级数的绝对收敛性问题

n n
（其中 n 0 或 1 ）都收敛。 易知在每个有限维赋范空间中， 级数的无条件收敛与绝 对收敛是等价的。但在无穷维空间中有： 定理 2 Banach 空间 X 中绝对收敛的级数一定是无条 件收敛的。然而其逆不真。 Dvoretzky 与 Rogers 已给出下面的反例。 例3 在 Banach 空间 C[0,1] 中点列 xn 如下
DONG Li-hua
(Department of Mathematics, Dezhou University, Dezhou 253023, China) Abstract: This article mainly introduces the relationship between convergent series, absolutely convergent series and unconditionally convergent series in normed linear spaces. And through some counterexamples we draw the important conclusions that convergent series is unequal to absolute convergence and also the unconditional convergence is unequal to absolute convergence. This article also proves that absolute convergence is equivalent to unconditional convergence in infinite dimensional Fréchet space. Key words: convergence; unconditional convergence; absolute convergence 1 引言

x
n 1
n
绝对收敛是指数项级数

n 1

xn
x
n 1
n
收敛。 2 主要结论 限于篇幅，相关结论的证明在此省略，仅举（反）例以 说明相应的逆命题不成立。 定理 1 如果赋范线性空间是完备的，则该空间中绝对 收敛的级数一定是收敛的。反之不成立。 例1

无条件收敛，当且仅当每个级数
x
n 1
则有
max x
n 1 0 t 1 n 1

(i ) n
(t ) x (tn )
n 1 (i ) n

x
n 1
n
是（条件）收敛的数项级数，则根据 Riemann 重排定理，它 可以重排而给出发散的级数，即
(i ) (i ) (i ) xn (tn ) xn (0) xn (0) n 1
x
n 1

n
x
n 1
n
至于级数的无条件收敛与收敛之间的 在 D[0,1] 中绝对收敛。 关系有下面的定理。 定理 3 设 Banach 空间中级数的无条件收敛蕴涵着级数 的收敛，反之不然。

是 D[0,1] 内任一无条件收敛的级数，固定 i ，并且选择 tn ， 使得
(i ) (i ) xn (t n ) max xn (t ) , i 1, 2, 0 t 1

x
n 1

适当重排后，可以使之发散，即不是无条件收敛的。 综上所述，在 Banach 空间中一般地有： 绝对收敛 无条件收敛 收敛 但其逆命题一般不成立。
n
为无条件收敛的充要条件是每个级数
x
n 1
n n
（其中 n 0 或 1 ）在 D[0,1] 中都收敛，而级数
[参考文献]
又令
d i x(t ) , i 1,2,. dt i
i i
于是，由不等式（1）得到

n 1

(i ) xn i max xn (t ) n 1 0 t 1

d ( x, y ) Biblioteka Baidu
i 0

1
i
2 1 x y

x y
因此，级数
( x, y D[0,1])
唐山师范学院学报
2011 年 9 月
(1, 1 1 , , 2 ,0, ) 22 n
x
v 1

nv
n
n 1

en
2
仍旧收敛。 定义 4 级数

在 E 中并不收敛。 可以进一步证明： （1）若赋范线性空间中每个绝对收敛的级数都是收敛 的，则这个空间一定是完备的。 （2）Banach 空间 X 中的级数
第 33 卷第 5 期 Vol. 33 No. 5
唐山师范学院学报 Journal of Tangshan Teachers College
2011 年 9 月 Sep. 2011
级数的绝对收敛性问题
董立华
（德州学院 数学系，山东 德州 摘 253023）
要：阐述了赋范线性空间中无穷级数的收敛、绝对收敛、无条件收敛等概念之间的关系，并例证说明级
[1]
线性空间，完备的赋准范线性空间称为 Fréchet 空间（或简 记为 ( F ) 空间） 。 定义 2[2] 设 X 是赋范线性空间， 设 X 为域 K （实或复数域）上的线性空间，
为叙述方便起见，首先给出几个定义。 定义 1
如果对于 X 中每一元 x ， 按照一定法则总有一非负实数 x 与之对应，并且适合于 （1） x 0 ，且有 x 0 x ； （2）对任意的 x X ， x x （绝对齐性） ； （3）对任意的 x, y X , x y x y （三角不等 式） 。 这时我们称 x 是 X 上的元素 x 的范数， X 上定义了 范数，则称 X 为赋范（线性）空间，记为 ( X , ) ，有时简 记为 X 。 如果赋范空间是完备的， 则称其为 Banach 空间 （或 简记为 ( B) 空间） 。 当上述对应的 x 满足条件(1)，(2)及条件(3′) 若
在区间 [0,1] 上一致收敛，从而
(i ) 0 t 1
x i max x (t ) , i 0,1, 2,
此时

