构造等腰三角形的常用方法2

构造等腰三角形的常用方法

类型1：利用平行线构造等腰三角形

模型构建（1）利用“角平分线＋平行线”构造等腰三角形，若∠1＝∠2，

AC ∥OB ，则△OAC 为等腰三角形。

1．已知：如图，

中，

，点在上，过点的直线分别交于点，交

的延长线于点，且。求证：

。

2.已知, △AB C 为等边三角形,点D 为AC 上的一个动点,点E 为BC 延长线上一点

类型2：运用倍角有关系构建等腰三角形

模型构建：已知在△ABD，∠ACB＝∠ABC。

(1)如图1，作∠ABC的平分线BD，则可构造等腰三角形△BDC；

(2)如图2，∠ABC的平分线BD，则可构造等腰三角形△BDC；

(3)如图3，延长CB至D，使BD＝AB，则可构成两个等腰三角形，如△ABD，△ADC；

(4)如图4，作∠BCE＝∠ACB，交AB的延长线于E，则可构成等腰△BCE。

图1图2图3图4

3.已知AD是的角平分线,∠ABC=2∠C.求证:AB+BD=AC.

类型：截长补短构造等腰三角形

4.如图,在中,∠BAC＝120°,AD⊥BC于D,且

AB+BD＝DC,求∠C.

5.如图,在中,∠BAC＝108°，AB＝AC，BD平分

∠ABC，交AC于D,求证：BC＝CD+AB.（用两种方法）

相似三角形-构造相似辅助线双垂直模型

构造相似辅助线（1）——双垂直模型 6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2，1)，正比例函数y=kx 的图象与线段OA的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式． 7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．

8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：MC：NC=AP：PB． 9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y 轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D 点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（） A. B. C. D.

10..已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。求C、D两点的坐标。

6.答案：解：分两种情况第一种情况，图象经过第一、三象限过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于y轴的直线交x轴于点C，过点B作BD⊥AC则由上可知：＝90°由双垂直模型知：△OCA∽△ADB ∴ ∵A（2，1），＝45°∴OC＝2，AC＝1，AO＝AB ∴AD＝OC＝2，BD＝AC＝1 ∴D点坐标为（2，3）∴B点坐标为（1，3） ∴此时正比例函数表达式为：y＝3x 第二种情况，图象经过第二、四象限过点A作AB⊥OA，交待求直线于点B，过点A作平行于x轴的直线交y轴于点C，过点B作BD⊥AC 则由上可知：＝90°由双垂直模型知：△OCA∽△ADB ∴

构造等腰三角形

构造等腰三角形练习题(无答案) 等腰三角形是指有两条边相等的三角形，其中相等的两边叫做腰，另一条边叫做底。尺规作图在平面内作等腰三角形，从已知的边来说可以分为以下几种情况：1、作任意等腰三角形。2、已知一边作等腰三角形。3、已知一腰作等腰三角形。4、已知底边作等腰三角形。5、已知底边和腰作等腰三角形。 1. 如图，线段OA 的一个端点O 在直线a 上，以OA 为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a 上，这样的等腰三角形能画多少个? 2、在Rt ΔABC 中，∠C=90度，∠A=30度，若要在直线BC 或直线AC 上取一点P,使ΔABP 是等腰三角形，符合条件的点P 有 _____ 个。 3.在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成等腰三角形。 4.在纸上画出4个点,要求任意三个点组成的三角形都是等腰三角形,请问这四个点怎样放? 就一种情况吗? (若画5个点呢? ) 5.正方形上给定9个点，以这些点为顶点，能构成多少个等腰三角形？ O A a C B A

6.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有几个． 7.已知△ABC为等边三角形，在△ABC所在的平面内找一点P，使△PAB、△PBC、△PAC均为等腰三角形；这样的点P有几个？ PCD、△PAD均为等腰三角形；这样的点P有几个？ D C

