高等代数课件(北大三版)--第二章--多项式
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第二章 多项式
2.1 一元多项式的定义和运算 2.2 多项式的整除性 2.3 多项式的最大公因式 2.4 多项式的分解 2.5 重因式 2.6 多项式函数 多项式的根 2.7 复数和实数域上多项式 2.8 有理数域上多项式 2.9 多元多项式 2.10 对称多项式
课外学习2：从高次代数方程和求根公式到伽罗华理论 课外学习3：代数与代数基本定理的历史 课外学习4：推广的余数定理及算法 课外学习5：代数元的多项式的共轭因子
那么由上面定理的证明得
f xgx 0
推论2 f xgx f xhx, f x 0 gx hx 证 由 f xgx f xhx得 f xgx hx 。但
f x 0
所以由推论1必有
gx hx 0 ,即
gx hx
惠州学院数学系
例 当 a, b, c 是什么数时，多项式
f x ax3 bx2 c b x3 x2
一、内容分布
2.1.1 认识多项式 2.1.2 相等多项式 2.1.3 多项式的次数
二、教学目的
2.1.4 多项式的运算
2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
2.1.6 多项式的运算性质
掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质.
三、重点、难点
一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运算性质。
惠州学院数学系
（2）
由（1）， f x gx的次数显然不超过n，另一方面，
由an 0, bm 0得anbm 0 ，所以由(2)得
的次数是n + m .
f xgx
惠州学院数学系
推论1 f xgx 0 f x 0 或 gx 0
证 若是 f x和g(x)中有一个是零多项式，那么由多项
式乘法定义得 f xgx 0 . 若是 f x 0且g(x) 0
这里
ck a0bk a1bk1 ak1b1 akb0 , k 0,1, 2,, n m
惠州学院数学系
多项式的减法
f x gx f x gx
惠州学院数学系
2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
（1）加法交换律:
f x gx gx f x
（2）加法结合律: （3）乘法交换律:
惠州学院数学系
2.1.4 多项式的运算
多项式的加法
给定数环R上两个多项式
f x a0 a1 x a2 x 2 an x n g x b0 b1 x b2 x 2 bm x m
且m ≤ n, f (x) 和g (x) 的加法定义为
f x gx a0 b0 a1 b1 x a2 b2 x2 an bn xn
f x gx hx f x gx hx
f xgx gx f x
（4）乘法结合律: f xgxhx f xgxhx
（5）乘法对加法的分配律:
f xgx hx f xgx f xhx
注意： 要把一个多项式按“降幂”书写
an x n an1 x n1 a1 x a0
当 an 0时， an xn叫做多项式的首项.
f x a0 a1 x a2 x 2 an x n , an 0
g x b0 b1 x b2 x 2 bm x m , bm 0
且 m n 那么
f x gx a0 b0 a1 b1 x a2 b2 x 2 an bn x n （1）
f xg x a0b0 a0b1 a1b0 x anbm x nm
（1）是零多项式？ （2）是零次多项式？
惠州学院数学系
2.2 多项式的整除性
一、内容分布
2.2.1 多项式的整除概念 2.2.2 多项式整除性的一些基本性质 2.2.3 多项式的带余除法定理 2.2.4 系数所在范围对整除性的影响
二、教学目的
这里当m < n 时， bm1 bn 0
惠州学院数学系
多项式的乘法
给定数环R上两个多项式
f x a0 a1 x a2 x 2 an x n g x b0 b1 x b2 x 2 bm x m
f (x) 和g (x) 的乘法定义为
f xg x c0 c1 x c2 x 2 cnn x nm
2.1.1 认识多项式
多项式
令R是一个含有数1的数环.R上一个文字x的多项式或一元多项式指的
是形式表达式
a0 a1 x a2 x 2 an x n
这里n是非负整数而
一元多项式常用符号
ai i 0,1,, n 都是R中的数.
f x, gx, 来表示.
1：在多项式(1)中,
a0 叫做零次项或常数项,
a 叫做 i 次项,
i叫做 i 次项的系数.
注
2：在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系
数为零的项；若是某一个i次项的系数是1 ，那
么这个系数可以省略不写。
惠州学院数学系
ai xi
2.1.2 相等多项式
定义
若是数环R上两个一元多项式 , f (x) 和g (x)有完全相同的项,或者 只差一些系数为零的项, 那么 f (x) 和g (x)就说是相等 .
惠州学院数学系
代数是搞清楚世界上数量关系的工具。 ――怀特黑德（1961－1947）
当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美 的曲调等等一样而得到充分的快乐。 - -柯普宁(前苏联哲学家)
快乐地学习数学，优雅地欣赏数学。 ――匿名者
惠州学院数学系
2.1 一元多项式的定义和运算
f (x) = g (x)
惠州学院数学系
2.1.3 多项式的次数
an x n叫做多项式 a0 a1 x a2 x 2 an x n an 0
的最高次项,非负整数n叫做多项式
a0 a1 x a2 x 2 an x n an 0 的次数. 记作
0 f百度文库x
注：
系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做 零多项式，记为 0 .
