科学探究：向心力

时，因为ω1<ω0，物块所
受静摩擦力足以提供物块随转盘做圆周运动所需向心
力，绳子张力为零，即：T1=0
（2）当转盘的角速度为ω2=
3kg 2r
时，因为ω2>ω0，
物块所受最大静摩擦力不足以提供物块随转盘做圆周
运动所需向心力，则绳子有张力。
则有：kmg+T2= m22r
解得：T2=
1 kmg
2
（3）要将绳拉断，静摩擦力和绳子的张力都要达到最
【规律方法】确定圆周运动向心力来源的方法 （1）向心力是效果力，由某一个力、某几个力的合力 或某一个力的分力提供，始终指向圆心。 （2）如果物体做匀速圆周运动，一定是合外力提供向 心力。 （3）如果物体做非匀速圆周运动，某时刻的向心力由 此时物体所受合力沿半径方向分力提供。
【素养训练】
1.如图所示，物体在圆筒壁上随筒壁一起绕竖直转轴
【典例示范】滑板运动是深受青少年喜爱的运动，如
图所示来自百度文库一质量为50 kg的滑板运动员恰好从B点进入
1
半径为2.0 m①的 4 圆弧轨道，该圆弧轨道在C点与水 平光滑轨道相接②，运动员滑到C点时的速度大小
为10 m/s③（g取10 m/s2）。则：
（1）求他到达C点时的加速度。 （2）在C点时，轨道给他多大的支持力？
不变。 ③若要讨论向心力与角速度的关系，应控制_质__量__、_半__径__
不变。
（3）实验思想的拓展。 这种控制一些物理量不变，先分别研究待测量与其中 一个物理量的关系，再综合解决问题的控制变量法， 被广泛应用于科学研究中。
2.实验原理： （1）保持小球轨道半径r、角速度ω不变 通过填放不同小球的方式改变小球的质量m，得到相应 的向心力F，则可得F与m的关系。 （2）保持小球质量m、角速度ω不变 通过改变小球运行轨迹半径r，得到相应的向心力F， 则可得F与r的关系。
（3）向心力由谁提供？ 提示：向心力指向圆心，本题中指向圆心的力是静摩 擦力，静摩擦力方向与相对运动趋势方向相反。
【解析】选C。两人做匀速圆周运动，合力指向圆心，不为零， 故不处于平衡状态，A错误；对任一人受力分析，重力与支持力 二力平衡，合力等于摩擦力，充当向心力，向心力是效果力， 不能与性质力同时分析，B错误；摩擦力充当向心力，运动员受 到的摩擦力方向指向圆心，C正确；运动员受到的摩擦力方向与 其运动趋势方向相反，故是背离圆心，而运动员做圆周运动， 运动方向沿切线方向，所以二者是垂直关系，D错误。
FN-mg=ma得FN=mg+ma=50×（10+50）N=3000 N 答案：（1）50 m/s2，竖直向上 （2）3000 N
【规律方法】圆周运动动力学问题的解题步骤 （1）明确研究对象：解题时要明确所研究的是哪一个 做圆周运动的物体。 （2）确定物体做圆周运动的轨道平面，并找出圆心和 半径。
【实验器材】 J2130向心力演示仪、天平、质量不相等的若干小球等。
【实验原理与设计】 1.实验的基本思想——控制变量法。 （1）变量的控制要求。 在物理实验中，要注意控制实验过程中的不同量。
（2）设计思路。 ①若要讨论向心力与质量的关系，应控制_半__径__、_角__速__度__
不变。 ②若要讨论向心力与半径的关系，应控制_质__量__、_角__速__度__
匀速转动，物体相对筒壁静止，则物体运动过程中所
需要的向心力来源于（ ）
A.重力
B.弹力
C.静摩擦力
D.滑动摩擦力
【解析】选B。物体在竖直方向上受重力和静摩擦力处 于平衡，在水平方向上受弹力作用，靠弹力提供向心 力做匀速圆周运动，故B正确，A、C、D错误。
2.如图所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀 速转动，小强站在距圆心为r处的P点相对圆盘静止。 关于小强的受力，下列说法正确的是（ ）
【解析】选B。如图所示，地球表面各点的向心加速度方向 都在平行于赤道的平面内指向地轴，选项B正确，A错误； 设地球半径为R0，在地面上纬度为φ的P点，做圆周运动的 轨道半径R=R0cosφ，其向心加速度为an=ω2R=ω2R0cosφ。 由于北京的地理纬度比广州的大，cosφ小，两地随地球自 转的角速度相同，因此北京随地球自转的向心加速度比广 州的小，选项C、D错误。
