非线性电路混沌及其同步控制
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要一定的工作电压，因此这种富足成为有源负阻。本实验才有如图 1 所示的负阻抗变换器电 路，有两个运算放大器和六个配置电阻来实现，图 2 是其等效电路
.
.
u += u -
电流与参考方向有关，所以：
（a） 有源非线性负阻. 内部结构.
I Z1 1=- I 2Z2
…… …… …… …… ……1
（b） 等效电路
µ1 （uF）
0.00128
0.01157
µ2 （uF）
0.0037
0.01425
µ3 （uF）
0.00431
0.01499
δ ' = µ2 − µ1 µ3 − µ2
3.9672
3.6216
电阻状态下比
电阻状态下，系统更接近于混沌状态，而
δ
' 1
来自百度文库
<
δ
2
'
<
δ
，满足δ
'越
接近δ ，系统进入混沌状态就越快。
很明显，δ ' 远小于δ ，原因有以下几点：①由于实验仪器精度问题，实验中只能测到 µ3
的值，不能让 n 趋近于∞；②电容只能精确到 uF 小数点后五位，致使 δ '产生误差；③混沌
电路对外界微小变化十分敏感，而实验不能保证外界变化不会影响到电路，从而在测量数据 时，混沌电路状态已经发生改变，致使误差产生。 5.4 混沌同步 混沌同步、准同步、去同步见附图（11）——（13）。 由图像知同步图像为一条直线，准同步图像接近一条直线，而去同步图像为非规则图型。
统趋于混沌的速度，δ ' = µ2 − µ1
µ −µ
3
2
（1）
非线性参数可以表征一个非线性系统趋于混沌的速度，δ ' 越接近 δ ，系统进入混沌就
越快。
2.2 有源非线性负阻 一般的电阻器件是有线的正阻，即当电阻两端的电压升高时，电阻内的电流也会随之增
加，并且 i-v 呈线性变化，所谓正阻，即 I-U 是正相关，i-v 曲线的斜率 ∆u 为正。相对的有 ∆i
实验中的 混沌同步系统有 两个相同才是电路 和一个单项耦合 系统构成的。相同 的蔡氏 电路之两个电路的元件的参数尽可能的接近，从而确保混沌同步实现的基本条件。单向耦合 系统确保驱动系统能对响应系统产生影响，响应系统不能对驱动系统产生作用。如电路图 6 所示：
图 6 混沌同步实验电路 驱动系统 两端的电压信号通过运算放大器等值的传输到 的左侧。由于单向耦合系统的 存在，驱动系统的运动状态会影响响应系统，而响应系统的运动状态不能影响驱动系统。这 样， 的左右两端分别为驱动系统的 信号和响应系统的 信号。在驱动系统和响应系统 不同步时，这两个信号时不等的，这时我们可以通过调节 的大小来实现 和 上的电压 信号相等。于是，两个系统变实现了同步。
（2）
.
.
Z = =- = 输入阻抗为： N
U+
.
I1
Z2 U−
Z1
.
