角平分线的性质定理 教学课件
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O
B
活 动 2 如果前面活动中的纸片换成木板、 钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
A
1、如图，是一个角平分仪， 其中AB=AD,BC=DC。 D 将点A放在角的顶点,AB和AD 沿着角的两边放下,沿AC画一 条射线AE,AE就是角平分线， 你能说明它的道理吗?
B C E
A
2、证明： 在△ACD和△ACB中 D AD=AB（已知） DC=BC（已知） C CA=CA（公共边） ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） E ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公 路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度 假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？
用一用(2)
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.
A
E B D
F C
温馨提示:
做完题目后,一定要“ ”到点东 西,纳入到自己的认知结构中去.
悟
活
A
E 如 图 ： 在 △ ABC 中 ， F ∠C=90° AD是∠BAC的平分 线，DE⊥AB于E，F在AC上， D B C BD=DF； 求证：CF=EB 分析:要证 CF=EB,首先我们想到的是要证它 们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌Rt△EDB. 现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需 要我们找什么条件
B
活 动 3
根据角平分仪的制作原理怎样作 一个角的平分线？（不用角平分仪或 量角器）
N E C N A
C
E
O
M
O
B M
活 动 4
C
1〉平分平角∠AOB
B
O D
A
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后， 把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线 AB是什么关系？
3〉结论：作平角的平分线即可平分平角， 由此也得到过直线上一点作这条直线的垂 线的方法。
活 动 5
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角 三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观 察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)猜想:角的平分线上的点到角的 两边的距离相等.
活 动 5
探究角平分线的性质
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC 上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE 证明：∵OC平分∠ AOB （已知） ∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） C
A
D
O
1 2 E
P C
B
A
F
E
C
D
B
3、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB， AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E。
求证：△DBE的周长等于AB。
C D
A
E
B
一、过程小结： 情境→观察→作图→应用→探究→再应用 二、知识小结： 本节课学习了那些知识？有哪些运用？你 学了吗？做了吗？用了吗？
回味无穷
定理（文字语言）: 角平分线 上的点到这个角的两边的距离 相等. 符号语言： ∵∠1＝∠2 PD⊥OA,PE⊥OB( 已知） ∴PD=PE(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等). 用尺规作角的平分线.
角平分线上 的点到角两 边的距离相 等。
利用此性质 怎样书写推理过 A 程? D ∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE ⊥ OB（已知） ∴PD=PE（全等三 角形的对应边相等）
O
1 2
P
E
C B
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁 路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００ 米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
用一用（1）
1、如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC 于E，PF⊥AC于F ND ∴PD=PE 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
B A P E M F C
角平分线的性质
学习目标：
1.通过操作、验证等方式，
掌握角平分线的性质定理
2.能运用角的平分线性质定理
解决简单的几何问题.
下图中，能表示点P到直线l的距离的是 线段PC的长
活 动 1
不利用工具，请你将一张用纸 片做的角分成两个相等的角。你有什 么办法？ （对折）
A C
再打开纸片 ，看看折 痕与这个角有何关系？
DC=DE (因为角的平分线的性质) 再用HL证明.
试试自己写 证明。你一 定行！
1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为6，OM=6， 2 则PN=_______。
N
0 A
P
M
C B
2、如图:△ABC中, ∠C=900，AD是 ∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF，求证：CF=EB
A
D O
1 2
P
E
B
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） ∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中
(3)验证猜想
∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证） OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
活 动 5
O
B
活 动 2 如果前面活动中的纸片换成木板、 钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
A
1、如图，是一个角平分仪， 其中AB=AD,BC=DC。 D 将点A放在角的顶点,AB和AD 沿着角的两边放下,沿AC画一 条射线AE,AE就是角平分线， 你能说明它的道理吗?
B C E
A
2、证明： 在△ACD和△ACB中 D AD=AB（已知） DC=BC（已知） C CA=CA（公共边） ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） E ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公 路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度 假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？
用一用(2)
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.
A
E B D
F C
温馨提示:
做完题目后,一定要“ ”到点东 西,纳入到自己的认知结构中去.
悟
活
A
E 如 图 ： 在 △ ABC 中 ， F ∠C=90° AD是∠BAC的平分 线，DE⊥AB于E，F在AC上， D B C BD=DF； 求证：CF=EB 分析:要证 CF=EB,首先我们想到的是要证它 们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌Rt△EDB. 现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需 要我们找什么条件
B
活 动 3
根据角平分仪的制作原理怎样作 一个角的平分线？（不用角平分仪或 量角器）
N E C N A
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活 动 4
C
1〉平分平角∠AOB
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O D
A
2〉通过上面的步骤，得到射线OC以后， 把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线 AB是什么关系？
3〉结论：作平角的平分线即可平分平角， 由此也得到过直线上一点作这条直线的垂 线的方法。
活 动 5
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角 三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观 察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
(2)猜想:角的平分线上的点到角的 两边的距离相等.
活 动 5
探究角平分线的性质
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC 上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E 求证: PD=PE 证明：∵OC平分∠ AOB （已知） ∴ ∠1= ∠2（角平分线的定义） C
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1 2 E
P C
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3、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB， AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E。
求证：△DBE的周长等于AB。
C D
A
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B
一、过程小结： 情境→观察→作图→应用→探究→再应用 二、知识小结： 本节课学习了那些知识？有哪些运用？你 学了吗？做了吗？用了吗？
回味无穷
定理（文字语言）: 角平分线 上的点到这个角的两边的距离 相等. 符号语言： ∵∠1＝∠2 PD⊥OA,PE⊥OB( 已知） ∴PD=PE(角平分线上的点到这 个角的两边距离相等). 用尺规作角的平分线.
角平分线上 的点到角两 边的距离相 等。
利用此性质 怎样书写推理过 A 程? D ∵ ∠1= ∠2, PD ⊥ OA， PE ⊥ OB（已知） ∴PD=PE（全等三 角形的对应边相等）
O
1 2
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C B
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁 路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００ 米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
用一用（1）
1、如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC 于E，PF⊥AC于F ND ∴PD=PE 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
B A P E M F C
角平分线的性质
学习目标：
1.通过操作、验证等方式，
掌握角平分线的性质定理
2.能运用角的平分线性质定理
解决简单的几何问题.
下图中，能表示点P到直线l的距离的是 线段PC的长
活 动 1
不利用工具，请你将一张用纸 片做的角分成两个相等的角。你有什 么办法？ （对折）
A C
再打开纸片 ，看看折 痕与这个角有何关系？
DC=DE (因为角的平分线的性质) 再用HL证明.
试试自己写 证明。你一 定行！
1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为6，OM=6， 2 则PN=_______。
N
0 A
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C B
2、如图:△ABC中, ∠C=900，AD是 ∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF，求证：CF=EB
A
D O
1 2
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B
∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（已知） ∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定义） 在△PDO和△PEO中
(3)验证猜想
∠PDO= ∠PEO（已证） ∠1= ∠2 （已证） OP=OP （公共边） ∴ △PDO ≌ △PEO（AAS） ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）
活 动 5