《复合材料力学》4弹性力学基础

应力用矩阵表示：
τyz
σy
σx
τxy
τyx
y
⎡σ x τ xy τ xz ⎤ ⎢ ⎥ ⎢τ yx σ y τ yz ⎥ ⎢τ zx τ zy σ z ⎥ ⎣ ⎦
共六个应力分量。
x
（三）形变（应变）
形变就是形状的改变。物体的形变可 以归结为长度的改变和角度的改变。 1.线应变：图1-9中 线段PA、PB、PC每单 位长度的伸缩，即单位 伸缩或相对伸缩，称为 线应变。分别用 ε x、 ε y ε z、 表示。
徐芝纶 （1911— 1999）,河海 大学）教授
§1-1
一、研究任务
弹性力学的内容
弹性力学是固体力学的一个分支，研究 弹性体由于受外力作用、边界约束、温度改 变等原因发生的应力、形变和位移。 二、研究对象 弹性力学的研究对象为一般及复杂形状 的构件、实体结构、板壳等。
! 构件—结构物或机器的各个组成部分称
（二）应力 1.定义：物体承受外力作用，物体内部各截面 之间产生附加内力，为了求出这些内力，我们 用一截面截开物体，并取出其中一部分，其中 一部分对另一部分的作用，表现为内力，它们 是分布在截面上分布力系的合力。单位面积上 的分布力即为应力。如图1－4所示。 2.性质：在物体内的同一点，不同截面上的应 力是不同的。
3. 各向同性假设
• ——假定物体在各个不同的方向上具有相同 的物理性质，这就是说物体的弹性常数将不 随坐标方向的改变而变化。 • 当然，像木材、竹子以及纤维增强材料等， 属于各向异性材料。 • ——这些材料的研究属于复合材料力学研究 的对象。
4. 完全弹性假设
• ——对应一定的温度，如果应力和应变之间存 在一一对应关系，而且这个关系和时间无关， 也和变形历史无关，外力消失后能够恢复原形， 称为完全弹性。 • 完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研 究限于线性的应力与应变关系。 • 研究对象的材料弹性常数不随应力或应变的变 化而改变。
弹性力学的解法也在不断地发展。首 先是变分法（能量法）及其应用的迅速发 展。贝蒂（ 1872 ）建立了功的互等定理， 卡斯蒂利亚诺（1873－1879）建立了最小 余能原理，以后为了求解变分问题出现了 瑞利－里茨（1877，1908）法，伽辽金法 （1915）。此外，赫林格和瑞斯纳（1914， 1950 ）提出了两类变量的广义变分原理， 胡海昌和鹫津（1954，1955）提出了三类 变量的广义变分原理。
材料力学 图1-8
特别要注意的是：在画应 力圆时，还应按材料力学 的符号规定。
（4） 切应力互等定理 过一点的两个正交面上,如果有与相交边垂直 的切应力分量，则两个面上的这两个切应力分量 一定等值、方向相对或相离。
τ xy = τ yx τ yz = τ zy
z
σz
τ xz = τ zx
τzy
τzx τxz
C
P
P
B
A
图1-9
C
2. 切应变：图1-9中线 段PA、PB、PC之间直角 的改变，用弧度表示， 称为切应变。分别 用 γ yz 、 γ zx γ xy 、 表示。 共六个形变分量。 应变的正负：
P
P
B
A
图1-9
线应变： 伸长时为正，缩短时为负； 切应变： 以直角变小时为正，变大时为负；
（四）位移 位移：物体变形时各点位置的改变量称为位移 1.当物体各点发生位置改变时，一般认为是由 两种性质的位移组成： （1）整个物体像一个刚体一样运动所引起 的位移，包括平移、转动、平面运动等。这种 位移并不使物体的形状、质点间的相对距离发 生变化。（刚体位移） （2）物体内各点之间有相对位移，因而物体 产生了变形。弹性力学中主要研究物体由变形 而引起的位移。
• 近代弹性力学的研究是从 19世纪开始的。 • 柯西1828年提出应力、应 变概念，建立了平衡微分 方程、几何方程和广义胡 克定律。 • 柯西的工作是近代弹性力 学的一个起点，使得弹性 力学成为一门独立的固体 力学分支学科。 柯西（A.L.Cauchy）
• 而后，世界各国的一批学 者相继进入弹性力学研究 领域，使弹性力学进入发 展阶段。 • 1856年，圣维南 （A.J.Saint-Venant）建立 了柱体扭转和弯曲的基本 理论； 圣维南 （A.J.Saint-Venant）
