第3章 弹性杆件横截面上的正应力分析

正应力分析方法
平面假定与变形协调方程
u0 u0+du0
FNx
FNx
dx
正应力分析方法
平面假定与变形协调方程
y Mz x
FN My
z
du0
-y(dz)
du = du0 -y(dz) + z(dy)
z(dy)
正应力分析方法
平面假定与变形协调方程
变形协调方程
根据叠加原理，横截面上任意一点(y,z)的位
关于公式的适用范围
超 过 弹性范 围后，微段变 形、应
变 和应力分布会发生 什么变 化。
s
非弹性范围
弹性范围

结论与讨论 几点讨论
关于公式的适用范围
加 力点附 近 区域。
圣维南原理
结论与讨论 几点讨论
关于复合材料杆与复合材料梁
E2
E1
E1
E1
E2
E2
结论与讨论 几点讨论
先在指定截面处截开(假想的)，并
建立O x yz 坐标，再 将 作 用 在 截 面 一 侧的 外 力，向另一侧面上的坐标分别投影或取矩 ， 即得该截面上的内力分量。
结论与讨论 几点讨论
2. 几点讨论
关于公式的适用范围
直 杆与曲 杆的变 形、应变 和 应力分布 的 差 异 。
结论与讨论 几点讨论
惯性积
正应力分析方法 应用静力学方程
确定待定常数
若将坐标原点选在形心处， 且y轴和z轴均为主轴，则有
Sy= Sz= 0 , Iyz = 0
EA( 0 )
- ESz (
1
rz
)
+ ESy (
1
ry
)
= FN
-ESz (
0 )
+
EIz
(
1
rz
)
-
EIyz(
1
ry
)
=
Mz
ESy
( 0)
-
EIyz (
线变形与剪切变形，这两种变形 程度的度量分别称为“ 正应变” ( Normal Strain ) 和“ 切应变”
(Shearing Strain), 分别用 和 表示。
引 言 若干概念和定义
σx dx
σ xσ x u dx
σ x
x=
du dx
u +du
α
τ
τ
=a +b
( 直角改变量 )
x
z
引 言 线弹性材料的物性关系
3. 线弹性材料的物性关系
σx
sx = Ex
x
= sx E
εx
胡克定律
τ
t =G = t
γ
G
弹性杆件横截面 第3章 上的正应力分析
正应力分析方法
正应力分析方法
1. 平面假定与变形协调方程 2. 应变分布与应力分布 3. 应用静力学方程确定待定常数 4. 正应力表达式
I -I
I = x y sin 2a + I cos 2a
x1 y1
2
xy
本章作业
第一次 第二次
3－1 ，3－2 ，3－6 3－7，3－10，3－13
谢 谢 大 家！
正应力公式的应用 几种特例 FN = 0 ， Mz = 0 , My = 0

斜 弯 曲
sx=-
My z Iy
+
Mz y Iz
，s
x,max=
( My
Wy
＋
Mz
Wz
)

