第5章微分方程01欧拉法02R-K法.

一阶常微分方程初值问题
dy f ( x, y ) dx y ( x0 ) y0
的数值解法。 基本思想：常微分方程初值问题的数值解是求微分方程 的解 y ( x ) （即微分方程初值问题的积分曲线） ， 在区间 [ a , b ] 中 给定一系列点（节点） xn xn 1 hn （ n 1, 2, ）上的近似 值 yn 。这里 hn 为 xn 1 到 xn 的步长，且 hn 0 。
令x=xn , x+h=xn+1 , y(xn)≈yn ，y(xn+1 ) ≈yn+1 ,
初值问题离散化为
yn1 yn h f ( xn , yn ) , y( x0 ) y0 n 0,1, 2,
(欧拉公式)
4 欧拉法的数值积分推导 将方程 y( x) f ( x, y ) 两端从 xn 到 xn1 积分，有
3 欧拉法数值微分推导
y( x h) y( x ) , h
用差商代替导数
h xn1 xn , n 0,1,
设 x0 , x1 , x2 , , xn 等距，步长
y( x )
y x h y x h y x y x h f x , y
从 出发逐个算出 一般取
xn 1 xn h
，对应的数值解
1
2
n
。
，得欧拉公式
yn 1 yn hf ( xn , yn )
欧拉公式的几何意义 用一条初始点重合的折线， 来近似表 示微分方程的解（积分曲线） y y ( x) 。
2 欧拉法的数学推导 泰勒展开法 将 y ( xn 1 ) 在 xn 处做泰勒展开
代入，并离散化，有欧拉公式
第5章 常微分方程初值问题的数值解法
微分方程 常微分方程 一阶常微分方程 定阶条件：初值问题
y f ( x , y ), y ( x 0 ) y0 x [a , b ]
数值解法： 给定点a=x0<x1<…<xn=b, 将初值问题离散化为
差分方程,求出解函数(积分曲线) y(x) 在这些点的近似值 y1 ,y2 ,…,yn 。 所求得的近似值y1 ,y2 ,…,yn称为微分方程数值 解。
h2 y ( xn 1 ) y ( xn h) y ( xn ) hy ( xn ) y ( n ) 2!
当 h 充分小时，忽略高次项得
h2 y( n ) O(h 2 ) 2!
因此，有欧拉公式
yn 1 yn hf ( xn , yn )
初值问题
y f ( x , y ) y( x 0 ) y0
函数 f ( x, y ) 在这点的值。 1 几何推导 从初始点 P0 ( x0 , y0 ) 出发，做切线 y( x0 ) ，与 x x1 交于 P 1 ( x1 , y1 ) 点，用 y1 作为曲线 y ( x ) 上的点 ( x1 , y ( x1 )) 的纵 坐标 y ( x1 ) 的近似值。 再从 P 与 x x2 交于 P2 ( x2 , y2 ) 1 做切线 y ( x1 ) ， 点，用 y2 作为曲线 y ( x ) 上的点 ( x2 , y ( x2 )) 的纵坐标 y ( x2 ) 的近似 值。这样下去便可作出一条折线 P0 P 1P 2 。设已作出折线的顶点 为 Pn ，再从 Pn 做切线 y( xn ) ，推进到 Pn 1 ( xn 1 , yn 1 ) 。
第5 章 5.1
常微分方程初值问题的数值解法 欧拉法
5.2
5.3
龙格-库塔法
线性多步法
5.4
5.5
收敛性与稳定性
微分方程组和高阶微分方程
5.1
欧拉法和改进的欧拉法
5.1.1 欧拉公式
5.1.2 局部截断误差和阶
5.1.3 隐式（后退）欧拉公式和两步欧拉公式
5.1.4 梯形公式
5.1.5 改进的欧拉法(预报-校正公式)
过 ( x0 , y0 ) 做以 y ( x0 ) f ( x0 , y0 ) 为切线斜率的方程
y y0 f ( x0 , y0 )( x x0 ) 当 x x1 时，得 y1 y0 f ( x0 , y0 )( x1 x0 ) ，取y ( x1 ) y1 。 过 ( x1 , y1 ) 做以 y ( x1 ) f ( x1 , y1 ) 为切线斜率的方程 y y1 f ( x1 , y1 )( x x1 ) x x2 时，得 y2 y1 f ( x1 , y1 )( x2 x1 ) ，取 y ( x2 ) y 2 。 当 y ( xn ) f ( xn , yn ) 一般地，过( xn , yn ) 做以 为切线斜率的方程 y yn f ( xn , yn )( x xn ) x xn 1 yn 1 yn f ( xn , yn )( xn 1 xn ) y ( xn 1 ) y n 当 时，得 ，取 。 x0 x1 , x2 , , xn y , y , , y
5.1 欧拉Βιβλιοθήκη Baidu 5.1.1 欧拉公式
一阶常微分方程
y f ( x, y ) y ( x0 ) y0 的解 y y ( x ) 是通过点 ( x0 , y0 ) 的一条曲线 y y ( x ) ，称之为微分 方程的积分曲线。积分曲线上每一点 ( x, y ) 的切线斜率 y( x) 等于

xn1
xn
y( x)dx
xn
xn1
xn
f ( x, y ( x))dx
y ( xn 1 ) y ( xn )
xn1
f ( x, y ( x ))dx
算出积分项，可得 y ( xn 1 ) 。利用左矩形公式

xn1
xn
f ( x, y ( x))dx hf ( x, y ( x)) yn 1 yn hf ( xn , yn )