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21.1 一元二次方程
——一元二次方程的相关概念
R·九年级上册
新课导入
情景：要设计一座高2m的人体雕像,使 它的上部(腰以上)与下部(腰以 下)的高度比等于下部与全身的 高度比,则雕像的下部应设计多 少米高?
问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？
审、 设、 列、 解、 验、 答
问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？
结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义： 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知 数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.
若方程（m-1）x2+ m x=1是关于 x 的一元二次方程， 则m的取值范围是 m≥0且m≠1 .
知识点3 一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，为什 么要规定a≠0？
课堂小结
一个未知数
因为a=0时，未知数的最高次数小于2.
a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的
一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数
和常数项. 解：去括号，得
一元二次方程的每一项 （系数）都应包括它前 面的符号。
3x2-3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
2. 下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？ －4， －3， －2， －1， 0， 1， 2， 3， 4. 解：－4， 3.
3. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出
该方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）3x2+1=6x；
（2）4x2=81－5x；
解：一般形式：3x2-6x+1=0 二次项系数：3 一次项系数：-6 常数项：1
分析：根据一元二次方程的根的定义，将这些数 作为未知数x的值分别代入方程x2+3x-10=0中，能够使 方程左右两边相等的数就是方程的根，通过代入检验 可知，当且仅当x=-5或2时，方程x2+3x-10=0左右两边 相等.
随堂演练
1. 一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别 是（ C ） A. 3，5 B. 3，0 C. 3，-5 D. 5，0
较长的直角边x的长. ③把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等
于较长一段的长的平方，求较短一段的长x. x=(1-x)2
知识点2 一元二次方程的概念 下列方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ x2+2x-4=0 ① x2－75x+350=0 ② x2-x=56 ③ 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2.
3x2-8x-10=0. 二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
知识点4 一元二次方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值就 是这个一元二次方程的解，一元二次方程 的解也叫做一元二次方程的根.
下面哪些数是方程x2+3x-10=0的根？
-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5.
A. x2+130x+1400=0 B. x2+65x-350=0 C. x2-130x-1400=0 D. x2-65x-350=0
6. 如果2是方程x2-c=0的一个根，求常数c及方程的另 一个根.
解：将2代入原方程中，22-c=0，得c=4. 将c=4代入原方程，得x2-4=0. 解得x=±2. 即方程的另一个根为-2.
问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？ 2m
问题4：设雕像下部高BC = xm ,请说出你所列的方 程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？
它有什么特点？ x2+2x-4=0
2-x
AC BC
x BC AB
2-x x
x 2
（1）会设未知数，列一元二次方程.
（2）了解一元二次方程及其根的概念.
（3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地 指出各项系数.
推进新课
知识点1 寻找等量关系列方程并化简
问题1 有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它 的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分 折起，就能制作一个无盖方盒. 如果要制作无盖方盒的底 面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去 一个相同的正方形，我们设正方形边长为 x cm，则 盒底的宽为 (50-2x) cm，盒底的长为 (100-2x) cm， 根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2，可列方程 为 (100-2x)(50-2x)=3600 .
问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为 28 源自文库.
设邀请 x 支队参赛，则每支队与其余 (x-1) 支队
都要赛一场.根据题意，你列出的方程是
1 x(x-1)=28 2
.
整理为 x2-x=56 .
①一个圆的面积是2πm2，求半径r. πr2=2π ②一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积9cm2，求
你能把它整理成形如x2+bx+c=0的形式吗？
(100-2x)(50-2x)=3600
先去括号 5000－100x－200x+4x2=3600
移项、合并同类项 4x2－300x+1400=0
系数化为1
x2－75x+350=0
问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之 间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
整理，得50x2-25x+3=0.
（2）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10
次.有多少人参加这次聚会？
解：设有x人参加了这次聚会,
根据题意，得
1 2
x(x-1)=10，
整理，得x2-x-20=0.
5. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一 条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂 图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则x 满足的方程是（ B ）
解：一般形式：4x2+5x-81=0 二次项系数：4 一次项系数：5 常数项：-81
4. 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
（1）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的平
方的长方形?
解：设长方形的长为xm，则宽为(0.5-x)m.
