二元 关系

7.4.1 关系的自反性和反自反性
定义7.10 设R是集合A上的二元关系，如果对于每个xA，都 有<x，x>R，则称二元关系R是自反的。 R在A上是自反的 x（x∈A<x，x>∈R）
定义7.11 设R是集合A上的二元关系，如果对于每个xA，都有 < x，x > R，则称二元关系R是反自反的。
7.2
笛卡儿积的概念
定义7.3 给定两个集合A和B，如果序偶的第一个分量
是A中的一个元素，第二个分量是B中的一个元素，则
所有这种序偶的集合称为集合A和B的笛卡儿积，简称
为卡氏积，记为A×B，即A×B={<x，y>x∈A∧y∈B}。
7.3笛卡儿积的性质 1.对任意集合A有:A=,A=; 2.笛卡儿积运算一般不满足交换律:AB≠BA; 3.一般也不满足交换律:(AB)C ≠A(B C). 4.笛卡儿积运算对并和交满足分配律,即设A，B，C为任意3个 集合，则有 （1）A×（B∪C）=（A×B）∪（A×C） （2）A×（B∩C）=（A×B）∩（A×C） （3）（A∪B）×C=（A×C）∪（B×C） （4）（A∩B）×C=（A×C）∩（B×C）
定义7.8 设R是从A上的关系，n为整数，关系R的n次幂定义如 下：（1）R0={<x，x>︱x∈A}=IA； （2）Rn+1=Rn◦R。 从关系R的n次幂定义，可得出下面的结论： （1）Rn+m=Rn◦Rm； （2）（Rn）m=Rnm。
定理7.7 设R是从A到B的二元关系，S是从B到C的二元关系，则
2.关系图表示法:有限集的二元关系可以用有向图来表 示，设集合A={a1，a2，…，an}，集合B={b1，b2，…， bm}，R为从A到B的一个二元关系，首先在平面上作出n 个结点分别记作 a1 ， a2 ， … ， an ，然后另外作出 m 个结 点分别记作 b1 ， b2 ， … ， bm ，如果a∈A、b∈B且 <a ， b>R，则自结点a 到结点b 作出一条有向弧，其箭头指 向b。如果<a，b>R，则结点a和结点b之间没有线段联 结。用这种方法得到的图称为R的关系图。
7.4.3.传递性
例7.13 设A={a，b，c}，R，S，T是A上的二元关系，其中 R={<a，a>，<b，b>，<a，c>} S={<a，b>，<b，c>，<c，c>} T={<a，b>} 说明R，S，T是否为A上的传递关系。
解 的
根据传递性的定义知，R和T是A上的传递关系，S不是A上
传递关系，因为<a，b>∈R，<b，c>∈R，但<a，c>R。
2
定义7.5
设R是二元关系，由<x，y>R的所有x组成的集合称
为R的定义域，记作D（R），即D（R）={x‫׀‬y（yB∧<x， y>R）}。由<x，y>R的所有y组成的集合称为R的值域，记作
R（R），即R（R）={y‫׀‬x（x∈A∧<x，y>∈R）}。
定义7.6.空关系,恒等关系和全关系.
下面的式子成立：（R◦S）─1=S─1◦R─1
证明 <z，x>∈（R◦S）─1<x，z>∈R◦S y（y∈B∧<x，y>∈R∧<y，z>∈S） y（y∈B∧<z，y>∈S─1∧<y，x>∈R─1） <z，x>∈S─1◦R─1。
所以，（R◦S）─1=S─1◦R─1。
定义7.9.设R为二元关系,A是集合 (1)R在A上的限制记为RA,其中RA={<x,y>∣xRyxA} (2)A在R下的像记作R[A],其中R[A]=ran(RA). 显然有: RAR, R[A]ranR. 例7.11.设R={<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<3,2>},则 R{1}= R= R{2,3}= R[{1}]= R[]= R[{3}]=
关系的右复合运算
定义7.9. 设R是从集合A到集合B上的二元关系，S是从集合B到 集合C上的二元关系，则R◦S称为R和S的复合关系，表示为 R◦S={<x，z>x∈A∧z∈C∧y（y∈B∧<x，y>∈R∧<y，z>∈S} 说明:上面这种定义方式称为右复合,类似可定义左复合: R◦S={<x，z>x∈Z∧z∈A∧y（y∈B∧<x，y>∈S∧<y，z>∈R}
（3）等价关系和集合的划分 （4）偏序关系
7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8
序偶与笛卡儿积 二元关系及其表示 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与集合的划分 相容关系 偏序关系
7.1.有序对与笛卡儿积
定义7.1 由两个固定次序的个体x，y组成的二元组称为一个有 序对或序偶，记为<x，y>，其中x，y分别称为序偶的第一、二 分量（或称第一、二元素）。 定义7.2 两序偶<a，b>和<c，d>是相等的，当且仅当a=c， b=d；记作<a，b>=<c，d>。 因此有序对<x,y>具有以下性质: 1.当x≠y时,<x,y>≠<y,x>;2.<x,y>=<u,v>x=uy=v. 例7.1.已知<x+2,4>=<5,2x+y>,求x和y.