正应力公式的应用 几种特例
纵向载荷作用线平行于杆件的轴线， 但不重合，这种载荷称为偏心载荷。
偏 心 载 荷
正应力公式的应用 应用举例 3. 应用举例
材料力学(I)
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第3章
弹性杆件横截面上的 正应力分析
弹性杆件横截面 第3章 上的正应力分析
引言 正应力分析方法 正应力公式的应用 结论与讨论
弹性杆件横截面 第3章 上的正应力分析
引言
引言
1 若干概念和定义 2 正应力分析的超静定性质 3 线弹性材料的物性关系
引言
正应力公式的应用
关于中性轴的概念
偏心载荷：有没有中性轴；是否通过截 面形心。
弹性杆件横截面 第3章 上的正应力分析
结论与讨论
结论与讨论 结 论
1．几点结论
关于应力分析的结论
应力的概念，确定应力的超静定性
质，以及由此而产生的分析应力的基本 方法。
应力分析中，重要的是要确定应力
1. 若干概念和定义
应力—分布内力在一点的集度
F1
F2
F3
Fn
引 言 若干概念和定义
应力就是单位面积上的内力‗
工程构件，大多数情形下，内力并 非均匀分布，集度的定义不仅准确而且 重要，因为“ 破坏”或“ 失效”往往 从内力集度最大处开始。
引 言 若干概念和定义
正应力和切应力
垂直于截面的应力称为“ 正应力”
1. 公式中各项正负号的确定 2. 几种特例 3. 应用举例 4. 关于中性轴的概念
正应力公式的应用
公式中各项正负号确定
1. 公式中各项正负号确定
第一种办法： 由FN、My、Mz 的正负号确定。
My y
第二种办法：
根据FN、My、Mz 的实
+_+ _
际方向及其在所求应力 点引起的正应力之拉、
__
(Normal Stress)；
位于截面内的应力称为“ 切应力”
(Shearing Stress).
引 言 若干概念和定义
P1 y
ΔFQy
DFR
ΔFQz
ΔA ΔFN x
P2
z
s = lim D FN
DA 0 D A
t = lim DFQ
D A 0 D A
引 言 若干概念和定义
正应变与切应变
sx = E x
=
E0
-
E
r z
y
+
E
ry
z
此即横截面上各点正应力分布方程。
正应力分析方法 应用静力学方程
确定待定常数
3.应用静力学方程 确定待定常数
将带有待定常数的应力公式代入 与正应力有关的三个静力方程：
Asx dA = FN A(sxdA)z = My A(sxdA)y = -Mz
正应力分析方法 应用静力学方程
确定待定常数
整理后得到
EA(0)
-ESz (
1
rz
)
+ ESy (
1
ry
)
=
F
N
-ESz
(0)
+EIz
(
1
rz
)
-EIyz(
1
ry
)
=
Mz
ESy ( 0)
-EIyz(
1
rz
)
+EIy
(
1
ry
)
=
My
正应力分析方法 应用静力学方程
确定待定常数
其中
EA( 0 )
正应力分析方法
变 形 平面假定 应变分布 物性关系 应力分布
静力方程 应力公式
正应力分析方法
1. 平面假定与变形协调方程
考察产生正应力 的最一般情形，即
FN、My、Mz同时作
用的情形。
正应力分析方法
平面假定与变形协调方程
平面假定
三种位移
正应力分析方法
平面假定与变形协调方程
u0 u0+du0
移，可表示为：
du = du0 - y d z +z d y
此即变形协调方程(Compatibility Equation of Deformation) 。
正应力分析方法
应变分布与应力分布
2.应变分布与应力分布
微段横截面的相对位移，亦即微
段各处的变形。于是横截面上任意 点处的正应变为
x

平
面
弯
曲
sx
=
My Iy
z
，sx
, max
=
My Wy
正应力公式的应用 几种特例

sx
=-
Mz y Iz
sx
=
My z Iy
平 面 弯
sx,
max
=
Mz Wz
sx,max =
My Wy
曲
其中Wy和Wz 分别称为横截面对于
wk.baidu.com
y轴和z轴的“ 弯曲截面系数”（Section
Modulus in Bending)
= FN,
EA
1
r y
= My , EI y
1
r z
= Mz EIz
这三个常数分别表示 FN、My、Mz 引起的微段变形程度
正应力分析方法 正应力表达式
4. 正应力表达式
s x
=
FN A
-
Mz y+ Iz
Myz Iy
弹性杆件横截面 第3章 上的正应力分析
正应力公式的 应用
正应力公式的应用
z
压性质确定。
Mz x
Nx
正应力公式的应用 几种特例

2. 几种特例
My = Mz = 0, FNx 0
轴
向
拉 伸 或 压
sx
FNx A
缩
正应力公式的应用 几种特例 My= 0 , FN = 0 ， Mz = 0

平 面 弯 曲
s x
=-
Mz Iz
y，sx,
max
=
Mz Wz
正应力公式的应用 几种特例 Mz= 0 , FN = 0 ， My = 0
例 题 一
已知：矩形截面梁截面宽度b、高度h、 长度l，外载荷FP1和FP2
求：根部截面上的最大正应力
正应力公式的应用 应用举例
例
题
A、B 二点应力最大
一
s
+ max
=
My + Mz
Wy
Wz
s- =
max
-(
My Wy
+
Mz ) Wz
正应力公式的应用 应用举例
例 对于圆截面，上 题 述公式是否正确
一
正应力公式的应用 应用举例
已知：外加载荷FP 以及横截面尺寸
例
题
求： ABED截面
二
上四个角点上的
正应力
正应力公式的应用 应用举例
确定截面上的 内力分量
例 题 二
两种方法
正应力公式的应用 应用举例
sx=
例
-
FN A
-Mzy + My z
Iz
Iy
题 二
应力平面
正应力公式的应用
关于中性轴的概念
横
截
面
上
正
中
应 力
性为
轴
零 的
点
连
成
的
直
线
3.关于中性轴的概念
正应力公式的应用
关于中性轴的概念
中 性 轴 的 位 置
正应力公式的应用
关于中性轴的概念
平面弯曲：中性层、中性轴；加载方向 与中性轴之间的关系。
正应力公式的应用
关于中性轴的概念
斜弯曲：中性轴位置；加载方向 与中性轴之间的关系。
1
rz
)
+
EIy
(
1
ry
)
=
My
正应力分析方法 应用静力学方程
确定待定常数
EA( 0 )
- ESz (
1
rz
)
+ ESy (
1
ry
)
= FN
-ESz ( 0)
+ EIz (
1
rz
)
-
EIyz(
1
ry
)
=
Mz
ESy
( 0)
-
EIyz (
1
rz
)
+
EIy
(
1
ry
)
=
My
于是，得到待定常数
0
β
问题：“ 正应变是单位长度的线变形量”？