2.位移的表示方法 物体内任意一点的位移，用它在x 、y 、z 轴上的投影 u 、v 、w 来表示，以沿坐标轴 正向为正，沿坐标轴负向为负。这三个投影称 为该点的位移分量。 弹性力学问题： 已知外力、物体的形状和大小（包括边 界）、材料特性（E、µ）、约束条件等，求解 应力、形变、位移共15个未知量。
§1-2 弹性力学中的几个基本概念 （一）外力 按照外力作用的不同分布方式，可分为体 积力和表面力，分别简称体力和面力。 1.体力 （1）定义：所谓体力是分布在物体体积内的 力，如重力。 （2）性质：一般情况下，体力随点的位置不 同而不同，体力是连续分布的。
（3）体力集度：
r ΔF 体力的平均集度为： ΔV
为构件。
a) 块体(body) b) 平板(plate) c) 壳体(shell) d,e) 杆件(bar)— 直杆、曲杆
三、与其它学科的关系 理论力学：研究刚体的静、动力学（约 束力、速度、加速度）； 材料力学：研究杆件在拉压、剪切、弯曲、 扭转及组合状态下的应力和位移；
结构力学：研究杆系结构的内力与位移；
弹性力学进入更深入的发展时期是在1907 年以后，非线性弹性力学迅速地发展起来。卡 门（1907）提出了薄板的大挠度问题；卡门和 钱学森提出了薄壳的非线性稳定问题；力学工 作者还提出了大应变问题，非线性材料问题 （如塑性力学等）等等。同时，线性弹性力学 也得到进一步的发展，出现了许多分支学科， 如薄壁构件力学、薄壳力学、热弹性力学、粘 弹性力学、各向异性弹性力学等。
中国科学院资深院士，著 名的力学家和教育家。徐芝纶 编著的力学教材被我国工科院 校广泛采用，为培养科技人才 起到了重要的作用。徐芝纶在 基础板梁的科研工作中作出了 许多重大成果，并为在我国引 进、推广、研究有限单元法作 出了突出贡献。徐芝纶一生以 “学无止境，教亦无止境”为 座右铭，数十年如一日贡献了 毕生的精力。
5. 小变形假设 ——假设在外力或者其他外界因素（如 温度等）的影响下，物体的变形与物体 自身几何尺寸相比属于高阶小量。 ——在弹性体的平衡等问题讨论时，可 以不考虑因变形所引起的尺寸变化。 ——忽略位移、应变和应力等分量的高 阶微量，使基本方程成为线性的偏微分 方程组。
6. 无初始应力假设
——假设物体处于自然状态，即在外界因素作 用之前，物体内部没有应力。 弹性力学求解的应力、位移仅仅是外 ห้องสมุดไป่ตู้、边界约束或温度改变而产生的。
3.应力集度： ΔA面积上的内力的平均集度为：
r ΔF r P点的应力为： p = lim ΔA→0 ΔA
z
B ΔF σ p m △A
P o A
r ΔF ΔA
τ
n
P点的应力分量为 σ τ 、 σ --正应力 τ ---切应力 因次是[力][长度]-2。
y
x
图1-4
4.应力分量 应力不仅和点的位置有关，和截面的方位 也有关，不是一般的矢量，而是二阶张量。
§1.4 弹性力学的发展和研究方法 弹性力学是一门有悠久历史的学科，早期 研究可以追溯到1678年，胡克（R.Hooke）发 现胡克定律。 这一时期的研究工作主要是通过实验 方法探索物体的受力与变形之间的关系。 1807年，Thomas Young （1773～ 1829，英国物理学家、医生、波动光学的奠基 人） 做了大量的实验，提出和测定了材料的弹 性模量。
§1.3 弹性力学的基本假设 • 工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如 果不分主次考虑所有因素，则问题的复杂，数 学推导的困难，将使得问题无法求解。
• 根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素， 提出一些基本假设。使问题的研究限定在一个 可行的范围。 • 基本假设是学科的研究基础。 • 超出基本假设的研究领域是固体力学其它学科 的研究范围。
x
图1－7
z
σz τzx τzy τyz
正负规定: 正面:截面的外 法线方向和坐标 轴正向一致,反之 σy 为负面。 正面上的应力沿坐标 正向或负面上的应力 沿坐标负向为正。
y
τyx
x
图1－7
口诀：正面正向或负面负向的应力为正。
注意：
弹性力学
（3）注意弹性力学切 应力符号和材料力学 是有区别的。在图1－ 8中，弹性力学里，切 应力都为正，而材料 力学中相邻两垂直面 的符号是不同的。
弹性力学：一般及复杂形状的构件、板、 壳和实体结构等的应力和位移分析； 塑性力学：结构的塑性分析、设计。
