《复变函数与积分变换(刘建亚)》作业答案1

《复变函数与积分变换》作业参考答案

习题1： 4、计算下列各式

(1)

； (3)

(5)

z =

，求2z ，3z ，4

z ； (7)

解：(1)

--；

(3)

38====+；

(5)

213214422

z +--+=

==-+，

321113

1224

z z z -+--=⋅=

⋅==-，

431i 22

z z z =⋅=--．

(7) 因为1cos isin π

π-=+，所以

22cos

isin

6

6

k k ππ

ππ

++=+，

即

0k =时，01cos isin

i 6

6

22

w π

π

=+=

+； 1k =时，133cos

isin i 66

w ππ=+=；

2k =时，2551cos

isin i 6622w ππ=+=-+；

3k =时，3771cos isin i 6622

w ππ=+=--； 4k =时，499cos isin i 66

w ππ=+=-；

5k =时，511111cos

isin i 6622

w ππ=+=-．

习题2：

3、下列函数在何处可导？何处解析？在可导点求出其导数． (2) 2()i f z x y =-； (4) ()sin ch icos sh f z x y x y =+

(6)

()az b

f z cz d

+=

+。

解：(2) 因为2(,)

u x y x =，(,)v x y y =-，

2x u x '=，0y u '=，0x v '=，1y v '=-．

这四个一阶偏导数都连续，故(,)u x y 和(,)v x y 处处可微，但柯西-黎曼方程仅在1

2

x =-

上成立，所以()f z 只在直线1

2x =-

上可导，此时1122

()21x x f z x =-=-'==-，但复平面上处处不解析． (4) 因为(,)sin ch u x y x y =，(,)cos sh v x y x y =，

cos ch x u x y '=，sin sh y u x y '=，sin sh x v x y '=-，cos ch y v x y '=．

这四个一阶偏导数都连续，故(,)u x y 和(,)v x y 处处可微，且满足柯西-黎曼方程，所以()f z 在复平面

内解析，并且

()()i i i i iz iz ()i cos ch isin sh cos isin 22

cos isin cos isin 2222cos 22

y y y y

x x y y y y x x y x y x e e e e f z u v x y x y x x e e e e x x x x e e e e e e z

-------+-+-'''=+=-=⋅

-⋅=-++=⋅+⋅++===．

(6)

020()()1()lim

lim ()lim

()()()z z z f z z f z a z z b az b z z c z z d cz d ad bc ad bc

cz c z d cz d cz d ∆→∆→∆→⎡⎤

+∆-+∆++=-⎢⎥∆∆+∆++⎣⎦

--==

+∆+++

所以，

()f z 在除d

z c

=-

外处处解析，且

2

()()ad bc f z cz d -'=

+．

4、指出下列函数的奇点． (1)

221(4)z z z -+； (2) 22

2

(1)(1)

z z z +++．

解：(1)

223432422

4223

2

322

(4)(1)(48)3448()(4)(4)3448

(4)z z z z z z z z z

f z z z z z z z z z z +--+-+-+'==++-+-+=

+

所以，

()f z 的奇点为0，2i ±．

(2)

22232422

322

(1)(1)2(2)(1)(21)3953

()(1)(1)(1)(1)z z z z z z z z z f z z z z z ++-+++++++'==-++++ 所以，()f z 的奇点为1-，i ±．

10、如果

()i f z u v =+在区域D 内解析，并且满足下列条件之一，试证()f z 在D 内是一常数．

(2)

()f z 在D 内解析；

证明：由

()i f z u v =+在区域D 内解析，知(,)u x y 、(,)v x y 在区域D 内可微，且x y u v ''=，

y x u v ''=-．同理，由()f z 在D 内解析，知x y u v ''=-，y x u v ''=．

从而我们得到0x y y x u v u v ''''====，所以(,)u x y 、(,)v x y 皆为常数，故()f z 在D 内是一常数．

15、求解下列方程： (2)

10z e +=

解：1z

e =-，于是

Ln(1)ln1iarg(1)2i=(21)i,z k k k Z ππ=-=+-++∈

18、求Ln(i)-，Ln(34i)-+的值及主值．

解：Ln(i)ln

i iarg(i)2i i 2i 2

k k π

ππ-=-+-+=-

+，所以其主值为i 2π

-

；

4

Ln(34i)ln 34i i arg(34i)2i ln 5i(arctan )2i 3

k k πππ-+=-++-++=+-+，所以其主值

为4

ln 5i(arctan )3

π+-．

19、求1i

2

e

π-，1i 4

e

π+，i 3，i

(1i)+的值．