小专题构造等腰三角形的常用技巧人教版八年级数学上册作业课件PPT
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小专题(5) 构造等腰三角形的常用技巧-2020秋人 教版八 年级数 学上册 作业课 件(共20 张PPT)
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5．如图，在△ABC 中，AD 为中线，E 为 AB 上一点，AD，CE 交 于点 F，且 AE＝EF，求证：AB＝CF.
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技巧三：利用中线倍长法构造等腰三角形 4．如图，若∠1＝∠2，D 为 BC 的中点，求证：AB＝AC. 证明：延长 AD 至 E， 使 DE＝AD，连接 BE， 可证△BDE≌△CDA(SAS)． ∴∠2＝∠E＝∠1. ∴AB＝BE＝AC.
小专题(五) 构造等腰三角形的常用技巧
技巧一：作平行线构造等腰三角形 【模型构建】 ①利用“角平分线＋平行线”构造等腰三角形．若∠1＝∠2，AC∥ OB，则△OAC 为等腰三角形．
②作腰的平行线构造等腰三角形．若 AB＝AC，DE∥AC，则△BDE 为等腰三角形．
来自百度文库
③作底边的平行线构造等腰三角形．若 AB＝AC，DE∥BC，则△ADE 为等腰三角形．
∴∠G＝∠EAF. ∵AE＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA＝∠GFC. ∴∠G＝∠GFC，∴CG＝CF.∴AB＝CF. 方法二：延长 AD 至 M，使 DM＝DF，连接 BM， 同理可证 CF＝BM＝AB. 方法三：作 BM⊥AD 于 M，CN⊥AD 于 N， 先证△BMD≌△CND，BM＝CN， 再证△ABM≌△FCN 即可．
证明：方法一： 延长 AD 至 G， 使 DG＝AD，连接 CG. 可证△ABD≌△GCD， ∴AB＝CG.
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技巧二：运用倍角关系构造等腰三角形 【模型构建】 已知在△ABC 中，∠ACB＝12∠ABC. (1)如图①，作∠ABC 的平分线 BD，则可构造等腰△BDC； (2)如图②，作∠BCE＝2∠ACB，交 BA 的延长线于点 E，则可构造 等腰△BCE；
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证明：方法一：作 AF∥CE 交 BC 于点 F， ∴∠AFD＝∠ECD. ∵∠B＋∠DCE＝180°， ∴∠B＋∠AFD＝180°. 而∠AFB＋∠AFD＝180°，∴∠B＝∠AFB.∴AB＝AF＝CE. ∴可证△ADF≌△EDC.∴AD＝DE. 方法二：作 EF∥AB 交 BC 的延长线于点 F. 可证 EF＝CE＝AB，△ABD≌△EFD，∴AD＝DE.
3．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，且∠B＝2∠C， 求证：AB＋BD＝AC.
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1．如图，AE，BC 交于点 D，且 AB＝CE，∠B＋∠DCE＝180°， 求证：AD＝DE.
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(4)如图④，作∠BCE＝∠ACB，交 AB 的延长线于点 E，则可构造等 腰△BCE.
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证明：作 EG∥AC 交 BC 于点 G. 则∠GEN＝∠CFN， ∠EGB＝∠ACB. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠EGB＝∠B， ∴EB＝EG.∵BE＝CF，∴EG＝CF. ∴可证△EGN≌△FCN(AAS)．∴GN＝CN. ∵EB＝EG，EM⊥BC，∴BM＝MG. ∴MN＝MG＋GN＝BM＋CN.
证明：在边 AC 上截取 AP＝AB，连接 PD. ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD＝∠PAD. ∴△ABD≌△APD(SAS)． ∴∠APD＝∠B，PD＝BD. ∵∠B＝2∠C，∠APD＝∠PDC＋∠C， ∴∠PDC＝∠C. ∴PD＝PC.∴BD＝PC. ∴AB＋BD＝AP＋PC＝AC.
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(3)如图③，延长 CB 至 D，使 BD＝AB，则可构造两个等腰三角形： △ABD，△ADC；
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2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 E 在 AB 上，点 F 在 AC 的延 长线上，且 BE＝CF，EF 交 BC 于点 N，EM⊥BC 于点 M，求证：MN ＝BM＋CN.