10.在平面直角坐标系中,点A(2,-2),点B(1,0),点P 在y 铀上,且△PAB 是等腰三角形，求P 的坐标. x y O A(2,-2) B(1,0) 11.平面直角坐标系中A(-2,0),B(1,3),P 是坐标轴上一点,△PAB 为等腰三角形,那么这样的P 点共有几个？ x y O B(1,3) A(-2,0)

相似三角形解答题难题含答案个人精心整理

一、相似三角形中的动点问题 1.如图，在Rt△ ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D 从点A 出发沿射线AC方向以每秒5 个单位的速度运动，同时动点E 从点C沿射线 AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB 于H，过点E作EF⊥ AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D 运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB 相似时，求t 的值．点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm 的速度向A 点运动，当P点到达B点时，Q 点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x 为何值时，PQ∥ BC？（2）△APQ 与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能说明理由． 2.如图，在△ ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P 以2m/s 的速度从A 点出发，沿AC 向点C 移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）① 当t=2.5s 时，求△ CPQ的面积； ② 求△ CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q 移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t 的值． 5.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点P 沿 AB 边从A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D开始向点A以1cm/s 的速度移动．如果P、Q 同时出发，用t（s）表示移动的时间（0< t <6）。（1）当t 为何值时，△ QAP为等腰直角三角形？（2）当t 为何值时，以点Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC 相似？ 3.如图1，在Rt△ ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D 在边AB 上运动，DE 平分CDB交边BC 于点E， EM⊥ BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD 时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD 为何值时，△BME与△CNE相似？二、构造相似辅助线——双垂直模型 6.在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（2，1），正比例函数y=kx 的图象与线段OA 的夹角是45°，求这个正比例函数的表达式． 7.在△ABC中，AB= ，AC=4， BC=2，以AB 为边在 C点的异侧作△ABD，使△ABD 为等腰直角三角形， 4.如图所示，在△ ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm ，

构造等腰三角形解题的辅助线做法

构造等腰三角形解题的辅助线做法吕海艳等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起考查。在许多几何问题中，通常需要构造等腰三角形才能使问题获解。那么如何构造等腰三角形呢一般有以下四种方法：（1）依据平行线构造等腰三角形；（2）依据倍角关系构造等腰三角形；（3）依据角平分线+垂线构造等腰三角形；（4）依据120°角或60°角，常补形构造等边三角形。 1、依据平行线构造等腰三角形例1：如图。△ABC中，AB=AB，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于D，求证DE=DF. [点拔]：若证DE=DF，则联想到D是EF的中点，中点的两旁容易构造全等三角形，方法是过E或F作平行线，构造X型的基本图形，只需证两个三角形全等即可。 " 证明：过E作EG∥AC交BC于G ∴∠1=∠ACB，∠2=∠F ∵AB=AC ∴∠B=∠ACB ∴∠1=∠B ∴BE=GE ∵BE=CF ∴GE=CF 在△EDG和△FDC中 ∠3=∠4 ∠2=∠F

( GE=CF ∴△EDG≌△FDC ∴DE=DF [评注]：此题过E作AC的平行线后，构造了等腰△BEG，从而达到转化线段的目的。 2、依据倍角关系构造等腰三角形例2：如图。△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的平分线求证：AB+BD=AB [点拔]：在已知条件中出现了一个角是另一个角的2倍，可延长CB，构造等腰三角形，问题即可解决。证明：延长CB至E，使BE=BA，连接AE （ ∵BE=BA ∴∠BAE=∠E ∵∠ABC=2∠C, ∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E ∴∠C=∠E AC=AE ∵AD平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∴∠EAD=∠BAE+∠1=∠E+∠1=∠C+∠2=∠BDA ∴EA=ED ∵ED=EB+BD，EB=AB，AC=AE ∴AC=AB+BD …

相似三角形解题方法步骤(教师版)