I2
Z2 Z1
ZL
（3）
用电路图 3 以测试有源非线性负阻的 i-v 特性曲线，如图 4 示为测试结果曲线，分为 5 段折现表明，加在非线性元件上的电压与通过它的电流就行是相反的，只有中间的三段这线 区域可以产生负阻效应。
图 2 非线性负阻伏安特性测试电路
有源非线性负阻 蔡氏电路 混沌现象 费根鲍姆常数
1、引言
非线性科学的萌芽期可以追溯到 19 世纪末 20 世纪初，法国数学家庞加莱在解决天体力 学中的三体问题时提出了庞加莱猜想，他把动力学系统和拓扑学有机地结合起来，并指出三 体问题中，在一定范围内，其解是随机的。但是非线性科学的真正建立是在 20 世纪六七十 年代。1963 年，美国气象学家洛伦茨在《确定论非周期流》一文中，给出了描述大气湍流 的洛伦茨方程，并提出了著名的“蝴蝶效应”，从而揭开了对非线性科学深入研究的序幕。 非线性科学被誉为继相对论和量子力学之后，20 世界物理学的“第三次重大革命”。由非线 性科学所引起的对确定论和随机论、有序和无序、偶然性与必然性等范畴和概念的重新认识， 形成了一种新的自然观，将深刻的影响人类的思维方法，并涉及现代科学的逻辑体系的根本 性问题。
2、实验原理
2.1 费根鲍姆常数 一个完全 确定的系统，即 使非常简单，由于 系统内部的非线 性作用，同样具有 内在的
随机性，可以产生随机性的非周期运动。在许多非线性系统中，既有周期运动，又有混沌运
动。菲根鲍姆发现，一个动力学系统中分岔点处参量 µ 收敛服从普适规律。他指出，出现 倍周期分岔预示着混沌的存在。δ =4.699 201 609 102 9。非线性参数可以表征一个非线性系
[参考文献]
《近代物理实验补充讲义》
熊俊 主编 北京师范大学出版社
附图： 附图 1
附图 2
附图 3
附图 4
附图 5 附图 7
附图 9
附图 6 附图 8
附图 10
附图 11
附图 12
附图 13
表一 不同状态下非线性电阻两端电压
李萨如 图 1周期 4周期 阵发混 沌 3周期 双吸引 子
非线性负阻两端电压 （V）
6.5019 5.8914 5.856
5.8105 5.5858
李萨如图
2周期 8周期 5周期
单吸引子 稳定双吸引 子
非线性负阻两端电压（V）
5.8855 5.8917 5.8182
3、实验装置
直流电源、信号源、数字存储示波器、模拟示波器、台式万用表、电阻箱、电容箱、18.8mH 电感元件、滑动变阻器、0.01uF、0.1uF 电容元件、电阻元件。其中直流电源和信号源集成 在一个控制箱中，控制箱面板如图 7 所示。（可以利用控制箱的接地端口使电路共地）
图 7 控制箱面板示意图
4、实验内容
L diL dt
= −U c2
方程组中U c1 、U c2 和 iL 任何一个量都可以描述系统状态，不存在解析解，只能数值求解。
数值结果表明：对 U c1 、U c2 和 iL 分别求解，可以得到系统相同的运动规律，即由周期震
荡通过倍周期分岔进出混沌，具体发展是：周期震荡 → 2 周期 → 2n 周期 → 阵发混沌 → 单
5、数据处理与分析
5.1 非线性负阻 I-U 特性曲线
I（mA）
6
5 4
3
2
系列1
1
0
0
5
10
15
U（V）
图8 有源非线性电阻伏安特性曲线
如图 8，实验测得的 I-U 特性曲线分为三个折线段，第三个折线段表明加在此非线性元件上 的电压与通过它的电流极性是相反的，当加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小， 即可以产生负阻效应。（由于电阻箱部分档位无法工作，导致拐点无法得到密集点数据） 5.2 非线性电路混沌运动的实验结果
非线性电路混沌及其同步控制
摘要：
本实验通过测量有源非线性电阻的 I-U 特性曲线，学习和认识了非线性电阻的特性，并在此 基础上搭建蔡氏振荡电路，通过改变其特征参数，观察到周期振荡、周期运动，倍周期与分 岔，阵发混沌、单吸引子，双吸引子，稳定双吸引子的物理图像，并计算了费根鲍姆常数近 似值。最后，实验将两个蔡氏电路通过一个单向耦合电路系统连接成一个混沌同步电路，并 最终研究其混沌同步现象。 关键词：
