第十讲 平面的基本性质与推论

第十讲 平面的基本性质与推论

一、点、直线、平面的关系

空间是点、线、面的一个集合体，点事构成空间的基本元素，也是构成简单集合体的基本元素，直线和平面都可以看做是点的集合，直线可以看做它所在平面的子集，点、线、面三者关系常用符号“⋂⊂∈、、”等描述.

典例1-1：用集合语言表示下列自然语言，并画出图形.

(1) 点A 在平面α外，点B 在平面α内，直线l 经过点.B A 、

(2) 平面α和β的交线是a ，直线b 经过α内不在直线α上的点P 且经过β内不在直线a 上的点Q .

二、平面的基本性质和推论

1.基本性质1

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.这时我们说，直线在平面内或平面经过直线.

集合语言描述：.,,,ααα⊂⇒∈∈∈∈l B A l B l A 且

公理1的作用：判定直线是否在平面内的依据.

2.基本性质2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 可简单说成：不共线的三点确定一个平面.

集合语言描述：

.,,α

ααα∈∈∈⇒∉C B A BC A C B A ，使有且只有一个平面直线，、、三点

公理2的作用: 确定平面的依据.

3. 基本性质3

如果不重合的两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.

集合语言描述：

.,l P l P P ∈=⋂⇒∈∈且，且βαβα

公理3的作用: 判断两个平面是否相交的依据.

4. 平面基本性质的推论 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．

集合语言：l A ∉有且只有一个平面α，使.,αα⊂∈l A

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

集合语言：⇒=⋂A b a 有且只有一个平面α，使.,αα⊂⊂b a

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

集合语言：⇒b a //有且只有一个平面α，使.,αα⊂⊂b a

知识点一.确定平面问题 典例2-1：判断下列说法是否正确，并说明理由：

（1）一点和一条直线确定一个平面；

（2）经过一点的两条直线确定一个平面；

（3）两两相交的三条直线确定一个平面；

（4）首尾依次相接的四条线段在同一平面内．

知识点二.证明点共线问题 典例2-2：

已知

ABC ∆在平面α外，Q BC R AC P AB =

⋂=⋂=⋂αα

α,,,如图所示.

求证：R Q P 、、三点共线.

知识点三.证明线共点问题

典例2-3：证明：三个平面两两相交得到三条交线，如果其中有两条相交于一点，那么第三条直线也经过这个点.

知识点四.证明线共面问题

典例2-4：已知直线C c l B b l A a l c b a =⋂=⋂=⋂,,,////,求证：直线.共面和、、l c b a

知识点五.确定两个平面的交线

典例2-5：如图所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，E ，F 分别为1CC ，1AA 的

中点，画出平面F BED 1与平面ABCD 的交线.

变式2-1：在长方体1111D C B A ABCD -中P 为棱1BB 的中点,画出由P C A 、、11三点所确定的平面α与长方体表面的交线,并作出平面α与平面ABCD 的交线.

三、共面和异面直线

1. 共面直线

空间中有几个点或几条直线，如果都在同一个平面内，就说它们共面，如果两条直线共面，那么它们平行或者相交.

2. 异面直线

(1) 异面直线的定义

在空间中，两条直线还可能有既不平行也不相交的情况，此时我们称这两条直线为异面直线.

(2) 异面直线的画法

为了表示异面直线不共面的特点，通常需要用一个或两个平面来衬托.

知识点一.异面直线的判定问题

典例3-1：如图,若P 是ABC ∆所在平面外一点,PB PA ≠,PB PN ⊥,N 为垂足,M 为AB 的中点,求证:PN 与MC 为异面直线.

四、空间中直线与直线之间的位置关系

1.空间两条直线的位置关系

空间两条直线的位置关系有且只有三种：相交直线、平行直线、异面直线．

2.基本性质4：

平行于同一条直线的两条直线互相平行．

3.等角定理：

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

4.异面直线所成的角：

直线b a 、是异面直线，经过空间任一点O ，作直线''b a 、，使b b a a //,//''，我们把'a 与'b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． 如果两条直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直，两条异面直线所成的角的取值范围是(]︒︒900，.

典例4-1：（1）直线m l //，l 与平面α相交，则m 与平面α的位置关系是（ ）

A. m 与平面α相交

B. //m α

C. m α⊆

D. m 在平面α外

（2）l A α⋂=，b α⊆，则l 与b 的位置关系 .

（3）l A α⋂=，l 与b 相交或异面，则b 与平面α的位置关系 . 典例4-2：正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为1111,A B B C 的中点，求异面直

线1DB 与EF 所成角的大小.

变式4-1：（1）正方体1111ABCD A BC D -中，

AC 与D A 1所成角的大小 .

（2）正方体1111ABCD A BC D -中,E,F 分别是11B A

,11C B 的中点,则异面直线1DB 与EF 所成的角为___ __.