相似三角形解题方法、技巧、步骤一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、相似三角形 (1)三角形相似的条件： ①；②；③. 三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决. 四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路： 1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理1或判定定理 4 找顶角对应相等判定定理1 找底角对应相等判定定理1 找底和腰对应成比例判定定理3 e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3 五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证:BA AC AF AE = （判断“横定”还是“竖定”？）例2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？说明理由。分析方法： 1）先将积式______________ 2）______________（“横定”还是“竖定”？）例1、已知：如图，△ABC 中，∠ ACB=900 ，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 延长线于F 。求证：CD 2 =DE ·DF 。分析方法： 1）先将积式______________ 2）______________（“横定”还是“竖定”？）六、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明． 1、等量过渡法（等线段代换法）遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。例1：如图3，△ABC 中，AD 平分∠BAC ， AD 的垂直平分线FE 交BC 的延长线于E ．求证：DE 2＝BE·CE ．分析： 2、等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。例2：如图4，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，E 是AC 的中点，ED 交AB 的延长线于点F ．求证：AB DF AC AF =． a)已知一对等b)己知两边对应成比 c)己知一个直d)有等腰关

相似三角形解题思路赏析

相似三角形解题思路赏析（3.29）姓名_______ 评价内容解读：人们在对两个物体或图形的形状和大小进行认识时，全等和相似的感知是伴生的．在数学上全等和相似是特殊与一般、共性与个性的关系，形状相同是二者的共性．全等形是相似比等于1时的相似形；同时我们应学会应用两个三角形相似的判定方法去解决问题。例题讲解： 1、如图，在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系式是（） A 、b a c =+ B 、b ac = C 、2 2 2 b a c =+ D 、22b a c == 2、已知矩形ABCD 的边长3cm 6cm AB BC ==，．某一时刻，动点M 从A 点出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向B 点匀速运动；同时，动点N 从D 点出发沿DA 方向以2cm /s 的速度向A 点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN △的面积等于矩形ABCD 面积的 1 9 ？（2）是否存在时刻t ，使以A M N ，，为顶点的三角形与ACD △ 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 3、如图1，在Rt ABC △中，90BAC ∠=°，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO 交AD 于F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ．（1）求证：ABF COE △∽△；（2）当O 为AC 边中点，2AC AB =时，如图2，求 OF OE 的值；（3）当O 为AC 边中点，AC n AB =时，请直接写出 OF OE 的值． 4、已知9023ABC AB BC AD BC P ∠===°，，，∥，为线段BD 上的动点，点Q 在射线AB 上，且满足PQ AD PC AB = （如图1所示）． B A D E C O F 图2 B A C E D 图1 F

北师版数学九年级上册相似三角形---构造相似基本恩图形,为解题打开一扇智慧之门

构造相似基本恩图形，为解题打开一扇智慧之门相似三角形问题解答时，常遇到或构造一个重要解题基本图形，这个基本图形构成元件非常简单，但是这个图形的解题内涵非常丰富，能为很多问题的破解提供强有力的方法支撑.一起走进这个基本图形. 一、认识基本图形如图1，在△ABC中，点D,E分别是AB,AC上的点，且DE∥BC.则△ADE∽△ABC. 常见基本结论：一“=”型比例式： AD:BD=AE:EC；AD:AB=AE:AC；AD:AE=BD:CE. 连“=”型比例式： AD:AB=AE:AC=DE:BC. 二、基本图形的解题应用（一）.直接应用型 1.1探求被截线段的长度例1 （2019年四川内江市）如图2，在△ABC中，DE∥BC，AD=9，DB=3，CE=2，则AC的长为（） A．6 B．7 C．8 D．9 解析：因为DE∥BC，所以=，即=，所以AE=6，所以AC=AE+EC=6+2=8．所以选C．点评：这是平行线分线段成比例定理的简易图形，是定理的一个重要缩影，更是解题的一个重要工具性图形，识记图形是基础，活用图形解题是根本，据图正确选择比例式是解题的关键. 1.2探求与截线平行线段的长度例2 （2019年广西贺州市）如图3，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，DE∥BC，若AD=2，AB=3，DE=4，则BC等于（） A．5 B．6 C．7 D．8