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2.1.6 多项式的运算性质
定理 设f x和g(x) 是数环R上两个多项式,并且
f x 0, gx 0 .那么
（i）当 f x gx 0 时,
0 f x gx max0 f x, 0 gx
（ii） 0 f xgx 0 f x 0 gx
惠州学院数学系
证: 设0 f x n, 0 gx m
2.1 一元多项式的定义和运算 2.2 多项式的整除性 2.3 多项式的最大公因式 2.4 多项式的分解 2.5 重因式 2.6 多项式函数 多项式的根 2.7 复数和实数域上多项式 2.8 有理数域上多项式 2.9 多元多项式 2.10 对称多项式
课外学习2：从高次代数方程和求根公式到伽罗华理论 课外学习3：代数与代数基本定理的历史 课外学习4：推广的余数定理及算法 课外学习5：代数元的多项式的共轭因子
那么由上面定理的证明得
f xgx 0
推论2 f xgx f xhx, f x 0 gx hx 证 由 f xgx f xhx得 f xgx hx 。但
f x 0
所以由推论1必有
gx hx 0 ,即
gx hx
惠州学院数学系
例 当 a, b, c 是什么数时，多项式
f x ax3 bx2 c b x3 x2
一、内容分布
2.1.1 认识多项式 2.1.2 相等多项式 2.1.3 多项式的次数
二、教学目的
2.1.4 多项式的运算
2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
2.1.6 多项式的运算性质
掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质.
三、重点、难点
一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运算性质。
惠州学院数学系
（2）
由（1）， f x gx的次数显然不超过n，另一方面，
由an 0, bm 0得anbm 0 ，所以由(2)得
的次数是n + m .
f xgx
惠州学院数学系
推论1 f xgx 0 f x 0 或 gx 0
证 若是 f x和g(x)中有一个是零多项式，那么由多项
式乘法定义得 f xgx 0 . 若是 f x 0且g(x) 0
这里
ck a0bk a1bk1 ak1b1 akb0 , k 0,1, 2,, n m
惠州学院数学系
多项式的减法
f x gx f x gx
惠州学院数学系
2.1.5 多项式加法和乘法的运算规则
（1）加法交换律:
f x gx gx f x
（2）加法结合律: （3）乘法交换律:
惠州学院数学系
2.1.4 多项式的运算
多项式的加法
给定数环R上两个多项式
f x a0 a1 x a2 x 2 an x n g x b0 b1 x b2 x 2 bm x m
且m ≤ n, f (x) 和g (x) 的加法定义为
f x gx a0 b0 a1 b1 x a2 b2 x2 an bn xn
f x gx hx f x gx hx
f xgx gx f x
（4）乘法结合律: f xgxhx f xgxhx
（5）乘法对加法的分配律:
f xgx hx f xgx f xhx
注意： 要把一个多项式按“降幂”书写
an x n an1 x n1 a1 x a0
当 an 0时， an xn叫做多项式的首项.
f x a0 a1 x a2 x 2 an x n , an 0
g x b0 b1 x b2 x 2 bm x m , bm 0
且 m n 那么
f x gx a0 b0 a1 b1 x a2 b2 x 2 an bn x n （1）
f xg x a0b0 a0b1 a1b0 x anbm x nm
（1）是零多项式？ （2）是零次多项式？
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2.2 多项式的整除性
一、内容分布
2.2.1 多项式的整除概念 2.2.2 多项式整除性的一些基本性质 2.2.3 多项式的带余除法定理 2.2.4 系数所在范围对整除性的影响
二、教学目的
这里当m < n 时， bm1 bn 0
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多项式的乘法
给定数环R上两个多项式
f x a0 a1 x a2 x 2 an x n g x b0 b1 x b2 x 2 bm x m
f (x) 和g (x) 的乘法定义为
f xg x c0 c1 x c2 x 2 cnn x nm
2.1.1 认识多项式
多项式
令R是一个含有数1的数环.R上一个文字x的多项式或一元多项式指的
是形式表达式
a0 a1 x a2 x 2 an x n
这里n是非负整数而
一元多项式常用符号
ai i 0,1,, n 都是R中的数.
f x, gx, 来表示.
1：在多项式(1)中,
a0 叫做零次项或常数项,
a 叫做 i 次项,
i叫做 i 次项的系数.
注
2：在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系
数为零的项；若是某一个i次项的系数是1 ，那
么这个系数可以省略不写。
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ai xi
2.1.2 相等多项式
定义
若是数环R上两个一元多项式 , f (x) 和g (x)有完全相同的项,或者 只差一些系数为零的项, 那么 f (x) 和g (x)就说是相等 .
惠州学院数学系
代数是搞清楚世界上数量关系的工具。 ――怀特黑德（1961－1947）
当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美 的曲调等等一样而得到充分的快乐。 - -柯普宁(前苏联哲学家)
快乐地学习数学，优雅地欣赏数学。 ――匿名者
惠州学院数学系
2.1 一元多项式的定义和运算
f (x) = g (x)
惠州学院数学系
2.1.3 多项式的次数
an x n叫做多项式 a0 a1 x a2 x 2 an x n an 0
的最高次项,非负整数n叫做多项式
a0 a1 x a2 x 2 an x n an 0 的次数. 记作
0 f百度文库x
注：
系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做 零多项式，记为 0 .
惠州学院数学系
2.1.6 多项式的运算性质
定理 设f x和g(x) 是数环R上两个多项式,并且
f x 0, gx 0 .那么
（i）当 f x gx 0 时,
0 f x gx max0 f x, 0 gx
（ii） 0 f xgx 0 f x 0 gx
惠州学院数学系
证: 设0 f x n, 0 gx m