第4讲均值不等式及基本不等式的性质

答案：5
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第七章
不等式
若实数 x，y 满足 xy＝1，则 x2＋2y2 的最小值为______．
1 解析：因为 xy＝1，所以 y＝x， 2 所以 x ＋2y ＝x ＋ 2≥2 x
2 2 2
2 x · 2＝2 2. x
2
即 x2＋2y2 的最小值为 2 2.
答案：2 2
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第七章
不等式
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第七章
不等式
【解析】 4 ＝ ， 3
1 1 3x＋（4－3x）2 (1)x(4－3x)＝ · (3x)(4－3x)≤ · 3 3 2
当且仅当 3x＝4－3x， 2 即 x＝ 时，取等号． 3
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第七章
不等式
5 (2)因为 x< ，所以 5－4x>0， 4 1 1 则 f(x)＝4x－2＋ ＝－(5－4x＋ )＋3≤－2＋3＝1. 4x－5 5－4x 1 当且仅当 5－4x＝ ， 5－4x 即 x＝1 时，等号成立． 1 故 f(x)＝4x－2＋ 的最大值为 1. 4x－5
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第七章
不等式
x2 ＋ 2 (3)y＝ x－ 1 （x2－2x＋1）＋（2x－2）＋3 ＝ x－1 （x－1）2＋2（x－1）＋3 ＝ x－1 3 ＝(x－1)＋ ＋2≥2 3＋2. x－1 3 当且仅当(x－1)＝ ，即 x＝ 3＋1 时，等号成立． （x－1）
【答案】
2 (1) 3
(2)1
1 若 f(x) ＝ x ＋ (x>2) 在 x ＝ a 处取得最小值，则 a ＝ x－2 ________．
1 1 解析：f(x)＝x＋ ＝(x－2)＋ ＋2 x－2 x－2 ≥2 1 1 （x－2）· ＋2＝4，当且仅当 x－2＝ ， x－2 x－2
即 x＝3 时， “＝”成立，所以 a＝3.
答案：3
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第七章
不等式
利用基本不等式求最值(高频考点)
利用基本不等式求最值是高考考查的重点，很少单独命 题，常与函数的最值、导数、解析几何等综合考查，主要命 题角度有： (1)通过配凑法利用基本不等式求最值； (2)通过常数代换法利用基本不等式求最值； (3)通过消元法利用基本不等式求最值．
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b a 2 (2)a＋b≥______ (a，b 同号)． a＋b 2 2 (a，b∈R)． (3)ab≤_______ a＋b 2 2 2 a ＋b 2 (a，b∈R)． (4) ≥_______ 2 以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.
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(3)2 3＋2
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第七章
不等式
角度二
通过常数代换法利用基本不等式求最值
1 1 已知 a>0， b>0， a＋b＝1， 则a＋b的最小值为________．
【解析】
因为 a＋b＝1， ba · ＝2＋2＝4. ab
第七章
不等式
3．算术平均数与几何平均数
a＋b 2 ，几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为_______
ab 为_______ ，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数
不小于它们的几何平均数．
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第七章
不等式
4．利用基本不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则
x＝y 时，x＋y 有 (1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当_______
最小 值是_______ 2 p ．(简记：积定和最小) _______ x＝y 时，xy 有 (2)如果和 x＋y 是定值 p ，那么当且仅当 _______ p2 最大 值是_______ _______ ．(简记：和定积最大) 4
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第七章
不等式
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) 1 (1)函数 y＝x＋x的最小值是 2.( × )
(教材习题改编)设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大 值为( A．80 C．81 ) B．77 D．82
解析：选 C.18＝x＋y≥2 xy，所以 xy≤9，即 xy≤81.
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第七章
不等式
Байду номын сангаас
4 若 x>1，则 x＋ 的最小值为________． x－1
4 4 解析：x＋ ＝x－1＋ ＋1≥4＋1＝5. x－1 x－ 1 4 当且仅当 x－1＝ ，即 x＝3 时等号成立． x－1
全国名校高考数学优质学案汇编（附详解）
第七章
不等式
第4讲
基本不等式
第七章
不等式
a＋b 1．基本不等式 ab≤ 2
≥0，b≥0 (1)基本不等式成立的条件：a _____________ ．
a＝b 时取等号． (2)等号成立的条件：当且仅当_______
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第七章
不等式
2．几个重要的不等式
2ab (a，b∈R)． (1)a2＋b2≥_______
)
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第七章
不等式
1 解析：选 C.当 x>0 时，x＋x≥2 当 x<0 时，－x>0. 1 －x＋ ≥2 －x
1 x· x＝2.
1 （－x）· ＝2. （－x）
1 所以 x＋ ≤－2. x 1 所以 f(x)＝x＋x的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．故选 C.
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第七章
不等式
π 4 (2) 函 数 f(x) ＝ cos x ＋ ， x ∈ 0， 2 的 最 小 值 等 于 4. cos x
( × ) x y (3)“x>0 且 y>0”是“ y ＋x≥2”的充要条件．( × ) 1 (4)若 a>0，则 a ＋ 2的最小值为 2 a.( × ) a
3
第七章
不等式
[典例引领] 角度一 通过配凑法利用基本不等式求最值
(1)已知 0<x<1，则 x(4－3x)取得最大值时 x 的值为 ________． 5 1 (2)已知 x< ，则 f(x)＝4x－2＋ 的最大值为________． 4 4x－5 x2 ＋ 2 (3)函数 y＝ (x>1)的最小值为________． x－ 1
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第七章
不等式
a＋b (5) 不 等 式 a ＋ b ≥ 2ab 与 ≥ ab 有 相 同 的 成 立 条 2
2 2
件．( × ) (6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ )
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第七章
不等式
1 (教材习题改编)函数 f(x)＝x＋x的值域为( A．[－2，2] C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．[2，＋∞) D．R