解析：因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以=，即=，解得：BC=6，所以选B．点评：基本图形中，当求与截线平行的线段长时，要转换解题思路，把平行线分线段成比例定理转型为“A”字型的三角形相似问题解决，这种转化思想很重要． 1.3探求非比例线段，非平行线段的线段的长度例3 （2019年广西贵港市）如图4，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，∠ACD=∠B，若AD=2BD，BC=6，则线段CD的长为（） A．2B．3C．2D．5 解析：设AD=2x，BD=x，所以AB=3x，因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以=，所以=，所以DE=4，=，因为∠ACD=∠B， ∠ADE=∠B，所以∠ADE=∠ACD，因为∠A=∠A，所以△ADE∽△ACD，所以=，设AE=2y，AC=3y，所以=，所以AD=y，所以=，所以CD=2，所以选：C．点评：在“A”字型基本图形中解题，实现三个维度的目标：一是三角形相似，构造连等比例式；二是巧妙引进未知数表示未知线段，化抽象线段为具体表达线段，利于计算；三是依托基本图形为基础，提供新条件，为新三角形的相似奠基，为问题的最终解决搭桥． 1.4 甄别比例式例4 （2019年浙江省杭州市）如图5，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M 为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（） A．=B．=C．=D．=

第27章.相似——专训2：巧作平行线构造相似三角形

第27章.相似——专训2：巧作平行线构造相似三角形名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，做平行线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的平行线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．巧连线段的中点构造相似三角形 1．如图，在△ABC 中，E ，F 是边BC 上的两个三等分点，D 是AC 的中点，BD 分别交AE ，AF 于点P ，Q ，求BP ：PQ ： QD. (第1题 ) 过顶点作平行线构造相似三角形 2．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，F 为底边AB 上一点，BF ：AF ＝3：2，取CF 的中点D ，连接AD 并延长交BC 于点E ，求BE EC 的值． (第2题) 3.如图，已知△ABC 中，AD 为BC 边上中线，过C 任作一条直线交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF ：FB ． (第3题 ) 过一边上的点作平行线构造相似三角形 4．如图，在△ABC 中，AB ＞AC ，在边AB 上取一点D ，在AC 上取一点E ，使AD ＝AE ，直线DE 和BC 的延长线交于点P.求证：BP CP ＝BD EC . (第4题 ) 过一点作平行线构造相似三角形 5．如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝1 4 AB ，连接EM 并延长交BC 的延长线于点D.求证：BC ＝2CD. 作辅助线的方法一： (第5题①) 作辅助线的方法二： (第5题②) 作辅助线的方法三： (第5题③) 作辅助线的方法四： (第5题④)

相似三角形解题方法学生版

相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、相似三角形 (1)三角形相似的条件： ① ；② ；③ . 三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决. 四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路： 1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等判定定理1 找底角对应相等判定定理1 找底和腰对应成比例判定定理3 e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3 五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证: BA AC AF AE （判断“横定”还是“竖定”？） a)已知一对等 b)己知两边对应成比 c)己知一个直角 d)有等腰关系

构造基本图形——等腰三角形

习题课《构造基本图形——等腰三角形》一、教学目标知识与能力： 1．探究构造等腰三角形的方法，能通过作垂线和平行线来构造等腰三角形。 2．能灵活的运用等腰三角形的性质进行有关说理并解决具体的数学问题。过程与方法： 1. 运用类比研究问题的方法，提高分析问题和解决问题的能力。 2．培养学生逻辑推理能力和创造性思维能力。 3．在自主探究中理解基本图形，收获探究方法，充分体现观察、实验、猜想、论证、应用的研究几何图形问题的全过程。情感、态度、价值观： 1．认识到观察、实验、类比可以获得数学猜想，数学活动赋予探索、充满挑战。 2．引导学生面对困难时要积极对待，冷静思考，尽力寻求方法解决问题。二、教学重点学生探索构造等腰三角形。三、教学难点对构造的基本图形 ----- 等腰三角形方法的归纳。四、教学手段利用多媒体手段，直观演示图形。五、教学过程（一）导入新知在轴对称一章里，我们接触了等腰三角形，如图等腰三角形△ ABC ，它有什么性质和判定方法？

