概率问题的几种求法

［ １在 ６ 例 Ｏ件产 品中 ，有 ３ Ｏ件是 一等品 ， ２ 是 二 等 品 ，１ 是 ｊ 等 品 ，从 中 任 取 ３ ０件 Ｏ件
件
［ ． Ｍ］ Ｐ （ ｛ ・－ Ａ）＝ （ ＡＡ ・ ・ Ｐ Ａ ）Ｐ （ … ‘ Ｐ ［ 中等职 业学校 国家审 定教 材《 学》 －・ Ａ ‘ ３ ‘ ］ 数 第三 册
０４ ８ ．１ ， ０５４，０４ ４可 以 看 出 这 些 数 ．８ ，０５ ６ ．２ ．９ 字 在 ０５附 近 摆 动 ， 由概 率 的 统 计 定 义 可 得 ， ． “ 面 向上 ” 的 概 率 为 ０５ 正 ．。 Ｉ 思 ］事 件 发 生 一 次 的 频 率 不 要 误 认 为 反
４ 用 图 表 法解 概 率 问 题
实验 序号
抛 掷 的 次数 ｎ
次数 ｍ
ຫໍສະໝຸດ Baidu
频 率
｝ １甲和乙玩 “ 例 石头 ，剪子 ，布 ” ，求 ： （）平局的概 率； （） 甲赢的概率 ； （）乙 １ ２ ３ 赢的概率。 ｆ 思考 与分析】这是我们 经常玩 的游戏 ，那 么这其中的概率问题你会算吗？两人各有 ３种 出 拳 的 方 法 ，并 且 每 种 都 是 等 可 能 的 。 （） １ 平局 只有两 人出同样 的拳 ； （）当甲出石头 ， ２ 乙 出 剪 子 ； 甲 出剪 子 ，乙 出 布 ；甲 出 布 ，乙 出 拳头这 ３种状况时 ，甲赢 ； （）当乙出石头 ， ３ 甲出剪子；乙出石头 ，甲出布 ；乙出布 ，甲出 拳头 ３ 种状况 乙赢 。然后我们可能 就想到了用 等可能事件 的处理方法 了，但是下面我们介绍 解决类 似问题 的另外一种方法 ：用图形法 。 解 ： 甲有 ３种 不同的 出拳方 法 ，每一种 的 率 ： Ａ ： ＝ ．件 是 等 出法是等可能的 ，用 图形法 同样有等可能 的 ３ 概 为 Ｐ（） 亩 ‘ 都 一 － ３ 种 不 同 出法 。 一 次 游 戏共 有 ３ ３ ９ （ ） 不 同 ｘ＝ 种 品 的 概 率 是 。 的结 果 ，可 以认 为 这 ９种结 果 是 等 可 能 的 。平 （） 记 “ 取 三 件 ２件 是 一 等 品 ， １ 局的含 义是两人出法相同 ，例如甲赢 的含义是 ２ 任 件 是二等品”为事件 Ａ ，则在 ｃ 种结果 中，取 当甲出石头 ，乙出剪子 ；甲出剪子 ，乙 出布 ； 到 ２件 一等 品 ，１件二 等 品 的结 果有 Ｃ３ ２ 甲 出 布 ，乙 出拳 头 这 ３种状 况 。 种 ，因此 事件 Ａ 发 生 的概 率 为 ：Ｐ （ ： ＝ Ａ） 设平局 为事件 Ａ，甲赢为事件 Ｂ，乙赢 为 Ｃ２ ２ ３ Ｄ ｏ ＣＩ 事件 Ｃ 。
１用 统 计 求 慨 率 可 得 次都 取 到 合 格 品 的 概 率 为 （ ＝ ）ｎ 兰
ｄ
随机事件的频率 ，是指陔事件发生 的次数 与试 验 总 次 数 的 比值 ，它 具 有 一 定 的 稳 定 性 ， 总在 某 个 常 数 附 近 摆 动 ， 且随 着试 验 次 数 的 不 ． 断 增 多 ，这 种 摆 动 幅 度 越 来越 小 ，我 们 给这 个 常 数 取 一 个 名 字 ， 叫做 这 个 随 机 事 件 的 概 率 ， 根 据 随机 事 件 的 概 率 定 义 ，频 率 在 大 量 重 复试 验 的前提下 ，町近似地作为这个事件 的概率 。 ［ ｌ 例 １下 面的表 中列 出 １ ０次实验 抛掷硬 币的试验结 果 ，每次 实验抛 掷硬 币 的次数 为 ｎ ， 硬 币正面 向上 的次数为 １，汁箅 每次实验 ３ １ 中 “ 面 向 上” 这 一事 件 的频 率 ，并 考 查 它 的 正
就是 事件发 生的概 率 ，要理 解概率 的统 计定 义 ，并 能 掌 握 用统 计定 义求 简 单 事 件 发 生 的概
率。 ２ 蚪 集 合 思 想解 概 率 问题 】
概率的集合解释 ：在 一次试验 中，等可能 Ｈ现 的 ｎ个 结果组成一个集 合 Ｉ ； ，这 １个结果 １ 就 是集合 Ｉ的 Ｉ个元 素 ，各 基本 事件 均对应 １ 于集合 Ｉ 的含有 １ 个元素的子集 ，包含 ｌ个结 ｆ １ 果 的事件 Ａ对应 于 Ｉ 的含有 ｍ个元素 的子集 Ａ ，因此从集 合的角 度看 ，事件 Ａ的概率是子 集 Ａ的 元素个 数 （ 记作 Ｃ ｒ （ ） 与集合 Ｉ ａｄ Ａ ） 的 元 素 个 数 （ 作 Ｃ ｒ （ ） 的 值 ，即 Ｐ （ ） 记 ａｄ Ｉ ） Ａ
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ｆ Ａ ＝旦＿Ｊ～－ 旦． ＝ ｆ １ｎ ｒ ａｂ ｂ 旦二