n 1

1
0
( i 1) (i ) xn (t ) dt , xn (0) n 1

x ( 0 ) (t ) x(t ), x (i ) (t )
数的收敛与绝对收敛、 绝对收敛与无条件收敛之间不等价， 但确实存在着无穷维的 Fréchet 空间中级数的无条件收 敛与绝对收敛等价。 关键词：收敛；无条件收敛；绝对收敛 中图分类号： O177 文献标识码：A 文章编号： 1009-9115(2011)05-0009-03
The Problem on the Absolute Convergence of Series

收敛于 x ，然而它并非绝对收敛。因为

n 1

en
1 n n 1 n
x
n p
q
n
(t ) ,
所以
注意 如果其中的条件“完备”不满足，则即使是绝对 收敛的级数也未必收敛。 例 2 在线性空间 E 上定义范数，
sup
0 t 1 n p

q
n
xn (t ) ,
绝对收敛。另一方面，不难看出 -10-
董立华：级数的绝对收敛性问题
件收敛与绝对收敛等价。 现设 D[0,1] 是定义在区间 [0,1] 上的所有实值函数按通 常的线性运算所成的线性空间，其中诸函数有任意阶的导 数，令 在 D[0,1] 中收敛等价于对每个 i
x
n 1

(i ) n n
(t )

n 1


tn
0
x
( i 1) n
(t )dt x (0)
n 1 (i ) n

x
n 1
n
是收敛的，而不是无条件收敛的级数。 (1) 例如级数
( i 1) (i ) xn (t ) dt xn (0) 1 n 1 0 n 1
因为级数
(1) n 1 n n 1
易见，函数项级数
x
故级数

ek 1 1 1 (0, , 0, 0 , ,) k n n n 1 1 2 k 1
n
x (t )
n 1 n

n
n 1
en
在区 间 [0,1] 上是一 致收敛的，从 而对任意 0 ，存 在
n0 N ，当 p, q n0 时，有
为无条件收敛， 是指该级数的项在任意相互交换次序后仍旧 收敛，亦即每个改换排列的级数
────────── 基金项目：山东省教育科学规划重点项目（2010JZ123） 收稿日期：2011-05-12 作者简介：董立华（1965-） ，女，山东平原人，德州学院数学系教授，研究方向为泛函分析。
-9-
第 33 卷第 5 期
则 D[0,1] 是一个 Fréchet 空间。 由于 Fréchet 空间中绝对收敛 的级数必是无条件收敛的， 因此只需证明 D[0,1] 中的无条件 收敛级数都是绝对收敛的。 事实上，设

x
n 1
(i ) n
(t )(i 1, 2,)
再由空间 D[0,1] 中距离的定义可 在空间 C[0,1] 内绝对收敛。 知，级数
x, xn X ， n 1, 2,
x
k 1
n
k
x 0(n )
则称级数
x
n 1

n
收敛于 x 。 定义 3 赋范线性空间 X 中的级数

x
n 1
n
lim n x 0, lim xn 0 （3’） x x , xn 0 n 0
时，称 x 是元素 x 的“准”范数，相应的空间称为赋准范
在 Banach 空间 C0（ C0 是空间 (C ) 中以 0 为极限
的数列所构成的闭子空间）中考虑级数
n
n 1
en
其中
en (0, , 0,1, 0,)
设
1 x (1, ,) 2 则 x C0 ，且
1 1 0, 0 t 2n 1 或 2n 1 t 1 1 1 xn (t ) , t n n 2 1 1 1 1 线性, 2n 1 t 2n 或 2n t 2n 1
因此，级数
x sup n ,
n
x
n 1

n
其中
x n E
考察级数
在[0,1]中是无条件收敛的。另一方面，因为

n 1

xn
en 2 n n 1
由于 en 1 ，因而级数

1 , n 1 n

所以
x
n 1

n
n
n 1

en
2
,
并非绝对收敛。 注意 确实存在着无穷维的 Fréchet 空间中级数的无条
[1] 定光桂.巴拿赫空间引论[M].北京:科学出版社,1984. [2] 汪林.泛函分析中的反例[M].北京:高等教育出版社,1994.
x
n 1

n n
（责任编辑、校对：赵光峰）
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