等腰三角形：等边对等角，等角对等边及底边上的高线、中线、顶角的角平分线重合。等腰三角形具有这么特殊的性质，提供了“边与边、角和角及边和角的关系”。我们把等腰三角形看作是平面几何中的一个基本图形，在很多问题中，如果有等腰三角形，我们要把它能从复杂图形中找出来；如果问题中没有有时我们还需要想办法构造出来，本节课我们就来探究如何构造等腰三角形。我们来看这样一个问题：（展示课件）（学生活动）问题 1 ：利用圆规或三角板，在角上添加线构造等腰三角形方法：有多种方法，分别把∠ O 作为底角和顶角来构造。问题 2 ：利用角平分线的条件，过点 P 作一条线段构造等腰三角形设计说明：这个环节由学生自己动手画图操作，发散学生思维，寻求多种方法解决问题，同时对每一种画法，说明理由。在探索过程中，学生可能会给出多种构造方法，比如： 1 ．以顶点 O 为圆心， OP 长为半径作弧，交角的两边于点 A 、 B ，连结 AB ，则△ OAB 为等腰三角形。 2 ．以点 P 为圆心， OP 长为半径作弧，交角的一边于点 A ，连结 AP ，则△ OAP 为等腰三角形。 3 ．过 P 点分别向角的两边引垂线段，垂足点 A 、 B ，连结 AB ，则△ OAB 为等腰三角形。

(完整版)构造相似三角形解题的几种类型

构造相似三角形解题的几种类型 ⑴构造相似三角形求值；⑵构造相似三角形证角相等；⑶构造相似三角形证明等积式；⑷构造相似三角形证明线段的平方和、差、积；⑸构造相似三角形证明两线垂直例1、（构造相似三角形求值）如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=3AD ，E 是腰AB 上一点.若△BCE 和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，并且21S =32S ，求AE BE 的值（延长两腰，构造相似三角形）例2、（构造相似三角形证角相等）如图，在等边△ABC 的边BC 上取点D ，使DC BD =2 1，作CH ⊥AD ，H 为垂足，连接BH.求证：∠DBH=∠DAB 构造相似三角形证明等积式（作BC 边上的高，由“三线合一”得到垂足即为中点.构造相似三角形；对△BDH 和△ADB ，有一个公共角，只需证夹它的两边对应成比例）例3、（构造相似三角形证明等积式）在△ABC 中，已知AB=AC ，BD 为AC 边上的高.求证：CD AC BC ?=22

（提示：法一出现2AC 法三利用三线合一，构造双直角图形例4、（构造相似三角形证明线段的平方和、差、积）如图，在△ABC 中， ∠B=2∠C ，求证：BC AB AB AC ?=-22 例5、（构造相似三角形证明两线垂直）如图，△ABC 和△111C B A 均为正三角形，BC 和11C B 的中点均为点D.求证：AA ?⊥CC ? 法二出现2CD 两个等腰三角形相似

例6、⑴确定最值；⑵探索图形相似如图①，在△ABC中，∠A=90°，BC=10，△ABC的面积为25.点D为AB 边上的任意一点（D不与A、B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E.设DE=x，以DE为折痕将△ADE翻折，使△ADE落在四边形BDCE所在平面内，所得的△A′DE与梯形DBCE重叠部分的面积记为y. ⑴用x表示△ADE的面积； ⑵当0＜x≤5时，求y与x的函数关系式； ⑶当5＜x＜10时，求y与x的函数关系式； ⑷当x取何值时，y的值最大？最大值时多少？

