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2x + 4x − 3 = 0 利用 3、设 x1 、 x2是方程 、 关系，求下列各式的值： 根与系数的 关系，求下列各式的值：
(1).(x1 +1)(x2 +1)
x2 x1 (2). + x1 x2
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结论
如果ax + bx + c = 0, (a ≠ 0)的两个根是x1, x2
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b c 那么x1 + x2 = − , x1 • x2 = a a
2
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1、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？ 、下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？
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(1).x
2
−3x +1= 0
2
(2).3x
2
−2x = 2
2
(3).2x
−3x = 0
2
(4).4x
=1+ 2x
的一个根是 1， ，
2、已知方程 3x −19x + m = 0 、 的值。 求它的另一个根和m的值 求它的另一个根和m的值。
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例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程 、利用根与系数的关系，
2x + 3x −1 = 0
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两个根的；（ ）平方和；（ ；（2） 两个根的；（1）平方和；（ ）倒数和 ；（ 解：设方程的两个根是x1 x2，那么 设方程的两个根是
3 1 x1 + x2 = − , x1 × x2 = − 2 2 2 (1)∵(x1 + x2 ) = x12 + 2x1x2 + x22 3 1 13 = − − 2× − = 2 2 4 1 1 x1 + x2 3 1 (2) + = = − ÷ − = 3 x1 x2 x1x2 2 2
(− b) =
2
−
(
b − 4ac 4a2
2
)
2
c = a
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结论
如果ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0)的两个根是x1, x2 b c 那么x1 + x2 = − , x1 • x2 = a a
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例 ：已知方程： + kx − 6 = 0,的一个根是2， 1 5x
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求它的另一个根及k的值
解：设方程的另一个根为x1，那么
x1 × 2 = − ∴ x1 = − 3 5 6 5
k 3 又 − + 2 = − 5 5 3 ∴ k = −5 × − + 2 = −7 5 所以，方程的另一根是 3 − ， k 的值是 − 7。 5
公式的推导过程
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如果ax + bx + c = 0, (a ≠ 0)的两个根是x1, x2
− b + b2 − 4ac − b − b2 − 4ac x1 + x2 = + 2a 2a − 2b b = =− 2a a
− b + b2 − 4ac − b − b2 − 4ac x1 × x2 = ( ) •( ) 2a 2a
例1 推导
例2
小结 小测验
小竞赛
结论
探究
知识小竞赛 是下列一元二次方程的两个根， 设 x1 、 x2是下列一元二次方程的两个根，填写下表
一元二次方程
x2 − 5x + 6 = 0 2x + 5x − 3 = 0
2
x1 + x2 5
− 5 2 1 − 6
x1 · x2 6
3 2 1 − 3 −
6x2 + x − 2 = 0
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特例
如果x2 + px + q = 0, (a ≠ 0)的两个根是x1, x2 那么x1 + x2 = − p, x1 • x2 = q
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公式的特例
如果x + px + q = 0, (a ≠ 0)的两个根是x1, x2
2
那么x1 + x2 = − p, x1 • x2 = q
公式的应用
以两个数x1, x2为根的一元二次方程（二次项 的系数为）是: x2 − x1 + x2）x + x1 • x2 = 0 1 （
1、根据所填写的表格，你能发现x1 + x2 ， x1 · x2与方 根据所填写的表格，你能发现 根据所填写的表格 的系数有什么关系？ 程 的系数有什么关系？ 2、一元二次方程的两个根和、两根的积与方程之间 一元二次方程的两个根和、 一元二次方程的两个根和 这种关系，是这几个方程特有的呢， 这种关系，是这几个方程特有的呢，还是对于任 何一元二次方程都具有的呢？ 何一元二次方程都具有的呢？ 返回