迄今为止，最丰富的混沌现象是非线性震荡电路中观察到的，这是因为电路可以精密元 件控制，因此可以通过精确地改变实验条件得到丰富的实验结果，蔡氏电路是华裔科学家蔡 少棠设计的能产生混沌的最简单的电路，它是熟悉和理解非线性现象的经典电路。
本实验的目的是学习有源非线性负阻元件的工作原理，借助蔡氏电路掌握非线性动力学 系统运动的一般规律性，了解混沌同步和控制的基本概念。通过本实验的学习扩展视野、活 跃思维，以一种崭新的科学世界观来认识事物发展的一般规律。
六、 [结论与建议]
本实验通过对有源非线性电阻伏安特性曲线的测量，得出其伏安特性曲线性质，并通过 调节蔡氏电路中电容取值，得到费根鲍姆常数近似值 3.9672、3.6216，并得到由周期振荡经 倍周期分岔到混沌运动的各种状态。最后通过单向耦合电路将两个蔡氏电路连接起来，观察 混沌同步，初步了解了同步、准同步和去同步现象。
吸引子 → 双吸引子临界状态 → 双吸引子 → 稳定双吸引子。方程组中 R 、 L 、 C1 和 C2
的取值对计算结果的影响极大，取值只要发生微小变化甚至 10−6 量级，解就会从一个态变
成另一个态，甚至从稳定态，变成不稳定态，从周期状态变成混沌状态。 2.4 混沌同步
所谓混沌 同步是指一个系 统的混沌动力学轨 道收敛于另一而 系统的混沌动力学 轨道， 以至于两个系统在以后的时间里始终保持不掉的一致。方法是驱动响应方法，它将系统分为 两个子系统：驱动子系统和响应子系统，然后对响应子系统进行复制，并用驱动子系统产生 的信号 驱动该复制 的系统。混 沌同步的目 的是在一个 相同的具有 任意初始条 件的形影系 统 中，从一个驱动系统中恢复给定的混沌轨迹。用于保密通信是，在传输前用混沌来隐藏消息， 并通过混沌同步来在接收端抽取该隐藏的消息。
1、 搭建如图 2 所示电路，测量非线性电阻 I-U 的特性曲线 2、 搭建如图 5 所示电路，改变可变电阻 R，观测并记录非线性电路的各种运动状态，同时
测量非线性负阻两端的电压，
3、 利用电容箱改变 ，选取两个不同的 R 值，观察当 增加时非线性电路的运动状态，
计算非线性参数δ ' 。
4、 搭建如图 6 所示电路。将其中一个蔡氏电路作为驱动系统，另一个作为响应系统。分别 调节两个蔡氏电路的参数，使两个蔡氏电路处于大致相同的混沌状态，如稳定双吸引子 状态。然后采用单向耦合电路将两个蔡氏电路连接起来，观察同步现象。调节响应系统 中的可变电阻，观察电路参数对同步的影响。改变耦合电阻，观察并记录混沌同步和去 同步状态。
图 3 有源非线性负阻伏安特性
2.3 非线性电路 本实验以蔡氏电路为基本实验装置，蔡氏电路是能产生混沌的最简单的非线性电路，如
电路图 5 所示，它由一个非线性电阻 RN 、电感 L，可调电阻 R 以及电容器 C1 与 C2 ，其中
非线性电阻是核心元件，是系统产生混沌的必要条件。
图 5 蔡氏震荡电路 由基尔霍夫结点电流定律可以得到蔡氏电路的非线性动力学方程：
非线性的器件和负阻，有源非线性负阻表现在当电阻两端的电压增大时，电流减小，并且不
是线性变化。负阻只有在电路中有电流是才会产生，而正阻则不论有没有电流流过总是存在
的，从功率意义上说，正阻在电路中消耗功率，是耗能元件；而负阻不但不消耗功率，反而 向外界输出功率，是产能元件。
一般实现 负阻是用正阻和 运算放大器构成负 阻抗变换器电路 。因为放大运算器 工作需
5.6018 5.6233
图 8 实验测量伏安特性曲线 以上数据表明，只要非线性电阻两端的电压发生微小变化，系统就可以迅速从稳态变为 非稳定态，发生巨大的变化，系统运动状态对初值极为敏感。 周期振荡经倍周期分岔后产生混沌现象见附图（1）——（10） 5.3 改变 R 值计算菲根鲍姆常数
表二 不同 R 下分岔点处 取值
{ ic1 = iR − iRN ic2 = i L − i R
L diL dt
=
−U c2
…… …… …… …… ……4
( ) ( ) C1
dU c1 dt
=
1 R
U c2 − U c1
− U c1 RN U c1
( ) C dUc2 = 1 U −U + i
2 dt
R c1
c2
L
……… …… …… ……5
.