引 言正应力分析的超静定性质
2 正应力分析的超静定性质
当外力已知时，可由平衡方程求得内力 分量—静定问题。
当内力分量已知时，只能确定应力与相 关内力分量之间的关系，却无法求得各 点应力—超静定问题。
引 言 正应力分析的超静定性质
一般情形下，应力与相应内力分量关系如下：
关于截面几何性质的讨论 怎样判断主轴？
结论与讨论 几点讨论
关于截面几何性质的讨论 怎样判断主轴？
a a
结论与讨论 几点讨论
关于截面几何性质的讨论
y
怎样判断主轴？
a
x
a
I -I
I = x y sin 2a + I cos 2a
x1 y1
2
xy
结论与讨论 几点讨论
关于截面几何性质的讨论 怎样判断主轴？
FNx
FNx
FNx
FNx
dx
dx
正应力分析方法
平面假定与变形协调方程
正应力分析方法
平面假定与变形协调方程
正应力分析方法
平面假定与变形协调方程
对于dx 微段，在三个内力分量作用下，两截 面将保持平面，但发生三种相对位移：
轴向位移 d u 0
绕 y 轴转动 dy
绕 z 轴转动 dz
关于“ 平面假定”正确性的讨论 —对 称 性 分 析 的 结 论
结论与讨论 几点讨论
关于“ 平面假定”正确性的讨论 —对 称 性 分 析 的 结 论
结论与讨论 几点讨论
关于“ 平面假定”正确性的讨论 —对 称 性 分 析 的 结 论
由此引出对加力方式的要求， 圣维南原理。
结论与讨论 几点讨论
y
sxdA =FNx
A
(sxdA)z =My
A
τxy
dA
σxMy
τxz
FN
x
(sxdA)y = -Mz
z
A
引 言 正应力分析的超静定性质
txydA ＝FQy
A
txzdA ＝FQz
A
- (txydA )z +
A
(txzdA)y ＝Mx
A
y
τxy
dA σx FQy
τxz
FQz Mx
-
ESz (
1
rz
)
+ ESy (
1
ry
)
=
F
N
-ESz
( 0)
+
EIz
(
1
rz
)
-
EIyz(
1
ry
)
=
Mz
ESy ( 0)
- EIyz(
1
rz
)
+
EIy
(
1
ry
)
=
My
Sy
=
A
z
d
A
,
Sz
= ydA A
静矩
Iy
=
z2 A
d
A
,
Iz
= y2dA A
惯性矩
I yz
= yz d A A
=
du dx
=
-
0
y
r
+
z
r
z
y
正应力分析方法
应变分布与应力分布
应变分布
＝ du
dx
= 0
-
y
rz
+
z
ry
此即横截面上各点正应变分布方程。其中
0
=
du0 dx
r y
= dx ,
d y
均为待定常数。
r z
= dx
d z
正应力分析方法
应变分布与应力分布
应力分布
胡克定律，由应变分布得到横上 一点处的正应力为
分布规律，在此基础上即可由静力学 平衡方程确定各点的应力表达式。
结论与讨论 结 论
关于外力的简化与 内力分量的确定 为了确定横截面上的内力分量，可 以有两种方法：
结论与讨论 结 论
在截面的形心和形心主轴处建立
O x yz 坐标系，然后 将 一 般 外 力 向 坐 标 轴 投影 、 取 矩 ， 进 而 由 平 衡 求 得 内 力 分 量 。