LA={<x,y>∣x,y Ax≤y},此处AR. DB={<x,y>∣x,y Ax整除y},此处BZ*.
R= {<x,y>∣x,y Fxy},此处F是集合簇.
例7.8.设A={1,2,3,4},下面定义的R都是A上的关系,试用列举法 表示R.(1)R={<x,y>∣x是y的倍数};(2)R={<x,y>∣(x-y)2A}; 7.3.二元关系的表示方法:给出一个关系的方法有三种:集合表达 式,关系矩阵和关系图.例7.5就是用集合表达式. 1.关系矩阵表示法:设给定集合A={a1，a2，…，an}，集合B={b1， b2，…，bm}，R为从A到B的一个二元关系，构造一个n×m矩阵。 用集合A的元素标注矩阵的行，用集合B的元素标注矩阵的列， 对于a∈A和b∈B，若<a，b>∈R，则在行a和列b交叉处标1，否 则标0。这样得到的矩阵称为R的关系矩阵。
上面两种定义都是合理的,正如在交通规则中有的国家规定右行,有 的国家规定左行一样,本书采用右复合的定义,请同学们注意两者的 区别. 思考一下:设R为A上的关系,则R ◦IA,IA ◦R及R之间有何关系?
例7.10 （1）A={1，2，3，4}，B={3，5，7}，C={1，2，3}， R={<2，7>，<3，5>，<4，3>}，S={<3，3>，<7，2>}， R◦S={<2，2>，<4，3>}。 如图所示：
定理7.5
设R是从集合A到集合B上的二元关系，S是从集合B到
集合C上的二元关系，T是从集合C到集合D上的二元关系，则有：
（1）R◦（S∪T）=R◦S∪R◦T （2）R◦（S∩T）R◦S∩R◦T （3）（R∪S）◦T= R◦T∪S◦T （4）（R∩S）◦TR◦T∩S◦T
定理7.6 设R是从A到B的关系，S是从B到C的关系，T是从C 到D 的关系，则有R◦（S◦T）=（R◦S）◦T。
7.4.4.关系性质的判定
1．自反性的判定方法
R的关系矩阵为：
MR
1 0 1 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
1．自反性的判定方法
R的关系图为：
a
。 。
。 d 。 c
b
3．对称性的判定方法 R的关系图为：
7.5 关系的闭包
定义7.15 设R是集合A上的二元关系，如果有另一个关系R’满足： （1）R’是自反的（对称的、传递的）；
7.4.4.关系性质的判定
1．自反性的判定方法 定理7.9 设R是A上的二元关系，则R在A上是自反的当且仅当IA R。 证明 先证必要性。 任取<x，y>，由于R在A上是自反的，则有 <x，y>∈IAx，yA∧x=y<x，y>∈R 从而证明了IA R。 再证充分性。任取xA，有 x∈A <x，x>∈IA<x，x>∈R 因此，R在A上是自反的。
（2）设R，S都是A上的关系，A={1，2，3，4}。
R={<1，2>，<1，3>，<3，4>}，
S={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>}， 即S为A上的恒等关系，则R◦S=S◦R=R。 如图所示：
1
。 。
。 4 。 3
2
（3）设R是A上的关系，S为A上的空关系，即S=，则 R◦S=S◦R=。
定义7.4.设A，B是两个集合，R是笛卡儿积A×B的任一子集，则 称R为从A到B的一个二元关系，简称关系。特别当A=B时，则称 R 为A上的二元关系（或A上的关系）。 说明:集合A上的二元关系的数目依赖于A中的元素数.若∣A∣=n, 则∣AA∣=n2, AA的子集就有 2n 个.每一个子集代表一个A上 2 n 的二元关系,所以A上有 2 个不同的二元关系.