构造等腰三角形解题方法论

构造等腰三角形解题方法论山东沂源县徐家庄中心学校 256116 左效平等腰三角形是一种特殊的三角形，它的性质和判定在计算和证明中有着广泛的应用.当图形中无显性的等腰三角形时，可根据条件和图形的特征，适当添加辅助线，如延长线，平行线等等，直接构造等腰三角形或判定三角形是等腰三角形，后利用等腰三角形的性质，破解问题. 1.延长线段法直接构造等腰三角形例1 如图1，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C. 求证： AB+BD=AC. 图 1 分析：延长AB到点E，使得BE=BD，只需证明 △ADE≌△ADC，结论得证. 证明：延长AB到点E，使得BE=BD，连接DE，因为BE=BD，所以∠ABC=2∠E. 因为∠ABC=2∠C，所以∠C=∠E. 所以 DAE DAC E C DA DA ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ，所以△ADE≌△ADC，所以AC=AE. 因为AE=AB+BE，所以AB+BD=AC. 点评：延长较长的线段，使得延长线段等于较短的线段，从而把折线段的和转化为共线线段的和，设法证明构造的新线段与所求和线段相等即可.这是证明这类问题的一种常用方法要熟练掌握. 例2 如图2，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，BD平分∠ABC. 求证：BC=AB+AD. 图 2 分析：注意等腰直角三角形锐角为45°. 证明：延长AB到点E，使得AE=AD，连接DE，因为AE=AD，AB=AC，∠A=90°, 所以∠C=∠E=45°. 所以 EBD CBD E C DB DB ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ，所以△BDE≌△BDC，所以BC=BE. 因为BE=AB+AE，所以BC=AB+AD. 点评：熟记等腰直角三角形锐角为45°是解题的重要因素. 2.延长线段法先判断等腰三角形后证不等式例3 如图3，已知,在△ABC中，AD是边BC上的中线，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，连接EF. 求证：EF＜ BE+CF. 图 3 分析：延长ED到点G，使得ED=DG，则DF是三角形EFG的中线，根据DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，可以得到DF⊥EG，从而判断三角形EFG是等腰三角形，把EF迁移到 FG的位置上,利用三角形全等的

相似三角形解题方法、步骤(教师版)

相似三角形解题方法、技巧、步骤一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础．二、相似三角形 (1)三角形相似的条件： ①；②；③. 三、两个三角形相似的六种图形：只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决. 四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路： 1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理1或判定定理 4 找顶角对应相等判定定理1 找底角对应相等判定定理1 找底和腰对应成比例判定定理3 e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3 五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。例1、已知:如图,ΔABC 中,CE ⊥AB,BF ⊥AC. 求证:BA AC AF AE = （判断“横定”还是“竖定”？）例2、如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交BC 、CD 于点E 、F ，AC ·AE=AF ·AB 吗？说明理由。分析方法： 1）先将积式______________ 2）______________（“横定”还是“竖定”？）例1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=900 ，AB 的垂直平分线交AB 于D ，交BC 延长线于F 。求证：CD 2 =DE ·DF 。分析方法： 1）先将积式______________ 2）______________（“横定”还是“竖定”？）六、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明． 1、等量过渡法（等线段代换法）遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。例1：如图3，△ABC 中，AD 平分∠BAC ， AD 的垂直平分线FE 交BC 的延长线于E ．求证：DE 2＝BE·CE ．分析： 2、等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。例2：如图4，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC ，E 是AC 的中点，ED 交AB 的延长线于点F ．求证：AB DF AC AF =． a)已知一对等b)己知两边对应成比 c)己知一个直d)有等腰关

八年级数学上册第十三章轴对称微专题构造等腰三角形技巧(一)作平行线同步精练(新版)新人教版

微专题构造等腰三角形技巧（一）作平行线【方法技巧】在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形，从而实现边角之间的转化. 基本图形：图1（作腰的平行线）图2（作底的平行线）一、作腰的平行线 1 .如图， AE , BC 交于 D,且 AB= CE / B+/ DCE= 180°,求证： AD= DE （导学号: 58024178) 【解题过程】证明：方法一：?作 AF// CE 交 BC 于 F ,证 AB= AF = CE △ ADF^A EDC 方法二：作 EF// AB 交BC 的延长线于 F ,证EF = CE= AB △ ABD^A EFD 注：①延长 BA EC 交于M ，条件/ B +Z DCE= 180°, 实质隐藏着△ BCM!等腰三角形； ②若过 A 作 AML BD 于 M 过 E 作 ENL CD 于汕证厶 ABM^A CEN △ AM ^A END 也可. 2. （2017 ?武汉二中月考改）如图，在厶ABC 中 , AB= AC ,点E 在AB 上 ,点F 在AC 的延长线上，且BE= CF, EF 交BC 于点N, EM L BC 于点M 求证：MN= BM + CN （导学号：58024179）【解题过程】证明：作 EG// AC 交 BC 于 G,证 BM= MG GN= CN 即可 . 厂

