状态下的力或力 矩的变换。
柔顺控制
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1、不同坐标系间的静力变换
关节的机械形变
关节的刚度 为了达到期望的关节位置，该关节所能够表现的力或力矩
的能力。
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一、 刚度与柔顺
2、机器人的柔顺
指机器人的末端能够对外力的变化作出相应的响应，表现 为低刚度。
根据柔顺性是否通过控制方法获得，可将柔顺分为：
被动柔顺（passive compliance） 是指不需要对机器人进行专门的控制即具有的柔顺能力。
(
p

o)
z

d
y


Cdz
C x


a0x
ay 0
az 0
( p a)x nx
( p a)y ny
(
p
a) nz
z

d

z x


CD

HD
（5）

C
y

0
0
0
ox
oy
oz



y

Cz 0 0 0