不定积分换元法积分技巧

2
xd
(2
x)
2
解（二） sin 2xdx 2 sin x cos xdx
2 sin xd(sin x) sin x2 C; 解（三） sin 2xdx 2 sin x cos xdx
2 cos xd(cos x) cos x2 C.
例2
(1) 求
3
1 2
dx. x
解
1 1 1 (3 2x),
设 F (u) f (u), 则 f (u)du F (u) C.
如果 u ( x)（可微） dF[ ( x)] f [ ( x)] ( x)dx
f [ ( x)]( x)dx F[( x)] C [ f (u)du]u ( x) 由此可得换元法定理
定理1 设 f (u)具有原函数F (u) ，u ( x)可导，
2a x a
例8 (4)求
x2
1 3x
dx. 2
解
x2
1 dx 3x 2
(xx121)1( xx121)ddxx
x
1
d 2
(
x
2)
x
1
d( 1
x
1)
ln x 2 ln x 1 C
ln x 2 C x1
由例8可知:
求
x2
1 ax
dx b
(a , b为常数)
可由a2 4b 的符号确定.
a2 4b 0 ,
x2
1 ax
dx b
1
(
x
m)2
dx n
a2 4b 0 ,
x2
1 ax
dx b
1 ( x m)2dx
a2 4b 0 ,
x2
1 ax
dx b
(
x
1 m )( x
dx n)
例9 求 1 dx. a2 x2
解
1 dx
a2 x2
1 a
1 dx
1
x a2
2
1
1
e
x
e
x
dx
dx
ex
1 e xdx
1 4x
dx 4
(
x
1
2)2dx
(
x
1
2)2d
(
x
2)
1 C. x2
例8 (3) 求
1 x2 a2dx.
解
x2
1
a
2
dx
1 2a
1 xa
x
1
a
dx
1 2a
21ax1xad1(axdx
a)x1xa1dxad
(
x
a)
1 ln x a ln x a C
2a 1 ln x a C
x a
1 arctan a
x a
C.
例8 (1)求
x2
1 8x
dx. 25
解
x2
1 8x
dx 25
1
( x 4)2
dx 9
1 32
x
3
1 4 2
dx 1
1 3
x
3
1 42
d 1
x
3
4
wk.baidu.com
1 arctan x 4 C.
3
3
例8 (2) 求
x2
1 4x
dx. 4
解
x2
3 2x 2 3 2x
3
1 2
dx x
1 2
3
1 2
x
(3
2
x)dx
令 u 3 2x 1
1du 1 ln u C
2u 2
1 ln 3 2x C . 2
例2
(2) 求
1
1 5
dx. x
解 111155xxdx15 115151x15(1x (51x)5,x)dx
令 u 1 5x
x a
2
d
x a
arcsin x C . a
1 dx arcsin x C.
a2 x2
a
例10
(1)
求
arctan 1 x2
xdx.
(2) 求
arctan x
x 1 dx. 1 x
例10
(1)
求
arctan 1 x2
xdx.
解
arctan 1 x2
xdx
arctan x d(arctan x)
1 (arctan x)2 C . 2
(2) 求
arctan x
x 1 dx. 1 x
解
arctan x
x 1 dx 1 x
2arctan x d(arctan x) (arctan x)2 C.
例11
(1) 求
ex 1 e xdx.
1
(2) 求 1 e xdx.
(3) 求
(1
第二节 不定积分的换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法 三、基本积分表⑵
一、第一类换元法
问题 cos2xdx sin 2x C,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
过程 令 t 2x dx 1 dt, 2
cos
2
xdx
1 2
cos
tdt
1 2
sin
t
C
1 2
sin
2
x
C
.
在一般情况下：
例4
(1) 求
1
x x
2
dx
.
解
x 1 x2dx
1 21
11x12xd2(d12(
x2
)
1)
令 u 1 x2 1 1
du
2u
1 ln u C 2
1 ln(1 x2 ) C . 2
例4 (2) 求
x dx.
1 x2
解
1
x
x2
dx
1 2
1 d(1 x2 ) 1 x2
1 x2
x 1
)e xdx.
(4) 求
x e 1 x2 dx. 1 x2
例11
(1) 求
ex 1 e xdx.
解
ex 1 e xdx
1
1 e
x
d
(1
e
x
)
ln(1 e x ) C.
1
例11 (2) 求 1 e xdx.
解
1
1 e
x
dx
1 ex ex 1 e x dx
1
1
则有换元公式
f [( x)]( x)dx F[( x)] C [ f (u)du]u( x)
第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将
g( x)dx 化为 f [( x)]( x)dx.
观察重点不同，所得结论不同.
例1 求 sin 2xdx.
解（一）
sin1 c2oxsd2xx12C;sin
x x
dx
coc1so1xs
d x
(d(cos
x)
ln cos x C （使用了三角函数恒等变形）
tan xdx lncos x C
同理可得
cot xdx lnsin x C
例7 求
a2
1
x 2 dx .
解
a2
1
x 2 dx
1 a2
1
1
x a2
2dx
1 a
1
1
x a
2
d
令 u 1 x2
1 du
2u
u C.
1 x2 C.
例5
求
x (1 x)3dx.
解
x
(1 x)3dx
x 11 (1 x)3 dx
[ (1
1 x)2
(1
1 x)3
]d (1
x)
1
1
x
2(1
1
x)2
C.
例6 求 tan xdx.
解
tan xdx
sin cos
1
1du 1 ln u C
5u
5
1 ln 1 5x C . 5
一般地
f (ax b)dx 1[ a
f (u)du]uuaaxxbb
例3 求 e2x1dx.
解 e2x1dx 1 e2x1d (2 x 1) 2
令 u 2x 1
1
eudu
2
1eu C 2
1 e2x1 C 2