【审题关键】
序号 ① ② ③
信息提取 圆周运动的轨道半径 圆心在C点的正上方
圆周运动的线速度
【解析】（1）运动员到达C点时做圆周运动，加速度大小 a= v2 102 m/s2=50 m/s2，方向在该位置指向圆心，即竖
r2 直向上。
（2）C点时，分析运动员的受力情况，竖直向上的支持力，
竖直向下的重力，合力向上，提供向心力，即
2.向心力与向心加速度的关系：
向心力与向心加速度满足牛顿第二定律，即
F=ma=m v2 =mrω2=m 42r =mωv。
r
T2
【思考·讨论】 情境：物体做匀速圆周运动过程中，其加速度随着轨 迹半径的增加而增大还是随着半径的增大而减小？
讨论： （1）什么情况下，向心加速度与半径成反比？ （科学探究） 提示：在线速度一定的情况下。 （2）什么情况下，向心加速度与半径成正比？ （科学探究） 提示：在角速度一定的情况下。
【补偿训练】 如图所示，一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周
运动，则关于老鹰受力的说法正确的是（ ）
A.老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用 B.老鹰受重力和空气对它的作用力 C.老鹰受重力和向心力的作用 D.老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用
【解析】选B。老鹰在空中做圆周运动，受重力和空气 对它的作用力的作用，两个力的合力充当它做圆周运 动的向心力。向心力是根据力的作用效果命名的，不 是物体实际受到的力，在分析物体的受力时，不能将 其作为物体受到的力。选项B正确。
（3）确定研究对象在某个位置所处的状态，分析物 体的受力情况，判断哪些力提供向心力，这是解题的 关键。 （4）根据向心力公式列方程求解。
【素养训练】 1.关于北京和广州随地球自转的向心加速度，下列说 法中正确的是（ ） A.它们的方向都是沿半径指向地心 B.它们的方向都在平行于赤道的平面内指向地轴 C.北京的向心加速度比广州的向心加速度大 D.北京的向心加速度与广州的向心加速度大小相同
讨论：在此过程中，游客“受到”的向心力由什么力 提供？（物理观念） 提示：向心力是指向圆心的力，在游客受到的力中， 只有摩擦力指向圆心，故静摩擦力提供向心力。
【典例示范】 如图所示，甲、乙两运动员在水平面上训练滑冰，恰 巧同时到达虚线PQ，然后分别沿半径r1和r2（r2>r1） 的跑道匀速运动半个圆周后到达终点。设甲、乙质量 相等，他们做圆周运动时的向心力大小相等。则关于 他们在圆周运动过程中的受力情况和运动趋势，下列 说法正确的是（ ）
二 认识向心加速度
1.向心加速度：
（1）向心加速度的大小：a=
F m

v2 r
=rω2=
42r T2
=4π2f2r
=ωv。
（2）变速圆周运动的向心加速度 匀速圆周运动中，向心加速度就是物体的合加速度， 做变速圆周运动的物体，合加速度并不指向圆心，该 加速度有两个分量，指向圆心的即为向心加速度，沿 切线方向的即为切线加速度，切向加速度用来改变速 度的大小。
【解析】男女运动员的转速、角速度是相同的，
由ω=2πn，得ω=2×3.14× 30 rad/s=3.14 rad/s
由v=ωr，得r=
v ＝ 4.8
60
m≈1.53 m
3.14
由a=ω2r，得a=3.142×1.53 m/s2≈15.1 m/s2。
答案：3.14 rad/s 1.53 m 15.1 m/s2
因此不做功。
二、向心加速度
1.向心加速度：做圆周运动的物体，指向_圆__心__的加
速度。
2.方向：总指向_圆__心__，时刻与速度方向_垂__直__，方向
时刻_改__变__。
v
2
3.大小：a=__r _=rω2。
4.意义：描述_速__度__方__向__改__变__快__慢__的物理量。向心加
速度_越__大__，表示速度方向改变得越快。
A.两人处于平衡状态 B.两人分别受到重力、支持力、 静摩擦力和向心力的作用 C.两人受到的静摩擦力方向沿半径指向各自圆心 D.两人相对地面的运动趋势与其运动方向相反