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［ 五年制高等职业教 育教材《 学》 １ 】 数 第三册【 】 Ｍ． ［ 中等职 业学校 国家审 定教 材《 学》 ２ 】 数 第二 册
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告． 是 等 ，件 二 品 ・ 一 品 １是 等 的 ． ２ 件
由 图容 易 得 到 ：
Ｚ
概率是 ， 。
解 ： 有 ｗ：ｆ 【 ｌ，可分别得 出这 １ ０次实验
Ｉ ｌ
中 “ 面 向 上 ” 这 一 事 件 出 现 的 频 率 依 次 为 正
０ ５ ２， ０．９８， ０ ５１ ．０ ４ ． ２， ０．０ ５ ６， ０ ５ ２， ０４９ ．０ ． ２，
文 化 教 育
科 信 技
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概 率 问题 的几种 求法
李 芳
（ 苏 常熟 练 塘 职 业 技 术 学 校 ， 苏 常 熟 ２５ ５ ） 江 江 １５ １
摘 要： 率问题是职业类数学 中较重要的一章， 概 也是现 实生活中经 常碰到 的问题 。现就概率 问题进行 了四个方面的探讨 。 关键 词 ： 率 ； 计 ； 合 ； 式 ； 概 统 集 公 图表 （）３件都足一等品的概 率 ； １ （）２件是 一 ２ 等品 ，１件是二等 品的概率 。 ［ 号 与 分 析 ］乍 一 看 此 题 ，我 们 可 能 不 思 知道怎么下手。我们首先从 概率的定 义中找到 突 破 口 ，可 以 从 集 合 的 角 度 解 决本 题 ，这 就需 要 我 们 先 求 出 全 集 Ｉ （ 所 有 可 能 发 生 的 事 即 件 ） 的 元 素 个 数 及 各 子 集 的元 素个 数 ，最 后 用 概率公式求解 。 解 ：从 ６ Ｏ件产品 中任取 ３件 可能出现 的 结果数 ，就是从 ６ ０个元 素中任取 ３个元素 的 组合数 Ｃ６ 由于是任意抽取 ，这些 结果 出现 ３、 ｏ 的 可 能 性 都 相 等 概率 （） 由于 在 ６ １ ０件产 品 中有 ３ Ｏ件是 一 等 ｆ 号 分 析 １一 次 实 验 就 是 将 事 件 的 条 品 ，取到 ３件都 是一 等品 的结果 数 ，就是从 思 件 实 验 一 次 ，当 大 量 重 复 进行 同 一实 验 时 ，事 ３ ０件产 品中任取 ３件 的组合 数 Ｃ ，记 “ 任取 ，则 事 件 Ａ 发 生 ． 件 发 生 的 频 率 总 是 接 近 于 某个 常 数 ，在 它 附 近 ３件 均 为 一 等 品 ”为 事 件 Ａｌ 摆 动 ，这 个 常 数 就 叫 做 事 件发 生 的概 率 。
一
『 小结 ］本题 是 产 品抽取 问题 。抽 取 时 ， 抽到其 中的任何 一件产 品的可能性都相等 ，可 用等可能事件 的概率公式进行计算 。此外 ，合 理 、正确的运用 排列数 、组合数公式进行概率 计 算 至 关 重要 。 ３ 用 公式 解 概率 ｆ ｌ 一批产 品共 有 ａ个 ，其 中 ｂ个是次 例 甲 品 ，从这批产品中任 意抽 １ 个来检验 ，记 录其 等级后 ，再放 回去，如此连续 抽查 ｎ次 ，求 ｎ （） 图 中 的 △表 示 平 局 ； １ 都 取得 合 格 品 的概 率 。 （） 图 中 的 ０表 示 甲赢 ； ２ ［ 考与分析］ “ 思 ｎ次都取 到合格 品” 的 （） 图 中 的 ※表 示 乙赢 。 ３ 事件 ，是指第一 次取 到合格 品，到第 ｎ次取到 可得 Ｐ （ ）＝３＝１ Ｐ （ ）＝３＝丁 Ａ 丁 Ｂ １ 合格品这 ｎ 个事 件同时发生 的事件 。因此需要 求 ｎ次都取到合格 品的概率 ，就要看这 ｎ个事 件 是 否 相 互 独 立 。 因 为 抽取 的产 品在 检 验 后 都 Ｐ（ ＝ ＿ ｃ Ｊ ｝。 ） ＝ 要 放 回 去 所 以 它 们相 互 之 间没 有 影 响 ，可 知 它 【 反思】 当我们用 图展示概率问题时发现 ， 们是相互独立事件。 要解 的问题就很 明显 的摆在图中 ，这就给我们 解 ：设 Ａ ，Ａ ，…， 事件分别表示第 １ 。 个新 的启 发 ：用 图形法解 概率 问题更 加 明 次 ，第 ２次 ， … ，第 １次 抽 查 时 取 得 合 格 品 ， 了 ，而 且 很 容 易 理 解 。 ３ 由分析可知 Ａ ，Ａ： ，… ，Ａ 是相互 独立事件 ， 参 考文 献