次函数等腰三角形与直角三角形存在性问题

等腰三角形直角三角形存在性问题

典例1，如图,二次函数的图象与x轴交于点A、B两点,且A点坐标为,与y轴交于点.

(1)求出这个二次函数的解析式;

(2)直接写出点B的坐标为

(3)在x轴是否存在一点P,使是等腰三角形?若存在,求出满足条件的P点坐标;若不存在,请说明理由;

(4)在第一象限中的抛物线上是否存在一点Q,使得四边形ABQC的面积最大?若存在,请求出Q点坐标及面积的最大值;若不存在,请说明理由.

答案详解

解:(1)的图象经过,,

,,

所求解析式为:,

答:这个二次函数的解析式是.

(2)解:,

故答案为:.

(3)解:在中,

,,,

,①当时在x轴的负半轴),;

②当时在x轴的正半轴),;

③当时在x轴的正半轴),;

④当时在x轴的正半轴),

在中,设,则

解得:,

;

答:在x轴存在一点P,使是等腰三角形,满足条件的P点坐标是或或或.

(4)解:如图,设Q点坐标为,因为点Q在上,

即:Q点坐标为,

连接OQ,

,

,

,

,

Q点坐标为,

答:在第一象限中的抛物线上存在一点Q,使得四边形ABQC的面积最大,Q点坐标是,面积的最大值是.

解析:

(1)因为的图象经过,,代入求出c、a的值,即可得到答案;

(2)把代入求出x的值,即可得到答案;

(3)在中根据勾股定理求出AC,根据等腰三角形的性质求出,①当时在x轴的负半轴),;②当时在x轴的正半轴),;③当时在x轴的正半轴),;④当时在x轴的正半轴),,即可得出答案;

(4)设Q点坐标为,因为点Q在上,得出Q点坐标为,连接OQ,根据,代入求出即可. 本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式,等腰三角形的判定,三角形的面积,二次函数图象上点的坐标特征,二次函数的最值等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键.题型较好,综合性强.

练习：

如图,已知抛物线与x轴交于点和点,与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式;

(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使为等腰三角形?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由

.

答案详解

解:(1)由题知: 解得:

所求抛物线解析式为:;

(2)抛物线解析式为:,

其对称轴为,

设P点坐标为,当时,,

,

①当时,,解得,

点坐标为:;

②当时,,解得,

点坐标为:或;

③当时,由勾股定理得:,解得,

点坐标为:

综上所述存在符合条件的点P,其坐标为或或或;

解析:

(1)已知抛物线过A、B两点,可将两点的坐标代入抛物线的解析式中,用待定系数法即可求出二次函数的解析式;

(2)可根据(1)的函数解析式得出抛物线的对称轴,也就得出了M点的坐标,由于C是抛物线与y轴的交点,因此C的坐标为,根据M、C的坐标可求出CM的距离.然后分三种情况进行讨论: ①当时,P位于CM的垂直平分线上.求P点坐标关键是求P的纵坐标,过P作轴于Q,如果设,那么直角三角形CPQ中,OM的长,可根据M的坐标得出,,因此可根据勾股定理求出x的值,P 点的横坐标与M的横坐标相同,纵坐标为x,由此可得出P的坐标.

②当时,根据CM的长即可求出P的纵坐标,也就得出了P的坐标(要注意分上下两点).

③当时,因为C的坐标为,那么直线必垂直平分PM,因此P的纵坐标是6,由此可得出P的坐标; 本题主要考查了二次函数的综合知识,要注意的是(2)中,不确定等腰三角形哪条边是底边的情况下,要分类进行求解,不要漏解.

典例2，

练习：

如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线（）经过，两点，已知，，且。

（1）分别求直线和抛物线的解析式（关系式）。

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

答案详解

（1）在中，因为，，所以，即点的坐标为。将点和点的坐标代入直线的解析式得，解得，即直线的解析式为。将点、点和点的坐标代入抛物线的解析式得，解

得，即抛物线的解析式为。

（2）存在。如图所示，记抛物线对称轴与直线的交点为点，由抛物线的解析式可知其对称轴为，所以点的纵坐标为，即点的坐标为，因为点在抛物线的对称轴上，故设点的坐标为。因为是直角三角形，所以按直角顶点的不同进行分类讨论。

①当点为直角顶点时，记此时的点为，在中，根据勾股定理可知，所以，解得。

②当点为直角顶点时，记此时的点为，在中，根据勾股定理可知，所以，解得。

③当点为直角顶点时，记此时的点为（），在中，根据勾股定理可知，所以，即，解得或。

综上所述，点的坐标为或或或。

解析

本题主要考查二次函数的应用。

（1）根据点的坐标和的长度求出点的坐标，将点、、的坐标代入相应的直线和抛物线的解析式进行求解即可。

（2）求出抛物线对称轴的解析式，设出点的坐标，根据不同的直角顶点进行分类讨论，在相应的直角三角形中根据勾股定理列出方程求解即可。

扩展

坐标系中两点间距离公式：

设坐标系中两点坐标分别为点，点，则线段的长度为：。