.
u += u -
电流与参考方向有关，所以：
（a） 有源非线性负阻. 内部结构.
I Z1 1=- I 2Z2
…… …… …… …… ……1
（b） 等效电路
µ1 （uF）
0.00128
0.01157
µ2 （uF）
0.0037
0.01425
µ3 （uF）
0.00431
0.01499
δ ' = µ2 − µ1 µ3 − µ2
3.9672
3.6216
电阻状态下比
电阻状态下，系统更接近于混沌状态，而
δ
' 1
来自百度文库
<
δ
2
'
<
δ
，满足δ
'越
接近δ ，系统进入混沌状态就越快。
很明显，δ ' 远小于δ ，原因有以下几点：①由于实验仪器精度问题，实验中只能测到 µ3
的值，不能让 n 趋近于∞；②电容只能精确到 uF 小数点后五位，致使 δ '产生误差；③混沌
电路对外界微小变化十分敏感，而实验不能保证外界变化不会影响到电路，从而在测量数据 时，混沌电路状态已经发生改变，致使误差产生。 5.4 混沌同步 混沌同步、准同步、去同步见附图（11）——（13）。 由图像知同步图像为一条直线，准同步图像接近一条直线，而去同步图像为非规则图型。
统趋于混沌的速度，δ ' = µ2 − µ1
µ −µ
3
2
（1）
非线性参数可以表征一个非线性系统趋于混沌的速度，δ ' 越接近 δ ，系统进入混沌就
越快。
2.2 有源非线性负阻 一般的电阻器件是有线的正阻，即当电阻两端的电压升高时，电阻内的电流也会随之增
加，并且 i-v 呈线性变化，所谓正阻，即 I-U 是正相关，i-v 曲线的斜率 ∆u 为正。相对的有 ∆i
实验中的 混沌同步系统有 两个相同才是电路 和一个单项耦合 系统构成的。相同 的蔡氏 电路之两个电路的元件的参数尽可能的接近，从而确保混沌同步实现的基本条件。单向耦合 系统确保驱动系统能对响应系统产生影响，响应系统不能对驱动系统产生作用。如电路图 6 所示：
图 6 混沌同步实验电路 驱动系统 两端的电压信号通过运算放大器等值的传输到 的左侧。由于单向耦合系统的 存在，驱动系统的运动状态会影响响应系统，而响应系统的运动状态不能影响驱动系统。这 样， 的左右两端分别为驱动系统的 信号和响应系统的 信号。在驱动系统和响应系统 不同步时，这两个信号时不等的，这时我们可以通过调节 的大小来实现 和 上的电压 信号相等。于是，两个系统变实现了同步。
（2）
.
.
Z = =- = 输入阻抗为： N
U+
.
I1
Z2 U−
Z1
.