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5．如图，在△ABC 中，AD 为中线，E 为 AB 上一点，AD，CE 交 于点 F，且 AE＝EF，求证：AB＝CF.
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技巧三：利用中线倍长法构造等腰三角形 4．如图，若∠1＝∠2，D 为 BC 的中点，求证：AB＝AC. 证明：延长 AD 至 E， 使 DE＝AD，连接 BE， 可证△BDE≌△CDA(SAS)． ∴∠2＝∠E＝∠1. ∴AB＝BE＝AC.
小专题(五) 构造等腰三角形的常用技巧
技巧一：作平行线构造等腰三角形 【模型构建】 ①利用“角平分线＋平行线”构造等腰三角形．若∠1＝∠2，AC∥ OB，则△OAC 为等腰三角形．
②作腰的平行线构造等腰三角形．若 AB＝AC，DE∥AC，则△BDE 为等腰三角形．
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③作底边的平行线构造等腰三角形．若 AB＝AC，DE∥BC，则△ADE 为等腰三角形．
∴∠G＝∠EAF. ∵AE＝EF， ∴∠EAF＝∠EFA＝∠GFC. ∴∠G＝∠GFC，∴CG＝CF.∴AB＝CF. 方法二：延长 AD 至 M，使 DM＝DF，连接 BM， 同理可证 CF＝BM＝AB. 方法三：作 BM⊥AD 于 M，CN⊥AD 于 N， 先证△BMD≌△CND，BM＝CN， 再证△ABM≌△FCN 即可．
证明：方法一： 延长 AD 至 G， 使 DG＝AD，连接 CG. 可证△ABD≌△GCD， ∴AB＝CG.
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技巧二：运用倍角关系构造等腰三角形 【模型构建】 已知在△ABC 中，∠ACB＝12∠ABC. (1)如图①，作∠ABC 的平分线 BD，则可构造等腰△BDC； (2)如图②，作∠BCE＝2∠ACB，交 BA 的延长线于点 E，则可构造 等腰△BCE；
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证明：方法一：作 AF∥CE 交 BC 于点 F， ∴∠AFD＝∠ECD. ∵∠B＋∠DCE＝180°， ∴∠B＋∠AFD＝180°. 而∠AFB＋∠AFD＝180°，∴∠B＝∠AFB.∴AB＝AF＝CE. ∴可证△ADF≌△EDC.∴AD＝DE. 方法二：作 EF∥AB 交 BC 的延长线于点 F. 可证 EF＝CE＝AB，△ABD≌△EFD，∴AD＝DE.
3．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，且∠B＝2∠C， 求证：AB＋BD＝AC.
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1．如图，AE，BC 交于点 D，且 AB＝CE，∠B＋∠DCE＝180°， 求证：AD＝DE.
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(4)如图④，作∠BCE＝∠ACB，交 AB 的延长线于点 E，则可构造等 腰△BCE.
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证明：作 EG∥AC 交 BC 于点 G. 则∠GEN＝∠CFN， ∠EGB＝∠ACB. ∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠EGB＝∠B， ∴EB＝EG.∵BE＝CF，∴EG＝CF. ∴可证△EGN≌△FCN(AAS)．∴GN＝CN. ∵EB＝EG，EM⊥BC，∴BM＝MG. ∴MN＝MG＋GN＝BM＋CN.
证明：在边 AC 上截取 AP＝AB，连接 PD. ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD＝∠PAD. ∴△ABD≌△APD(SAS)． ∴∠APD＝∠B，PD＝BD. ∵∠B＝2∠C，∠APD＝∠PDC＋∠C， ∴∠PDC＝∠C. ∴PD＝PC.∴BD＝PC. ∴AB＋BD＝AP＋PC＝AC.
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(3)如图③，延长 CB 至 D，使 BD＝AB，则可构造两个等腰三角形： △ABD，△ADC；
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2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 E 在 AB 上，点 F 在 AC 的延 长线上，且 BE＝CF，EF 交 BC 于点 N，EM⊥BC 于点 M，求证：MN ＝BM＋CN.