、作底边的平行线 3.如图，△ ABC中，CA CB D在AC的延长线上，E在BC上，且CD= CE求证：DE 丄AB（导学号：58024180）【解题过程】证明：方法一：如图（1）,过D作DM/ AB交BC的延长线于M即可得证；图（1）方法二：如图（2），过C作CM/ AB交DE于M也可; 图（2）方法三：过C作CM丄AB于M 再证DE// CM也可；方法四：过E作EM/ AB交AC于M 由/ CM E=Z CEI\/I Z D=Z CED 可得/ CEDb Z CEM =Z DEI W 90° 会员升级服务第一拨?清北季神马，有清华北大学霸方法论课；还有清华学霽向所有的父母亲述自己求学之豁; 衡水名楼试卷悄悄的上堤了；扫qq领取官网不首发课程，很多人我没告诉他啊！会员qq专享等你来撩……

相似三角形解题方法与技巧

相似三角形解题方法与技巧一、相似三角形的判定：（比照全等三角形）例1：如图，在△ABC 中，D 是AB 上任意一点，DF‖BC，延长BC 到点E 使CE=BC ，连结DE 叫AC 于点G ，求证 : AD AB =DG GE 例2：如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D ，CG ∥AB ，BG 分别交AD 、AC 于E 、F ．求证：BE 2 =EF ?EG ．例3：如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是 A B C D 例4：在正方形ABCD 中,E 是AB 的中点,AF=14 AD.求证：(1)△FAE ∽△EBC(2)FE ⊥EC

二、常见的相似三角形的类型：（1）平行线型（2）相交线型（3）旋转型（4）母子型（5）K 形图解决相似三角形问题，关键是要善于从复杂的图形中分解出（构造出）上述基本图形．例：观察能力训练：指出下列图形中的相似三角形。三、相似三角形的性质 (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形中对应三线之比等于相似比． (3)相似三角形的周长的比等于相似比． (4)相似三角形面积之比等于相似比的平方． B C B C A D E A B C

例：在△ABC 中,点D 、E 、F 分别在AB,AC,BC 上,DE//BC,EF//AB,若△ADE 与△CEF 面积分别为9和4,求四边形DEFB 的面积。四、如何确定对应边与对应角（1）对应角所对的边是对应边，两对应角所夹的边是对应边；（2）对应边所对的角是对应角，两对应边所夹的角是对应角；（3）公共角是对应角，其对边是对应边；（4）对顶角是对应角，其对边是对应边；（5）最长（短）边对应最长（短）边，最大（小）角对应最大（小）角。相似三角形解题方法与技巧 ◆判定两个三角形相似的证题思路 1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；找另一角两角对应相等，两三角形相似找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似找另一角两角对应相等，两三角形相似找两边对应成比例判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等判定定理1 找底角对应相等判定定理1 找底和腰对应成比例判定定理3 e)相似形的传递性：若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3 a)已知一对等角 b)己知两边对应成比例 c)己知一个直角 d)有等腰关系

