点到直线的距离公式

d Q
x1
By0 C A
,
y2
Ax0 C B
O
Sx
PR
x0 x1
Ax0 By0 C A
, PS
y0 y2
Ax0 By0 C B
RS
PR2 PS 2
A2 B2 AB
Ax0 By0 C
由三角形面积公式可得：
d RS PR PS
d
A2 B2 AB
Ax0 By0 C
然后用两点间的距离公式求得 .
PQ
法二：P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, 设AB≠0,
AB 0,这时l与x轴, y轴都相交, l
y
过p作x轴的平行线,交l与点R x1, y0 ; R
P
作y轴的平行线,交l与点S x0, y2
Ax1 By0 C 0, Ax0 By2 C 0
Ax0 By0 C . Ax0 By0 C
A
B
y
l R
Q
O
P d
x
S
d Ax0 By0 C A2 B2
注： 在使用该公式前，须将 直线方程化为一般式．
❖ A=0或B=0，此公式也成立， 但当A=0或B=0时一般不用此 公式计算距离．
例5:求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。
5 5 2
例7： 判断直线2x-7y-8=0与6x-21y-1=0是否平
y 行？若平行求出两直线间的距离。
l1:2x-7y-8=0 l2: 6x-21y-1=0
两平行线间的 距离处处相等
A(4,0)
O
x
在l1上任取一点，例如A(4,0)
A到l2的距离等于l1与l2的距离
6 4 21 0 1
d
23
解： ①根据点到直线的距离公式，得
2 1 1 2 10
d
2 5
22 12
y
②如图，直线3x=2平行于y轴，
P(-1,2) O
x l:3x=2
d 2 (1) 5
3
3
用公式验证，结果怎样？
例6已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求ΔABC的面积。
yA hB
CO x
解：设AB边上的高为h，则
则m等于
（ D）
A. 3
B. 3
C. 3
D. 3或 3
3
3
2.若点P（x，y）在直线x y 4 0上，O是原点，
则OP的最小值是
（ B）
A. 10
B.2 2
C. 6
D.2
3.若点（4，a）到直线4x 3y 1的距离不大于3，
则a的取值范围
A.0,10
B.0,10
D. ,0 10,
C.13 ,133
SΔABC=1/2·|AB|·h
| AB | (3 1)2 (1 3)2 2 2
AB边上的高h就是点C到AB的距离
AB边所在直线的方程为
即x y 4 0
y 3 x 1 13 31
点C（-1,0）到x y 4 0的距离
h=|-1+0-4| 5
12 12
2
因此，S
ABC=
1 2
2
2
2
MN 3 13 4
x-4y+6=0 N
o
P
直线MN方程：4x+6y-9=0,
P(2,2)到直线MN的距离d=
11
,
M
2 13
x ∴Ｓ四边形OMPN ＝ Ｓ△OMN+Ｓ△PMN
＝ 15. 4
小结：
（1）点到直线距离公式：
d Ax0 B，y0 C A2 B2
注意用该公式时应先将直线方程化为一般式；
（ A）
4.已知两直线3x 2y 3 0与6x my 1 0互相
平行，则它们之间的距离等于
（ D）
A.4
B. 2 3
C.5 3
D.7 13
13
26
26
5、求直线x-4y+6=0和8x+y-18=0与两 坐标轴围成的四边形的面积．
y
8x+y-18=0
(提示：Ｍ(
9
,0),N(0, ),
3
4
3.3.3点到直线的距离 3.3.4两条平行直线间的距离
新郑二中高一数学组
点到直线的距离
l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0
Q
. P(x0,y0)
o
x
问题：求点P（x0 ,y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。
y
P
l
Q
P（x0，y0）
l:Ax+By+C=0 x O
法一：写出直线PQ的方程，与l 联立求出点Ｑ的坐标，
则点P到直线l2的距离为: PQ Ax0 点P在直线l1上， Ax0 By0 C1 0
By0 A2 B2
C2
Ax0 By0 C1 PQ C2 C1
（两平行线间 的距离公式）
A2 B2
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为 对应相同的形式。
反馈练习：
1.点（3，m）到直线l：x 3y 4 0的距离等于1，
23 53
62 212
3 53 159
❋直线到直线的距离转化为点到直线的距离
yP
l 思考：任意两条平行线的距离是多少呢？
1
Q l2
任意两条平行直线都可以写成如下形式：
O
x
l1 :Ax+By+C1=0
l2 :Ax+By+C2=0
在直线 l1上任取一点Px0, y0 ,过点P作直线 l2的垂线,垂足为Q
（2）两平行直线间的距离：
源自文库
d C，2 C1 A2 B2
注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理 为对应相等的形式。