北师大初中数学九上《应用一元二次方程》课件

B
答：2秒后，△ PCQ的面积是Rt △ABC面积 的一半.
C
Q
6m
下课了!
结束寄语
• 一元二次方程也是刻画现实世界的 有效数学模型.
• 用列方程的方法去解释或解答一些 生活中的现象或问题是一种重要的 数学方法——即方程的思想.
AB BC, AB BC 200海里,
AC 2AB 200 2海里,∠C=450.
CD 1 AC 100 2海里 2
DF CF, 2DF CD.
DF CF 2 CD 2
2 100 2 100海里.
2
A D
小岛D和小岛F相距100海里.
B EF
北 东
C
例题欣赏 ☞
行家看门道
x
60-2x
800cm2
40-2x
解这个方程,得 :
x1 10; x2 40(不合题意,舍去). 答 : 截去的小正方形的边长为10cm.
源于生活的数学
4.学生会准备举办摄影展览, 在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形
相片周围镶上一圈等宽的彩纸. 经试验, 彩纸面积为相片面积的 2时较美观
回顾与复习2
配方法
用配方法解一元二次方程的步骤:
1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项 系数);
2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方;
4.变形:方程左边配方,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
心动 不如行动
运用方程能解决 这个问题吗
解 :由 AC CB , 得AC 2 AB CB. A
AB AC
CB
设AB 1, AC x,则CB 1 x.
x2 1 1 x,
1 5 x1 2 ,
即x2 x 1 0. 解这个方程, 得
1 x2 2
5 (不合题意,舍去).
x 1 5 . 2
动脑筋
争先赛
• 2.绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900平方米的一块长 方形绿地,并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少?
解 : 设长方形绿地的宽为xm,根据题意,得
x(x 10) 900.
整理得 :
x2 10x 900 0.
x x+10
解这个方程,得 :
x1 5 5 37 25.41; x2 5 5 37 0(不合题意,舍 x 10 5 5 37 10 5 5 37 35.41. 答 : 这块长方形绿地的长和宽分别约是25.41m,35.41m.
黄金比 AC 1 5 0.618.
AB
2
源于生活,服务于生活
运用方程还能解决什 问题
例1 如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200海
里处有一目标B,在B的正东方向200海里处有一重要
目标C.小岛D位于AC的中点,岛上有一补给码头;小岛
F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向.一艘军舰沿
A出发,经B到C匀速巡航,一艘补给船同时从D出发,沿
(golden section),点C叫做线段AB的黄金分割
点,AC与AB的比称为黄金比. A
CB
其实,黄金分割就是三条能构成比例线段的特殊
线段AB,AC和BC.其中线段AC是线段AB和线段
BC的比例中项,也可写成AC2=AB·BC.
学习一元二次方程之后, 我们可以求得
5 1 AC BC 2 0.618. AB AC 1
回顾与复习 1
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法
(solving by completing the square)
助手 用配方法解一元二次方程的方法的
:
平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a.
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
解:(2)设相遇时补给船航行了x海里,则DE=x海里,AB+BE=2x海
里,EF=AB+BC-(AB+BE)-CF=(300-2x)海里.
在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程
x2 1002 300 2x2 .
A
整理,得3x2 1200x 100000 0.
北 东
D
解这个方程, 得
பைடு நூலகம்
x1
心动 不如行动
公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是 :
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法 (solving by formular).
解 : 设赛义德得到的钱数为x,根据题意,得
x(20 x) 96.
整理得 : x2 20x 96 0.
解这个方程, 得
x1 12; x2 8.(不合题意,舍去).
答 : 赛义德得到的钱数是12.
独立 作业
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点P,Q同时由A,B两点出
发,分别沿AC,BC方向向点C匀速移动（到点C为止）,它们
老师提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零;
2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依据是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
回顾与思考 1
你知道黄金比为什么是 0.618吗?
如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果
AC BC , 那么称线段AB被点C黄金分割 AB AC
解:设甲,乙相遇时所用时间为x,根据题意,得
(7x-10)2=(3x)2 +102.
A
乙:3x
C
整理得:2x2-7x=0. 解这个方程,得 ∴x1=3.5, x2=0(不合题意,舍去).
10
7x-10 B 甲:
∴3x=3×3.5=10.5, 7x=7×3.5=24.5.
答:甲走了24.5步,乙走了10.5步.
求镶上彩纸条的宽. (精确到0.1厘米)
3
解 : 设彩纸条的宽为xcm,根据题意,得
2 (18 2x)(12 2x) 1812 1812. 整理得 : x2 15x 36 0. 3
解这个方程,得 :
x1
15
3 2
41 2.1;
x2
15
3 2
41 0(不合题意,舍去).
• 答:彩纸条的宽约为2.1cm.
200
100 3
6
118.4,
B
C
EF
x2
200 100 3
6 不合
意, 舍去.
相遇时补给船大约航行了118.4海里.
学习是件很愉快的事
随堂练习
• 1.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有二人同所立.甲行率七,乙行率三.乙东 行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲乙各行几何?”
大意是说:已知甲,乙二人同时从同一地点出发,甲的速度是7,乙的速度是3.乙 一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么 相遇时,甲,乙各走了多远?”
老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必须是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠ 2.b2-4ac≥0.
我思 我进步
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分 解因式法.
南偏西方向匀速直线航行,欲将一批物品送达军舰.
A
北
(1).小岛D与小岛F相距多少海里?
(2).已知军舰的速度是补给船的2
D
倍,军舰在由B到C的途中与补给船
相遇于E处,那么相遇时补给船航行
了多少海里?(结果精确到0.1海里) B E F
C
例题欣赏 ☞
行家看门道
解:(1)连接DF,则DF⊥BC.
的速度都是1m/s.几秒后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的
一半?
• 解：设x秒后，△ PCQ的面积是Rt △ABC面积的一
半.
1 (8 x)(6 x) 1 1 8 6. A
•
整根理据得题:意，x得2
2
14x
24
0.
22
P
8m
解这个方程,得 :
x1 2; x2 12(不合题意,舍去).
小结 拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是:
• 1.审;
• 2.设;
• 3.列;
• 4.解;
• 5.验;
• 6.答.
• 列方程解应用题的关键是:
• 找出相等关系.
独立 作业
1.有这样一道阿拉伯古算题:有两笔钱,一多一少,其 和等于20,积等96,多的一笔被许诺赏给赛义德,那么赛 义德得到多少钱?
想一想
先胜为快
3.一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮,要在它的四角截去四个相等的小 正方形，折成一个无盖的长方体,使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的 边长.
解 : 设截去的小正方形边长为xcm,根据题意,得
(60 2x)(40 2x) 800.
整理得 : x2 50x 400 0.