考研数一真题之特征值与特征向量

如何将考研线代大题一网打尽

文都教育

线性代数作为考研数学三个科目之一，内容最少，理论最简单，每年考题的变化最微小，然考生的得分率虽比前几年有所提高，但总得来看依旧偏低。要将线性代数特征值与特征向量的相关内容一网打尽，不仅要对大纲内容熟悉，而且要选择一本质量上乘去粗取精的辅导资料。

纵观近14年数一真题，几乎每年都会出现关于特征值与特征向量的题目，所以理解特征值与特征向量的概念，熟悉与之相关的题型及解法，对于取得这部分题目的分数尤为重要。

2011真题

设A 为3阶实对称矩阵，A 的秩为2，且

⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101101101101A

（1）求A 的所有特征值与特征向量；

（2）求矩阵A 。

2009真题

设二次型f(x 1,x 2,x 3)=ax 12+ax 22+(a-1)x 32+2 x 1 x 3-2 x 2 x 3.

（1）求二次型f 的矩阵的所有特征值；

（2）若二次型f 的规范形为y 12+y 22，求a 的值。

2007真题

设3阶实对称矩阵A 的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，且α1=（1，-1，1）T 是A 的属于λ1的一个特征向量，记B=A 5-4A 3+E ，其中E 为3阶单位矩阵。

（1）验证α1是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量；

（2）求矩阵B 。

2006真题

设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，向量α1=（-1，2，-1）T ，α2=（0，-1，1）T 是线性方程组Ax=0的两个解。

（1）求A 的特征值与特征向量；

（2）求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ，使得Q T AQ=Λ。

2003真题

设矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛322232223，P=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛100101010，B=P -1A *P ，求B+2E 的特征值与特征向量，

其中A *为A 的伴随矩阵，E 为3阶单位矩阵。

1999真题

设矩阵A=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---a c b c a 0135

1，其行列式|A|=-1，又A 的伴随矩阵A *有一个特征值λ0，属于λ0的一个特征向量为α=（-1， -1，1）T ，求a,b,c 和λ0的值。

真题中关于特征向量与特征值的题型主要有：根据已知条件求特征值及其特征向量，已知某个特征值及特征向量求其他特征值与特征向量或其中所含参数，根据所给式子得到隐含其中的特征值与特征向量，再求其他特征值及特征向量，根据求得的特征值与特征向量讨论矩阵是否可对角化或求二次型的规范形或由规范形求参数等。辨析真题题型，蔡子华老师的新书《复习大全》中总结了关于矩阵的特征值、特征向量的问题题型，求矩阵特征值、特征向量的方法以及例题分析思路。