第三章 结构地震反应分析与抗震验算3—3 多自由度弹性体系的地震反应分析

3.3.2 多自由度体系的自由振动
一、 自由振动方程 研究多自由度体系的自由振动，是为了研究其自身的震 动特性。 不考虑阻尼的影响，其自由振动方程为
n
i (t ) +∑kij x j (t ) = 0 mi x
j =1
或者
}+[ K ]{x} = 0 [M ]{ x
根据方程的特点，可设微分方程组的解为
•为求第一阶振型，将ω 1＝14.5 rad／s代入
0 2579 .5 1200 (K 12 M ) 1200 1484 .6 600 600 389.8 0
•
由式（3-76）得
11 2579 .5 1200 0 0.301 12 1200 1484 .6 600 0.648
m1ω1 - k11 {φ1} = k12
2
m1ω2 - k11 {φ2 } = k12
2
两个自由度体系的例子
例.求图示体系的频率、振型. 已知: k1 = k2 = k ; m1 = m2 = m.
m2
k11 X1 + k12 X 2 - m1ω X1 = 0
2
EI1
k2 m1
EI1
1 (t ) + ci 2 x 2 (t ) +......+ cin x n (t )] fci =-[ci1 x
f1 + f r + f c = 0
n n j=1 j=1
三力平衡
得
i (t ) +∑cij x j (t ) +∑kij x j (t ) =-mi g (t ) mi x x
j=1 j=1 n n
}+[C]{x }+[K ]{x} = [M ]{ g [M ]{ x 1} x
以上方程组就是多自由度弹性体系在水平地震作用下 的运动方程。 求解上述方程组，一般采用振型分解法。该法需要利 用多自由度弹性体系的振型，须由分析体系的自由振动得 到。为此，须先讨论多自由度体系的自由振动问题。
3.3.2 多自由度体系的自由振动
四．主振型的正交性
{φ j }T [M ]{φi } = 0 i ≠ j
{φ j }T [K ]{φi } = 0 i ≠ j
以上两式所表示的关系，称为主振型的正交性，它反映 了主振型的一种特性，即体系各质点的质量（刚度）与其在两 个不同振型上的位移振幅的连乘积的代数和为零。其物理意义 是，某一振型在振动过程中所引起的惯性力不在其它振型的位 移上作功。这说明某一振型的动能不会转移到其它振型上去， 也就是体系按某一振型作自由振动时不会激起该体系其它振型 的振动。
xi (t ) =∑x ji (t ) =∑φi sin(ω j t + φ j )
j=1 j=1
3.3.2 多自由度体系的自由振动
在一般初始条件下，任一质点的振动都是由各主振型的简 谐振动叠加而成的复合振动。由于某一主振型在振动过程中不 仅各质点间的位移始终保持一定的比值并同时达到各自最大的 幅值，且各质点间的速度也保持这同一比值，因此，只有各质 点间初位移的比值和各质点间初速度的比值均与该主振型的各 质点间位移振幅比值相同时，也就是在这样特定的初始条件下， 才会出现这种振型的振动形式。 两个自由度体系振型
} = [ 1， 2， n ]T { x x x …， x } = [ x 1，x 2， n ]T {x …，x
{x} = [ x1，x2， …，xn ]
T
3.3.1、多自由度弹性体系的运动方程
i (t ) +∑cij x j (t ) +∑kij x j (t ) =-mi g (t ) mi x x
1
•代入式（3-75）校核
0.301 0 600 389.8 0 0.648
则第一阶振型为
0.301 1 0.648 1
2.47 3 2 . 57 1
同样可求得第二阶和第三阶振型为
3.3.3 地震反应分析的振型分解法
振型分解法就是通过把体系的位移反应按振型加以分解， 并利用各振型相互正交的特性，将原来耦联的微分方程组 变为若干互相独立的微分方程，从而使原来多自由度体系 结构的动力计算变为若干个相当于各自振周期的单自由度 体系结构的问题，在求得了各单自由度体系结构的地震反 应后，采用振型组合法即可求出多自由度体系的地震反应。 振型分解法是求解多自由度弹性体系地震反应的重要方法。 多质点弹性体系在地震作用下的运动微分方程组：
2 0 0 M 0 1.5 0 103 kg 0 0 1
先由特征值方程求自振圆频率，令 B＝ω 2／600 得
5 2B
2 3 1.5B 1
0 1 0 1 B
K M
2
2 0
或 B3－5.5B2＋7.5B－2＝0 由上式可解得 B1＝0.351 B2＝1.61 B3＝3.54 从而由 600 B 得 ω 1＝14.5 rad／s ω 2＝31.3 rad／s ω 3＝46.1 rad／s 由自振周期与自振频率的关系 T＝2π ／ω ， 可得结构的各阶自振周期分别为 T1＝0.433 s T2＝0.202 s T3＝0.136 s
【例 3-4】三层剪切型结构如图 3-14 所示，求 该结构的自振圆频率和振型。
【解】该结构为 3 自由度体系，质量矩阵 和刚度矩阵分别为（刚度的求法见本题后附图）
1.2 0 3 K 1.2 1.8 0.6 10 6 N / m 0.6 0.6 0
……………………………………
kn1φ1 + kn2φ2 +......+ (knn - mnω2 )φn = 0
用矩阵表示为
（ [ K ]- ω2[M ]） {φ} = {0}
上式称为特征方程
3.3.2 多自由度体系的自由振动
二、自振频率
特征方程
