§6.4第一型曲线积分的计算

b
f (x, y(x))
1 y2 dx
L
a
(2)
若曲线L的方程为xy
x(t) y(t)
, t , 则
f (x, y)ds f (x(t), y(t)) x2 (t) y2 (t)dt
L
3．若
L由 方程
(Baidu Nhomakorabea
)
或
x ( y (
)cos )sin
(
)
给出，则
取 为参数， ds 2 ( ) 2 ( )d ,
故 ( x2 y2 z2 )ds 9 ds 2 9 2dt 18 .
L
L2
02
例 4．设 L 为椭圆 x2 y2 1 ，其周长为 a， 43
求 (3x 2 4 y 2 2xy)ds 的值. L
解：∵ x2 y2 1 ，∴ 3 x2 4 y2 12 ， 43
∴ (3x 2 4 y 2 2xy)ds （代入L的方程） L
ds 1 y2 (x)dx R dx
R2 x2
R xR
xds
dx 0
L
R R2 x2
(法二)
:
L
:
x
y
R R
cos s in
,0
ds R 2 sin 2 R 2 cos2 d
xds R 2 cosd R 2 sin 0
L
0
0
例 2 L (x y)ds, L : 连接三点O(0,0), A(1,0), B(0,1)的折线.
L
L
L
3L
1 R2 ds 1 R2 2R 2 R3 ,
3 L3
3
∴ (z y2 )ds zds y2ds 2 R3 .
L
L
L
3
第一型曲线积分的几何意义
设 L 为xoy 面上的光滑曲线，其方程为z(x0, y) 0 ， 在 L上 定义连续函数 f (x, y) 0 ，它的图形是空间曲线
：
z f ( x,
(x, y) y) 0
，在柱面(x,
y)
0
上介于L与
之间的
曲面的面积就是L f (x, y)ds 。
z
o
x
f (x, y)ds
y
L
当 f (x, y) 0 时，L f (x, y)ds 表示以L为 准线，
母线平行于z 轴 ，高为 f (x, y) 的柱面面积。
例 6．求圆柱面 x2 y2 1位于平面 z 0 上方与 z y 下方那部分的侧面积。
解：L ： x2 y 2 1,
y
0
，xy
c ost sin t
,
0 ，
S
L
yds
0 sintdt
2
。
作业
习题6.4( P110) 1(4)(6)(7); 2; 3
L
x2 y2 z2 9 与平面x z1 的交线. 2
解： L
：
x2 y2 x z1
z2
9 2
(x 1)2 2
2 z1 x.
y2 4
1,
其参数方程为：
x 1 2cost, 2
y 2sint,
z
1 2
2 cos t .
(0t 2 ) ，
ds ( 2 sint)2 (2cos t)2 ( 2 sint)2 dt 2dt,
(12 2xy)ds L
12 ds 2 xy ds 12a012a.
L
L
L关于y轴对称，被积函数xy关于x为奇函数
例 5．设 L为球面x2 y2 z2 R2 与平面 x y z0 的
交线，求 (z y 2 )ds . L
解：∵ L 为球面x2 y2 z2 R2 与平面x y z0 的交线，
L
注：
（1）第一型曲线积分与曲线的方向无关，化为关 于参数的定积分计算时，上限必须大于下限.
（2）对 f ( x, y)ds 来说， f ( x, y) 是定义在 L 上的， L 被积函数中的 x，y 应满足 L 的方程，故可利 用 L 的方程化简被积函数.
例 1 求 x ds L : x2 y2 R2, y 0. L 解 (法一) : L : y R2 x2 , R x R
f (x, y)ds
f [( )cos, ( )sin]
2 ( ) 2 ( )d
L
4. 若空间光滑曲线 L的参数方程为
x x(t) ， y y(t) ， z z(t) ( t ) ，则
ds x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt ，
f ( x, y, z)ds f [x(t), y(t), z(t)] x2 (t) y2 (t) z2 (t)dt
而平面 x y z0 通过原点，
∴ L 为平面 x y z 0 上半径为 R 的圆，其周长为 2R .
∵曲线 L 的 方程对 x，y，z 具有轮换对称性，
∴ zds xds yds 1 ( x y z)ds 0 ，
L
L
L
3L
y2ds x2ds z 2ds 1 ( x 2 y2 z 2 )ds
第4节 第一型(对弧长的)曲线积分的计算
设曲线弧L光滑或分段光滑，f (x, y)在L上连续， 由第一型曲线积分的定义，利用弧微分公式，可 把 第一型曲线积分化成定积分计算
弧微分公式 : ds (dx)2 (dy)2
(1) 若曲线L的方程为 y y(x), a x b,则
f (x, y)ds
解
OA
:
y 0
0 x
1
ds dx
y
B
y 1 x AB : 0 x 1 ds 2dx
x 0
o
OB : 0 y 1 ds dy
Ax
1
1
1
L (x y)ds 0 xdx 0 2dx 0 ydy
1 x2 1 2 1 y2 1 1 2
2
0
2
0
例 3．计算 ( x 2 y 2 z 2 )ds ，其中 L 为球面