【解题探究】 （1）圆周运动是变速运动还是匀速运动？ 提示：圆周运动是曲线运动，曲线运动都是变速运动。 （2）向心力是物体实际受到的力吗？ 提示：向心力是效果力，不一定是物体实际受到的力。
一 向心力性质及来源 1.性质： 向心力是效果力，不是具体某个性质的力，在受力分 析时，不能多出一个向心力。
2.向心力的来源： （1）来源分类：向心力可以是物体实际受到的某个 力、某几个力的合力或某个力的分力。
（2）实例分析：
【思考·讨论】 情境：游乐园中的转盘游戏以其自身的刺激性深受大 人、小朋友的喜爱，如图所示，游客坐在匀速转动的 水平转盘上，与转盘保持相对静止。
（1）转盘的角速度为ω1=
kg 2r
时，绳中的张力T1。
（2）当转盘的角速度为ω2= 3kg 时，绳中的张力T2。
2r
（3）要将绳拉断，转盘的最小转速ωmin。
【解析】（1）设角速度为ω 0时绳刚好被拉直且绳中张
力为零，则由题意有：kmg= m02r
解得：ω0= kg
r
当转盘的角速度为ω1=
kg 2r
r a与r成正比，而只能这样表述：当v的大小相等时，a的大小
跟r成反比；当ω相同时，a的大小跟r成正比。B质点做匀速
圆周运动的向心加速度随半径变化规律是通过原点的一条直
线，即a∝r，故C项对。A质点做匀速圆周运动的向心加速度 随半径变化规律是双曲线的一支，即a∝ 1 ，故A项对。
r
【拓展例题】考查内容：圆周运动的临界极值问题 【典例】如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，当物块到 转轴的距离为r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳中张力 为零）。已知物块与转盘间最大静摩擦力是其重力的k倍，当绳 中张力达到8kmg时，绳子将被拉断。则：
2. 2019年3月2日，第29届世界大学生冬季运动会在俄罗斯举 行，在花样滑冰双人滑自由滑比赛中，来自中国队的隋文静和 韩聪，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自身为转动轴 拉着女运动员做匀速圆周运动。若运动员的转速为30 r/min， 女运动员触地冰鞋的线速度为4.8 m/s，求女运动员做圆周运 动的角速度、触地冰鞋做圆周运动的半径及向心加速度的大小。
【补偿训练】 （多选）如图所示为A、B两质点做匀速圆周运动的向 心加速度随半径变化的图像，其中A为双曲线的一个分 支，由图可知（ ） A.A物体运动的线速度大小不变 B.A物体运动的角速度大小不变 C.B物体运动的角速度大小不变 D.B物体运动的线速度大小不变
【解析】选A、C。匀速圆周运动的向心加速度的计算式有两 个：a= v2 或a=ω2r，因此不能不加判断就认为a与r成反比或
大值，则有：
kmg+8kmg=
m
r 2
min
解得：ωmin=3 答案：（1）0
kg
r
（2）
1
kmg
2
（3）3 kg
r
【课堂回眸】
探究影响向心力大小的因素
【实验目的】 1.探究向心力与质量、轨道半径、角速度间的关系。 2.学会用_控__制__变__量__法__探究物理规律。 3.领会从定性到定量的认识方法。
科学探究：向心力
向心力与向心加速度
一、向心力
1.定义：做匀速圆周运动的物体受到了指向_圆__心__的合
力，这个力叫作向心力。 2.方向：始终指向_圆__心__，总是与速度方向_垂__直__，时
刻3.变大化小。：F=_m__vr_2 或F=_m_r_ω__2。 4.作用效果：只改变_速__度__方__向__，不改变_速__度__大__小__，
A.小强在P点不动，因此不受摩擦力作用 B.若使圆盘以较小的转速转动时，小强在P点受到的摩 擦力为零 C.小强随圆盘做匀速圆周运动，圆盘对他的摩擦力充 当向心力 D.如果小强随圆盘一起做变速圆周运动，那么其所受 摩擦力仍指向圆心
【解析】选C。由于小强随圆盘做匀速圆周运动，一定需要 向心力，该力一定指向圆心方向，而重力和支持力在竖直方 向上，它们不能充当向心力，因此他会受到摩擦力作用，且 充当向心力，A、B错误，C正确；当小强随圆盘一起做变速 圆周运动时，合力不再指向圆心，则其所受的摩擦力不再指 向圆心，D错。