例7.9 A={1，2，3，4}，B={5，6，7}，
R={<1，7>，<2，5>，<3，6>，<4，7>}，
写出R的关系矩阵和作出R的关系图。
解
R的关系图，如图所示：
例 7.9 设 A={1 ， 2 ， 3 ， 4} ， R={<1 ， 2> ， <2 ， 2> ， <3 ， 3> ， <4，1>}。写出R在A上的关系矩阵和画出R在A上的关Leabharlann Baidu图。
定义7.13 设R是集合A上的二元关系，如果对于每个x，y∈A， 当<x，y>∈R和<y，x>∈R时，必有x=y，则称二元关系R是反对
称的。
7.4.3.传递性
定义7.14 设R是集合A上的二元关系，如果对于任意x，y，
z∈A，当<x，y>∈R，<y，z>∈R，就有<x，z>∈R，则称二元 关系R在A上是传递的。 R在A上是传递的x y z（x∈A∧y∈A∧z∈A∧<x， y>∈R∧<y，z>∈R<x，z>∈R）
解 A上的关系图如下图所示。
1
。 。
。 3 。 4
2
7.3.关系的运算
关系的基本运算有七种,分别定义如下:
定义7.7.设R为二元关系
(1)R中所有的有序对的第一元素构成的集合成为R的定义 域,记作domR,形式化为dom(R)={x∣y(<x,y>R)} (2)R中所有的有序对的第二元素构成的集合成为R的值域, 记作ranR,形式化为ran(R)={y∣x(<x,y>R)} (3)R的定义域和值域的并集称为R的域,记作fldR,形式化 表示为:fldR=domRranR 例7.10.设R={<1,2>,<1,3>,<2,4>},求domR,ranR,fldR. 定义7.8.设R为二元关系,R的逆关系,简称R的逆,记作 R-1,R-1={<x,y>∣<y,x> R}.
（2）R’R； （ 3 ）对于A 上任何包含 R 的自反的（对称的、传递的）关系 R’’ ， 有R’’R. 则称关系为R的自反（对称、传递）闭包。
第七章
二元关系
本章学习目标： 在上一章讨论了集合及集合的运算，这一章主要学习集合 内元素间的关系，这就是“关系”。关系是一个很重要的数学 基本概念，它在计算机科学中的许多方面如数据结构、数据库、 情报检索、算法分析等都有很多应用。本章主要讨论二元关系 理论。通过本章学习，同学们应掌握以下内容： （1）关系的表示 （2）关系的性质和运算
5.ACBDA×B C×D.
例7.3.设A={1,2},求P(A)A. 例7.4.设A,B,C,D为任意集合,判断以下命题是否为真,并说明理 由. (1)AB=ACB=C; (2)A-(BC)=(A-B)(A-C);
(3)A=BC=D AC=BD.
(4)存在集合A,使得A AA.
1.空关系:对于任何集合A,空集是AA的子集,叫做A上的空关系.
2.恒等关系:设IA为集合A上的二元关系，且满足IA={<x，x>xA} ，则称IA为集合A上的恒等关系。 3.全关系EA定义为 EA={<x,y>∣xAyA}=AA . 例7.7.若A={1,2},求IA,EA.
其他一些常见关系:
R在A上是反自反的 x（x∈A < x，x > R）
7.4.2
对称性和反对称性
定义7.12 设R是集合A上的二元关系，如果对于每个x，y∈A， 当<x，y>∈R，就有<y，x>∈R，则称二元关系R是对称的。 R在A上是对称的 x y（x∈A∧y∈A∧<x，y>∈R<y，x>∈R）