在研究方法上，弹力和材力也有区别： 弹力研究方法：在区域V内严格考 虑静力学、几何学和物理学三方面条 件，建立三套方程; 在边界s上考虑受力 或约束条件，并在边界条件下求解上述 方程，得出较精确的解答。
• 1862年，艾瑞（G.B.Airy） 发表了关于弹性力学的平面 理论； • 1882年，赫兹建立了接触应 力理论； 赫兹（H.Hertz）
基尔霍夫 1824年生於德国，1887年 逝世。曾在海登堡大学和 柏林大学任物理学教授， 他发现了电学中的“基尔 霍夫定理”，同时也对弹 性力学，特别是薄板理论 的研究作出重要贡献。 基尔霍夫 (G.R.Kirchoff)
1. 连续性假设
• ——假设所研究的整个弹性体内部完全由组 成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任 何空隙。 • ——变形后仍然保持连续性。 • 根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、 应变和应力等均为物体空间的连续函数。 • 微观上这个假设不成立——宏观假设。
2. 均匀性假设
• ——假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组 成的。因此物体各个部分的物理性质都是相同 的，不随坐标位置的变化而改变。 • ——物体的弹性性质处处都是相同的。 • 工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的几 何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意 义上讲，也可以视为均匀材料。 • 对于环氧树脂基玻璃纤维复合材料，不能处理 为均匀材料。
z
△V
ΔF f

P
O
P点所受体力的集度为：
y
图1-2
r r ΔF f = lim ΔV →0 ΔV
x
r r f 的方向就是 ΔF
的极限方向。
（4）体力分量： 将f 沿三个坐标轴分解， 可得到三个正交的分力：
z
△V
f
z
f ΔF
r v v v f = f xi + f y j + f z k
ΔF
y 图1-3
r Δ F ΔS上面力的平均集度为： ΔS
P点所受面力的集度为：
r ΔF f = lim ΔS →0 ΔS
（4）面力分量：
z
△S
f z ΔF
f
fx
P
fy
y 图1-3 x
P点的面力分量为 f x、 f y f 、 ， z 其方向与坐标轴正向相同 时为正，因次是[力][长 度]-2。
z x o y
τ yz
σy
τ yx
图1-6
（2）应力标注： 平行于单元体面的 应力称为切应力，用 τ yz 表示，其 τ yx 、 第一下标y表示所在的 平面，第二下标x、z分 别表示沿坐标轴的具 体方向。
z x o y
τ yz
σy
τ yx
图1-6
z
σz τzx τzy τyz σy τyx
y
其它面上的 应力分量的 表示如图1 －7所示。
C
P
B
（1）为了分析一点的应力 状态，在这一点从物体内取 出一个微小的正平行六面体， 各面上的应力沿坐标轴的分 量称为应力分量。 在略去体力和高阶微量的情 况下，相互平行的面上的应 力大小相等，方向相反。
z o x
A
y 图1-5
（2）应力标注： 图示单元体右 侧面的法线为y,称为 y面，垂直于单元体 面的应力称为正应 力。 正应力记 为σy , 其下标表示所 沿坐标轴的方向。
O
fx
P
fy
y
x
图1-2
fx、fy、fz 称为物体在P点的体力分量，其 方向与坐标轴正向相同时为正，因次是[力][长 度]-3。
2. 面力 （1）定义：分布在物体表面上 z 的力。如流体压力和接触力。 （2）性质：一般情况下， 面力一般是物体表面点的位 置坐标的函数。 x （3）面力集度：
△S P
材力也考虑这几方面的条件，但不是十分 严格的：常常引用近似的计算假设（如平截面 假设）来简化问题，并在许多方面进行了近似 的处理。 因此材力建立的是近似理论，得出的是近 似的解答。从其精度来看，材力解法只能适用 于杆件形状的结构。
本课程较为完整地建立了弹性力学 的基本方程和边值条件，并对一些简单 问题进行了求解。弹性力学基本方程的 建立为进一步的数值方法奠定了基础。 弹性力学是学习塑性力学、断裂力 学、有限元方法等研究生课程的重要基 础。