I2
Z2 Z1
ZL
（3）
用电路图 3 以测试有源非线性负阻的 i-v 特性曲线，如图 4 示为测试结果曲线，分为 5 段折现表明，加在非线性元件上的电压与通过它的电流就行是相反的，只有中间的三段这线 区域可以产生负阻效应。
图 2 非线性负阻伏安特性测试电路
有源非线性负阻 蔡氏电路 混沌现象 费根鲍姆常数
1、引言
非线性科学的萌芽期可以追溯到 19 世纪末 20 世纪初，法国数学家庞加莱在解决天体力 学中的三体问题时提出了庞加莱猜想，他把动力学系统和拓扑学有机地结合起来，并指出三 体问题中，在一定范围内，其解是随机的。但是非线性科学的真正建立是在 20 世纪六七十 年代。1963 年，美国气象学家洛伦茨在《确定论非周期流》一文中，给出了描述大气湍流 的洛伦茨方程，并提出了著名的“蝴蝶效应”，从而揭开了对非线性科学深入研究的序幕。 非线性科学被誉为继相对论和量子力学之后，20 世界物理学的“第三次重大革命”。由非线 性科学所引起的对确定论和随机论、有序和无序、偶然性与必然性等范畴和概念的重新认识， 形成了一种新的自然观，将深刻的影响人类的思维方法，并涉及现代科学的逻辑体系的根本 性问题。
2、实验原理
2.1 费根鲍姆常数 一个完全 确定的系统，即 使非常简单，由于 系统内部的非线 性作用，同样具有 内在的
随机性，可以产生随机性的非周期运动。在许多非线性系统中，既有周期运动，又有混沌运
动。菲根鲍姆发现，一个动力学系统中分岔点处参量 µ 收敛服从普适规律。他指出，出现 倍周期分岔预示着混沌的存在。δ =4.699 201 609 102 9。非线性参数可以表征一个非线性系
[参考文献]
《近代物理实验补充讲义》
熊俊 主编 北京师范大学出版社
附图： 附图 1
附图 2
附图 3
附图 4
附图 5 附图 7
附图 9
附图 6 附图 8
附图 10
附图 11
附图 12
附图 13
表一 不同状态下非线性电阻两端电压
李萨如 图 1周期 4周期 阵发混 沌 3周期 双吸引 子
非线性负阻两端电压 （V）
6.5019 5.8914 5.856
5.8105 5.5858
李萨如图
2周期 8周期 5周期
单吸引子 稳定双吸引 子
非线性负阻两端电压（V）
5.8855 5.8917 5.8182
3、实验装置
直流电源、信号源、数字存储示波器、模拟示波器、台式万用表、电阻箱、电容箱、18.8mH 电感元件、滑动变阻器、0.01uF、0.1uF 电容元件、电阻元件。其中直流电源和信号源集成 在一个控制箱中，控制箱面板如图 7 所示。（可以利用控制箱的接地端口使电路共地）
图 7 控制箱面板示意图
4、实验内容
L diL dt
= −U c2
方程组中U c1 、U c2 和 iL 任何一个量都可以描述系统状态，不存在解析解，只能数值求解。
数值结果表明：对 U c1 、U c2 和 iL 分别求解，可以得到系统相同的运动规律，即由周期震
荡通过倍周期分岔进出混沌，具体发展是：周期震荡 → 2 周期 → 2n 周期 → 阵发混沌 → 单
5、数据处理与分析
5.1 非线性负阻 I-U 特性曲线
I（mA）
6
5 4
3
2
系列1
1
0
0
5
10
15
U（V）
图8 有源非线性电阻伏安特性曲线
如图 8，实验测得的 I-U 特性曲线分为三个折线段，第三个折线段表明加在此非线性元件上 的电压与通过它的电流极性是相反的，当加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小， 即可以产生负阻效应。（由于电阻箱部分档位无法工作，导致拐点无法得到密集点数据） 5.2 非线性电路混沌运动的实验结果
非线性电路混沌及其同步控制
摘要：
本实验通过测量有源非线性电阻的 I-U 特性曲线，学习和认识了非线性电阻的特性，并在此 基础上搭建蔡氏振荡电路，通过改变其特征参数，观察到周期振荡、周期运动，倍周期与分 岔，阵发混沌、单吸引子，双吸引子，稳定双吸引子的物理图像，并计算了费根鲍姆常数近 似值。最后，实验将两个蔡氏电路通过一个单向耦合电路系统连接成一个混沌同步电路，并 最终研究其混沌同步现象。 关键词：