根据题意，得x(0.5-x)=0.06,
——一元二次方程的相关概念
R·九年级上册
新课导入
情景：要设计一座高2m的人体雕像,使 它的上部(腰以上)与下部(腰以 下)的高度比等于下部与全身的 高度比,则雕像的下部应设计多 少米高?
问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？
审、 设、 列、 解、 验、 答
问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？
结合一元一次方程的定义，请对一元二次方程进行定义： 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知 数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程.
若方程（m-1）x2+ m x=1是关于 x 的一元二次方程， 则m的取值范围是 m≥0且m≠1 .
知识点3 一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，为什 么要规定a≠0？
课堂小结
一个未知数
因为a=0时，未知数的最高次数小于2.
a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.
例 将方程3x(x-1)=5(x+2)化成一元二次方程的
一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数
和常数项. 解：去括号，得
一元二次方程的每一项 （系数）都应包括它前 面的符号。
3x2-3x=5x+10.
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
2. 下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？ －4， －3， －2， －1， 0， 1， 2， 3， 4. 解：－4， 3.
3. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出
该方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）3x2+1=6x；
（2）4x2=81－5x；
解：一般形式：3x2-6x+1=0 二次项系数：3 一次项系数：-6 常数项：1
分析：根据一元二次方程的根的定义，将这些数 作为未知数x的值分别代入方程x2+3x-10=0中，能够使 方程左右两边相等的数就是方程的根，通过代入检验 可知，当且仅当x=-5或2时，方程x2+3x-10=0左右两边 相等.
随堂演练
1. 一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别 是（ C ） A. 3，5 B. 3，0 C. 3，-5 D. 5，0
较长的直角边x的长. ③把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等
于较长一段的长的平方，求较短一段的长x. x=(1-x)2
知识点2 一元二次方程的概念 下列方程中未知数的个数和最高次数各是多少？ x2+2x-4=0 ① x2－75x+350=0 ② x2-x=56 ③ 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2.
3x2-8x-10=0. 二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10.
知识点4 一元二次方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值就 是这个一元二次方程的解，一元二次方程 的解也叫做一元二次方程的根.
下面哪些数是方程x2+3x-10=0的根？
-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5.
A. x2+130x+1400=0 B. x2+65x-350=0 C. x2-130x-1400=0 D. x2-65x-350=0
6. 如果2是方程x2-c=0的一个根，求常数c及方程的另 一个根.
解：将2代入原方程中，22-c=0，得c=4. 将c=4代入原方程，得x2-4=0. 解得x=±2. 即方程的另一个根为-2.
问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？ 2m
问题4：设雕像下部高BC = xm ,请说出你所列的方 程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？
它有什么特点？ x2+2x-4=0
2-x
AC BC
x BC AB
2-x x
x 2
（1）会设未知数，列一元二次方程.
（2）了解一元二次方程及其根的概念.
（3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地 指出各项系数.
推进新课
知识点1 寻找等量关系列方程并化简
问题1 有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm，在它 的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分 折起，就能制作一个无盖方盒. 如果要制作无盖方盒的底 面积为3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去 一个相同的正方形，我们设正方形边长为 x cm，则 盒底的宽为 (50-2x) cm，盒底的长为 (100-2x) cm， 根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2，可列方程 为 (100-2x)(50-2x)=3600 .
问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为 28 源自文库.
设邀请 x 支队参赛，则每支队与其余 (x-1) 支队
都要赛一场.根据题意，你列出的方程是
1 x(x-1)=28 2
.
整理为 x2-x=56 .
①一个圆的面积是2πm2，求半径r. πr2=2π ②一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积9cm2，求
你能把它整理成形如x2+bx+c=0的形式吗？
(100-2x)(50-2x)=3600
先去括号 5000－100x－200x+4x2=3600
移项、合并同类项 4x2－300x+1400=0
系数化为1
x2－75x+350=0
问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之 间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
整理，得50x2-25x+3=0.
（2）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10
次.有多少人参加这次聚会？
解：设有x人参加了这次聚会,
根据题意，得
1 2
x(x-1)=10，
整理，得x2-x-20=0.
5. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一 条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂 图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则x 满足的方程是（ B ）
解：一般形式：4x2+5x-81=0 二次项系数：4 一次项系数：5 常数项：-81
4. 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式.
（1）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的平
方的长方形?
解：设长方形的长为xm，则宽为(0.5-x)m.
根据题意，得x(0.5-x)=0.06,