电动力学第8讲22静电势的多极展开
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V
D 3 ( x ')x ' x ' dV '
V
1 1 1 1 1 ( x) Q p D : ... 4 0 R R 6 R ( x ) ( x ) ( x ) ...
0
山东大学物理学院 宗福建
9
泰勒级数展开
f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 ) x f ( x, y ) y f ( x, y ) x y x x0 , y y0
x x0 , y y0
2 1 2 2 2 2 (x 2 xy y ) f ( x, y ) ...... 2 2 2! x xy y x x , y y
E
山东大学物理学院 宗福建 5
标势 的Poisson方程
E 0 E / 0 E
0
2
山东大学物理学院 宗福建 6
静电场的标势
若电荷连续分布，电
荷密度为ρ ，设r为
由源点x' 到场点x的
距离，则场点x处的
电势为
( x)
1 4 0
1
( x) dV ' V 4 r 0 式中体积分遍及电荷分布区域， r为源
点x’ 到场点x的距离。
( x)
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12
电势的多极展开
在许多物理问题中，电荷只分布于一个小区域内，而 需要求电场强度的地点x又距离电荷分布区域比较远，
即r远大于区域V的线度l 。在这种情况下，可以表示
为 1/ r 的展开式，由此得出电势 φ 的各级近似值。 例如原子核的电荷分布于 ~10
−15m
线度的范围内， ，因此原子
而原子内电子到原子核的距离~10
−10m
核作用到电子上的电场可以用本节方法求得各级近似
值。
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13
电势的多极展开
在区域V内取一点O作为坐 标原点，以R表示由原点 到场点P的距离
V
1 1 ( x ')x ' x ' dV ' : ... 2! R
(0) ( x ) (1) ( x ) (2) ( x ) ...
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电势的多极展开
Q ( x ')dV '
V
p ( x ')x ' dV '
0 0
1 n ( x y ) f ( x0 , y0 ) x y 0 n!
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泰勒级数展开
wk.baidu.com
1 n f ( x 0 x ) ( x ) f ( x 0 ) 0 n!
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11
电势的多极展开
真空中给定电荷密度 ρ(x̍ ) 激发的电势
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电势的多极展开
1 1 f (x - x') r x - x'
R x
1 1 1 1 2 1 x ' (x ' ) ... r R R 2! R 1 1 1 1 x ' x ' x ' : ... R R 2! R
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静电场的标势
在静电情况下，电场与磁场无关，麦氏 方程组的电场部分为
E 0 E / 0
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静电场的标势
定义电势差
( P2 ) ( P 1 ) E dl
P 1
P 2
因此，电场强度E 等于电势φ的负梯度
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电势的多极展开
1 1 1 2 1 ( x) ( x ') x ' ( x ') ... dV ' V 4 0 R 2! R R 1 1 1 1 ( x ')dV ' ( x ')x ' dV ' V V 4 0 R 4 0 R 1 1 4 0
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Maxwell方程组
B E d l dS t l s E B d l 0 I 0 0 dS l t s Q Q dV E d S 0 s B dS 0 I J dS s
x' 点在区域V内变动。由于区域线度远小于R，可以把 x' 各分 量看作小参量，把 x −x' 的函数对 x' 展开。
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电势的多极展开
设 f（x −x'）为 x −x' 的任一函数，在 x点附近 f（x −x'）的展开式为
1 f ( x0 x) ( x ) n f ( x0 ) 0 n! 1 f ( x x ') ( x ' ) n f ( x) 0 n! 1 f ( x) x ' f ( x) ( x ' ) 2 f ( x) ... 2!
《电动力学》第14讲
第二章 静电场(6) §2.6 静电势的多极展开 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2015年10月30日
Maxwell方程组
B E t E B 0 J 0 0 t E 0 B0
x' 点在区域V内变动。由 于区域线度远小于R，可 以把 x' 各分量看作小参 量，把 x −x' 的函数对 x' 展开。
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电势的多极展开
在区域V内取一点O作为坐标原点，以R表示由原点到场点P的 距离，有
R x y z
2 2
2 2 2 2
r x x ' ( x x ') ( y y ') ( z z ') .
( x)
r
dV
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本讲主要内容
电势的多极展开 电多极矩 电荷体系在外电场中的能量
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1 2 x f "( x) ...... 2! x x0
f ( x0 x) f ( x0 ) x f '( x) x x 1 n dn x f ( x0 ) n dx 0 n!