（ [ K ]- ω2[M ]） {φ} = {0}
0.676 2 0 . 601 1
将各阶振型用图形表示，如图3-15所示。图中反映振 型具有如下特征：对于串联多质点多自由度体系，其第几 阶振型，在振型图上就有几个节点（振型曲线与体系平衡 位置的交点）。利用振型图的这一特征，可以定性判别所 得振型正确与否
(i=1,2,……n)
上式表示的是一组方程，也就是说n自由度体系，其运 动微分方程组应由n个方程组成，用矩阵形式表示为：
3.3.1、多自由度弹性体系的运动方程
}+[C]{x }+[K ]{x} = [M ]{ g [M ]{ x 1} x
式中，[M]为体系质量矩阵；[C] 为体系阻尼矩阵；… [K] 为体系刚度矩阵。
§3—3 多自由度弹性体系的地震 反应分析
多自由度弹性体系的运动方程 多自由度体系的自由振动 地震反应分析的振型分解法
3.3.1、多自由度弹性体系的运动方程
惯性力 弹性恢复力 阻尼力
g (t ) + i (t )] f Ii =-mi [ x x
f ri =-[ki1 x1 (t ) + ki 2 x2 (t ) +.....+ kin xn (t )]
k21 X1 + k22 X 2 - m2ω2 X 2 = 0
k11 - m1ω2 k21 k12 k22 - m2 ω
2
k1
=0
k11 = k1 + k2 = 2k k12 = k21 =-k k22 = k
2k - mω2 k
2 2
k =0 2 k - mω
2
(2k - ω m)(k - ω m)- k = 0
2 1
2
注：方程ax bx c 0的解为
2
x1, 2
b b 4ac 2a
2
3.3.2 多自由度体系的自由振动
三、振型
（ [K ]- ω2[M ]） {φi } ={0}
{φi } = [φi1 , φi 2 ,..... φin-1 , φin ]T
= φin[φi1 / φin , φi2 / φin ,..... φin-1 / φin ,1]T = φin {φi }n
特例：两个自由度体系
2 [ ] [m]){X } = {0} ( k ω 用矩阵表示为
[k ]- ω2[m] = 0
k11 K k21
2
k12 k22
m1 M 0
0 m2
k11 K M k 21
k12 m 2 1 k 22 0
{x} = {φ}sin(ωt + φ)
.....φn ]T 是各个质点自由振动的振幅。 其中 {φ} = [φ1，φ2，
3.3.2 多自由度体系的自由振动
将{x} = {φ}sin(ωt + φ) 代入方程组，经整理后得：
(k11 - m1ω2 )φ1 + k12φ2 +.....+ k1nφn = 0 k21φ1 + (k22 - m2ω2 )φ2 +.....+ k2nφn = 0
1
1
3.3.2 多自由度体系的自由振动
对于n自由度弹性体系，有n个自振频率，将其依次 [K ]- ω2[M ]） {φi } ={0} 可求得相应的n个主振型。 代入式 （
当体系按第一频率ω1振动时的振动形式称为第一主振型 (简称第一振型或基本振型)，而对应于第二频率ω2的振动形 式称为第二主振型(简称第二振型)…… 主振型是弹性体系的重要固有特征，它们完全取决于 体系的质量和刚度的分布，体系有多少个自由度就有多少 个频率，相应地就有多少个主振型。 n自由度弹性体系自由振动时，任一质点的振动都是 由n个主振型的简谐振动叠加而成，故自由振动方程的通 n n 解可写为：
}+[k ]{ y } = {0} [m]{ y
y1 (t )
设方程的特解为
y1 X 1 sin( t ) y2 X 2 sin( t )
k11 X1 + k12 X 2 - m1ω2 X1 = 0
代入运动方程得：
k21 X1 + k22 X 2 - m2ω2 X 2 = 0
i (t ) +∑cij x j (t ) +∑kij x j (t ) = mi g (t ) mi x x
j=1 j=1 n n
3.3.3 地震反应分析的振型分解法

xi (t ) =∑q j (t )φ ji
j=1 n
或
{x} =∑q j (t ){φ j }
j=1
n
将上式求导得速度和加速度如下： n n i (t ) =∑q j (t )φ ji x i (t ) =∑q j (t )φ ji x
1.618 1
0.618
ω1 = 0.618 k / m
ω2 = 1.618 k / m
1
X 1
1 X 1 1.618
X 2
1 X 2 0 . 618
X 11 1 X 12 1 = ; =X 21 1.618 X 22 0.618
0 m2
m1m2 ( 2 )2 (k11m2 k22 m1 ) 2 (k11k22 Hale Waihona Puke Baidu k12 k21 )
0
解上方程得
1 k11 k22 1 k11 k22 k11k22 k12 k21 2 m1m2 2 2 m1 m2 2 m1 m2
j=1
j=1
代入多自由度体系运动方程
i (t ) +∑cij x j (t ) +∑kij x j (t ) =-mi g (t ) mi x x
由线性代数理论可知，特征方程有非零解（发生振动） 的条件是：系数行列式等于零，即
[ K ]- ω2[M ] = 0
特例：两个自由度体系
如图所示两个自由度体系 运动方程 或
1 k11 y1 + k12 y2 =-m1 y 2 k21 y1 + k22 y2 =-m2 y
m1 m2
y2 (t )