迄今为止，最丰富的混沌现象是非线性震荡电路中观察到的，这是因为电路可以精密元 件控制，因此可以通过精确地改变实验条件得到丰富的实验结果，蔡氏电路是华裔科学家蔡 少棠设计的能产生混沌的最简单的电路，它是熟悉和理解非线性现象的经典电路。
本实验的目的是学习有源非线性负阻元件的工作原理，借助蔡氏电路掌握非线性动力学 系统运动的一般规律性，了解混沌同步和控制的基本概念。通过本实验的学习扩展视野、活 跃思维，以一种崭新的科学世界观来认识事物发展的一般规律。
六、 [结论与建议]
本实验通过对有源非线性电阻伏安特性曲线的测量，得出其伏安特性曲线性质，并通过 调节蔡氏电路中电容取值，得到费根鲍姆常数近似值 3.9672、3.6216，并得到由周期振荡经 倍周期分岔到混沌运动的各种状态。最后通过单向耦合电路将两个蔡氏电路连接起来，观察 混沌同步，初步了解了同步、准同步和去同步现象。
吸引子 → 双吸引子临界状态 → 双吸引子 → 稳定双吸引子。方程组中 R 、 L 、 C1 和 C2
的取值对计算结果的影响极大，取值只要发生微小变化甚至 10−6 量级，解就会从一个态变
成另一个态，甚至从稳定态，变成不稳定态，从周期状态变成混沌状态。 2.4 混沌同步
所谓混沌 同步是指一个系 统的混沌动力学轨 道收敛于另一而 系统的混沌动力学 轨道， 以至于两个系统在以后的时间里始终保持不掉的一致。方法是驱动响应方法，它将系统分为 两个子系统：驱动子系统和响应子系统，然后对响应子系统进行复制，并用驱动子系统产生 的信号 驱动该复制 的系统。混 沌同步的目 的是在一个 相同的具有 任意初始条 件的形影系 统 中，从一个驱动系统中恢复给定的混沌轨迹。用于保密通信是，在传输前用混沌来隐藏消息， 并通过混沌同步来在接收端抽取该隐藏的消息。
1、 搭建如图 2 所示电路，测量非线性电阻 I-U 的特性曲线 2、 搭建如图 5 所示电路，改变可变电阻 R，观测并记录非线性电路的各种运动状态，同时
测量非线性负阻两端的电压，
3、 利用电容箱改变 ，选取两个不同的 R 值，观察当 增加时非线性电路的运动状态，
计算非线性参数δ ' 。
4、 搭建如图 6 所示电路。将其中一个蔡氏电路作为驱动系统，另一个作为响应系统。分别 调节两个蔡氏电路的参数，使两个蔡氏电路处于大致相同的混沌状态，如稳定双吸引子 状态。然后采用单向耦合电路将两个蔡氏电路连接起来，观察同步现象。调节响应系统 中的可变电阻，观察电路参数对同步的影响。改变耦合电阻，观察并记录混沌同步和去 同步状态。
图 3 有源非线性负阻伏安特性
2.3 非线性电路 本实验以蔡氏电路为基本实验装置，蔡氏电路是能产生混沌的最简单的非线性电路，如
电路图 5 所示，它由一个非线性电阻 RN 、电感 L，可调电阻 R 以及电容器 C1 与 C2 ，其中
非线性电阻是核心元件，是系统产生混沌的必要条件。
图 5 蔡氏震荡电路 由基尔霍夫结点电流定律可以得到蔡氏电路的非线性动力学方程：
非线性的器件和负阻，有源非线性负阻表现在当电阻两端的电压增大时，电流减小，并且不
是线性变化。负阻只有在电路中有电流是才会产生，而正阻则不论有没有电流流过总是存在
的，从功率意义上说，正阻在电路中消耗功率，是耗能元件；而负阻不但不消耗功率，反而 向外界输出功率，是产能元件。
一般实现 负阻是用正阻和 运算放大器构成负 阻抗变换器电路 。因为放大运算器 工作需
5.6018 5.6233
图 8 实验测量伏安特性曲线 以上数据表明，只要非线性电阻两端的电压发生微小变化，系统就可以迅速从稳态变为 非稳定态，发生巨大的变化，系统运动状态对初值极为敏感。 周期振荡经倍周期分岔后产生混沌现象见附图（1）——（10） 5.3 改变 R 值计算菲根鲍姆常数
表二 不同 R 下分岔点处 取值
{ ic1 = iR − iRN ic2 = i L − i R
L diL dt
=
−U c2
…… …… …… …… ……4
( ) ( ) C1
dU c1 dt
=
1 R
U c2 − U c1
− U c1 RN U c1
( ) C dUc2 = 1 U −U + i
2 dt
R c1
c2
L
……… …… …… ……5