构造等腰三角形解题地常见途径

构造等腰三角形解题的常见途径等腰三角形是研究几何图形的基础，因此在许多几何问题中，常常需要构造等腰三角形才能使问题获解，那么如何构造等腰三角形呢？一般说来有以下几种途径：一、利用角平分线+平行线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图1①中，若AD 平分∠BAC ，AD ∥EC ，则△ACE 是等腰三角形；如图1②中，AD 平分∠BAC ，DE ∥AC ，则△ADE 是等腰三角形；如图1③中，AD 平分∠BAC ，CE ∥AB ，则△ACE 是等腰三角形；如图1④中，AD 平分∠BAC ，EF ∥AD ，则△AGE 是等腰三角形．例1 如图2，△ABC 中，AB ＝AC ，在AC 上取点P ，过点P 作EF ⊥BC ，交BA 的延长线于点E ，垂足为点F ．求证：．AE ＝AP ．简析要证．AE ＝AP ，可寻找一条角平分线与EF 平行，于是想到AB ＝AC ，则可以作 AD 平分∠BAC ，所以AD ⊥BC ，而EF ⊥BC ，所以AD ∥EF ，所以可得到△AEP 是等腰三角形，故AE ＝AP ．例2 如图3，在△ ABC 中，∠BAC 、∠BCA 的平分线相交于点O ，过点O 作DE ∥AC ，分别交AB 、BC 于点D 、E ．试猜想线段 AD 、CE 、DE 的数量关系，并说明你的猜想理由． C A B E D O 图3 图4 F C D E B A M 图2 F B A C D P E 图1 ① D ② C D C ④ F C D

简析猜想：AD +CE ＝DE ．理由如下：由于OA 、OC 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，DE ∥AC ，所以△ADO 和△CEO 均是等腰三角形，则DO ＝DA ，EC ＝EO ，故AD +CE ＝DE ．例3 如图4，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 、F 分别在BD 、AD 上，且DE ＝CD ，EF ＝AC ．求证：EF ∥AB ．简析由于这里要证明的是EF ∥AB ，而AD 平分∠BAC ，所以必须通过辅助线构造出平行线，这样就可以得到等腰三角形了，于是DE ＝CD 的提示下，相当于倍长中线，即延长 AD 至M ，使DM ＝AD ，连结EM ，则可证得△MDE ≌△ADC ，所以ME ＝AC ，又EF ＝AC ，∠M ＝ ∠CAD ，所以∠M ＝∠EFM ，即∠CAD ＝∠EFM ，又因为AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠EFD ＝∠CAD ，所以EF ∥AB ．二、利用角平分线+垂线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形．如图5中，若AD 平分∠BAC ，AD ⊥DC ，则△AEC 是等腰三角形．例4 如图6，已知等腰R ｔ△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD 交BF 的延长线于D ．求证：BF ＝2CD ．简析由BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，并在图5的揭示之下，延长线BA 、CD 交于点E ，于是△BCE 是等腰三角形，并有ED ＝CD ，余下来的问题只需证明BF ＝CE ，而事实上，由∠BAC ＝90°，CD ⊥BD ，∠AFB ＝∠DFC ，得∠ABF ＝∠DCF ，而AB ＝AC ，所以△ABF ≌△ACE ，则 BF ＝CE ，故BF ＝2CD ．三、利用转化倍角，构造等腰三角形当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形．如图7①中，若∠ABC ＝2∠C ，如果作BD 平分∠ABC ，则△DBC 是等腰三角形； E 图5 A B C D 图6 B F D E C A

二次函数构造等腰三角形

题型三：构造等腰三角形如图，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上是否存在一点Q 使得△ACQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式练习】 1．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（m ，m ），点B 的坐标为（n ，﹣n ），抛物线经过A 、O 、B 三点，连接OA 、OB 、AB ，线段AB 交y 轴于点C ．已知实数m 、n （m ＜n ）分别是方程x 2 ﹣2x ﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 为线段OB 上的一个动点（不与点O 、B 重合），直线PC 与抛物线交于D 、E 两点（点D 在y 轴右侧），连接OD 、BD ． ①当△OPC 为等腰三角形时，求点P 的坐标； ②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D 的坐标．

2.如图，抛物线2 54y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC=BC ．（1）写出A,B,C 三点的坐标并求抛物线的解析式；（2）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由． 3．（2010黄冈）已知抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O.过抛物线上一点P （x ，y ）向直线5 4 y = 作垂线，垂足为M ，连FM （如图）. （1）求字母a ，b ，c 的值；（2）在直线x ＝1上有一点3(1,)4 F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求出t 值，若不存在请说明理由. A C B y x 0 1 1