D 3 ( x ')x ' x ' dV '
V
1 1 1 1 1 ( x) Q p D : ... 4 0 R R 6 R ( x ) ( x ) ( x ) ...
0
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f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 ) x f ( x, y ) y f ( x, y ) x y x x0 , y y0
x x0 , y y0
2 1 2 2 2 2 (x 2 xy y ) f ( x, y ) ...... 2 2 2! x xy y x x , y y
E
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标势 的Poisson方程
E 0 E / 0 E
0
2
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静电场的标势
若电荷连续分布，电
荷密度为ρ ，设r为
由源点x' 到场点x的
距离，则场点x处的
电势为
( x)
1 4 0
1
( x) dV ' V 4 r 0 式中体积分遍及电荷分布区域， r为源
点x’ 到场点x的距离。
( x)
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电势的多极展开
在许多物理问题中，电荷只分布于一个小区域内，而 需要求电场强度的地点x又距离电荷分布区域比较远，
即r远大于区域V的线度l 。在这种情况下，可以表示
为 1/ r 的展开式，由此得出电势 φ 的各级近似值。 例如原子核的电荷分布于 ~10
−15m
线度的范围内， ，因此原子
而原子内电子到原子核的距离~10
−10m
核作用到电子上的电场可以用本节方法求得各级近似
值。
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电势的多极展开
在区域V内取一点O作为坐 标原点，以R表示由原点 到场点P的距离
V
1 1 ( x ')x ' x ' dV ' : ... 2! R
(0) ( x ) (1) ( x ) (2) ( x ) ...
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电势的多极展开
Q ( x ')dV '
V
p ( x ')x ' dV '
0 0
1 n ( x y ) f ( x0 , y0 ) x y 0 n!
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1 n f ( x 0 x ) ( x ) f ( x 0 ) 0 n!
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电势的多极展开
真空中给定电荷密度 ρ(x̍ ) 激发的电势
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电势的多极展开
1 1 f (x - x') r x - x'
R x
1 1 1 1 2 1 x ' (x ' ) ... r R R 2! R 1 1 1 1 x ' x ' x ' : ... R R 2! R
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静电场的标势
在静电情况下，电场与磁场无关，麦氏 方程组的电场部分为
E 0 E / 0
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静电场的标势
定义电势差
( P2 ) ( P 1 ) E dl
P 1
P 2
因此，电场强度E 等于电势φ的负梯度
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电势的多极展开
1 1 1 2 1 ( x) ( x ') x ' ( x ') ... dV ' V 4 0 R 2! R R 1 1 1 1 ( x ')dV ' ( x ')x ' dV ' V V 4 0 R 4 0 R 1 1 4 0
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Maxwell方程组
B E d l dS t l s E B d l 0 I 0 0 dS l t s Q Q dV E d S 0 s B dS 0 I J dS s
x' 点在区域V内变动。由于区域线度远小于R，可以把 x' 各分 量看作小参量，把 x −x' 的函数对 x' 展开。
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电势的多极展开
设 f（x −x'）为 x −x' 的任一函数，在 x点附近 f（x −x'）的展开式为
1 f ( x0 x) ( x ) n f ( x0 ) 0 n! 1 f ( x x ') ( x ' ) n f ( x) 0 n! 1 f ( x) x ' f ( x) ( x ' ) 2 f ( x) ... 2!
《电动力学》第14讲
第二章 静电场(6) §2.6 静电势的多极展开 教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院 2015年10月30日
Maxwell方程组
B E t E B 0 J 0 0 t E 0 B0
x' 点在区域V内变动。由 于区域线度远小于R，可 以把 x' 各分量看作小参 量，把 x −x' 的函数对 x' 展开。
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电势的多极展开
在区域V内取一点O作为坐标原点，以R表示由原点到场点P的 距离，有
R x y z
2 2
2 2 2 2
r x x ' ( x x ') ( y y ') ( z z ') .
( x)
r
dV
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本讲主要内容
电势的多极展开 电多极矩 电荷体系在外电场中的能量
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泰勒级数展开
1 2 x f "( x) ...... 2! x x0
f ( x0 x) f ( x0 ) x f '( x) x x 1 n dn x f ( x0 ) n dx 0 n!