利用空间向量证明平行、

证明:以D为坐标原点,以DA,DC,DD1为坐标轴建系如右图, 则B(2,2,0),D1(0,0,3), E(1,2,0),C1(0,2,3),
BD1 (2, 2,3), DE (1, 2, 0), EC1 (1, 0,3).
设BD1 DE EC1,
即2, 2,3 1, 2, 0 1, 0,3,得
典 例 剖 析 (学生用书P80)
题型一 证明线面平行 例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是C1C、B1C1的中点,
求证:MN∥平面A1BD.
分析:分析1,如下图,易知MN∥DA1 因此得方法1.
证明:
MN
C1N
C1M
1 2
C1B1
1 2
C1C
1
1
2 (D1A1 D1D) 2 DA1,
2
2
MN (0, 1 , 1) 22
设平面A1BD的法向量为n x, y, z
则n?A1D 0且n A1B 0
得
y x
z z
0 取x 0
1,则y
1, z
1
n 1,1,1.
MN n 0 1 1 0 22
MN n,又MN 平面A1BD. MN 平面A1BD.
变式训练1:ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,侧棱长为3,底面边长 为2,E是棱BC的中点,求证:BD1∥平面C1DE.
2.证明两条直线平行,只要证明这两条直线的方向向量是 __共_线__向_量____即可.
3.证明线面平行的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量______垂__直___.
(2)证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量 ______共__线__.
(3)利用共面向量的定理,即证明直线的方向向量与平面内两
AB1 (2, 2, 2) (2, 0, 0) (0, 2, 2). AC (0, 2, 0) (2, 0, 0) (2, 2, 0). 而EF AB1 (1, 1,1) (0, 2, 2)
1 0 1 2 1 2 0. EF AC 1, 1,1 2, 2, 0
2 2 0 0, EF AB1, EF AC.又AB1 AC A, EF 平面B1AC.
2.利用空间向量证明两条异面直线垂直:在两条异面直线上 各取一个向量a、b,只要证明a⊥b,即a·b=0即可.
3.证明线面垂直:直线l,平面α,要让l⊥α,只要在l上取一 个非零向量p,在α内取两个不共线的向量a、b,问题转化 为证明p⊥a且p⊥b,也就是a·p=0且b·p=0.
4.证明面面平行、面面垂直,最终都要转化为证明线线平行、 线线垂直.
2,
2 2,
解得 1, 1.
3 3,
BD1与DE, EC1共面, 又 BD1 面C1DE,BD1 面C1DE.
题型二 证明线面垂直
例2:如下图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、 D1B1的中点.
求证:EF⊥平面B1AC.
分析:转化为线线垂直或利用直线的方向向量与平面的法向 量平行.
方法2 : 设AB a, AD c, AA1 b,
则EF
EB1
B1F
1 2
(BB1
B1D1 )
1 2
( AA1
BD)
1 2
(a
b
c),
AB1 AB AA1 a b. 1
EF AB1 2 (a b c) (a b)
1 b2 a2 c a c b 2
1 b 2 a 2 0 0 0. 2
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7.证明面面垂直的方法
(1)转化为__线_线__垂_直____、____线_面__垂_直__; (2)证明两个平面的法向量__互__相_垂__直___.
名 师 讲 解 (学生用书P80)
1.利用空间向量证明线与面平行:只要在平面α内找到一条 直线的方向向量为b,已知直线的方向向量为a,问题转化为 证明a=λb即可.
EF / / AB1, 即EF AB1,同理EF B1C. 又AB1 B1C B1, EF 平面B1AC.
方法3:设正方体的棱长为2,建立如下图所示的空间直角坐标 系,
则A 2, 0, 0, C0, 2, 0, B1 2, 2, 2, E 2, 2,1, F1,1, 2.
EF (1,1, 2) (2, 2,1) (1, 1,1).
证明:方法1:设A1B1的中点为G, 连结EG,FG,A1B. 则FG∥A1D1,EG∥A1B. ∵A1D1⊥平面A1B.∴FG⊥平面A1B. ∴AB1⊂平面A1B,∴FG⊥AB1, ∴A1B⊥AB1,∴EG⊥AB1.∴EF⊥AB1. 同理EF⊥B1C.又AB1∩B1C=B1, ∴EF⊥平面B1AC.
3.2.2 利用空间向量证明平行、 垂直关系
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自 学 导 引 (学生用书P80) 会用空间向量证明线与线、线与面、面与面之间的平行,垂
直关系,掌握用向量解决立体几何问题的方法步骤.
课 前 热 身 (学生用书P80)
1.空间中的平行关系主要有____线_线__平_行__、_____线_面__平_行_、 __面_面__平_行____,空间中的垂直关系主要有___线_线__垂_直___、 ___线_面__垂_直___、____面__面_垂__直_.
共面向量
个不共线的向量是__________.
4.证明面面平行的方法 (1)转化为__线__线_平__行___、___线__面_平__行__处理; (2)证明这两个平面的法向量是共__线_向__量_____. 5.证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量
___互_相__垂_直___. 6.证明线面垂直的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量是_共__线_向__量____; (2)证明直线与平面内的两__条_不__共_线__向_量_.互相垂直
MN / /DA1. MN 平面A1BD,
MN 平面A1BD.
分析2 : 建立直角坐标系,证明MN
与平面A1BD的法向量垂直. 证明: 如上图,建立空间直角坐标系A xyz.
设棱长为1,则可求得A1 0, 0,1, B1, 0, 0, D 0,1, 0,
M (1,1, 1), N (1, 1 ,1).