曲面的曲率
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课程特点：
数学物理方法是物理学类、电子信息科学 类和通信科学类的重要公共基础课和工具。
主要特色在于数学和物理的紧密结合， 将数学用于实际的物理和交叉科学的实际问 题的分析中，通过物理过程建立数学模型， 通过求解和分析模型，对具体物理过程的深 入理解。提高分析解决实际问题的能力。
2020/3/22
1
课程内容：
第一章：微分几何（4） 第二章：线性空间（4） 第三章：渐近方法（5） 第四章：格林函数法（5） 第五章：积分方程的解法（5）
2020/3/22
2
课程学习目标：
1、掌握微分几何、线性空间的相关定义和本征函数 集的应用； 2、掌握数学物理方程常规解法的技巧，以及特殊函 数的应用； 3、掌握格林函数在数学物理方法求解中的应用，掌 握积分方程的数值求解方法，学习数值渐近方法。 4、学习和提高编程分析实际问题的能力。
2020/3/22
8
：第一章 微分几何
推荐用书：
《数学物理方法》王一平主编，电子工业出版社
《微分几何的理论和习题》利普舒茨著，上海科学 技术出版社
《微分几何讲义》陈省身 陈维恒著，北京大学出 版社
《微分几何》梅向明 黄敬之编，高等教育出版社
2020/3/22
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§ 1.1.1 曲线的表示
§ 1.1 三维空间中的曲线
C 可rr用(t)向= 量x(t形)ir 式+ y的(t参) rj +数z方(t)程kr =表[示x(t为), y(t), z(t)]
或写为分量形式的参数方程 x x(t)
y y(t) , t(a, b) ．
2020/3/式22 中t 称为 C 的参数
z z(t)
10
§ 1.1.1 曲线的表示
一、曲线的表示
在 E3 中Descartes直角坐标系 O-xyz 下运动质点的位置为
rr(t) =
r x(t)i
+
r y(t) j
+
r z(t)k
rrr
其中 i , j, k 为单位正交基向量．
空间曲线定义：
区间(a, b)上点t 在映射：t (x(t), y(t), z(t)) 下像的集合
曲线C的表示：
2020/3/22
6
第一章 微分几何
微分几何涉及用微积分方法了解空间形状及其性质。
微分几何解决问题的一般思路是：
参数方程定 义几何体
求导 从微积分导出能说
明几何学某些性质 的几何量
给定某些微 分量
求解
确定几何体
2020/3/22
几何量
微分方程的解集即几何体
满足的条件（微分方程）
第一章 微分几何
1、三维空间中的曲线； 2、三维空间中的曲面； 3、曲面的第一、二基本形式； 4、曲面的曲率； 5、测地线； 6、张量简述。
为使t, t1增加的方向均相应于曲线正向，要求
dt >0
dt1
曲线202C0/3上/22 一点如取参数t 时为正则点，则在取t1表示时也为正13则点
§ 1.1.1 曲线的表示
§ 1.1 三维空间中的曲线
四、正则曲线的意义
可以选取弧长作为曲线的参数并能够方便地确定曲线的切线．
仅仅表示一点，而不是正常的曲线，此时所有的参数值 对应于图形实体的同一点．这是非正则曲线的极端例 子．
例2迹，半表径示为为a，rr (螺t) 距 (为a c2oπsv(的w 圆t) ,柱a螺sin线(w，t如) , 视v t为) ,动t点R的，轨
其中三个常数 a 0 , w 0 和 v 0 分别为动点运动的圆
2020/3/22
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第一章 微分几何
微分几何的产生和发展是与数学分析密切相连的， 在这方面做出突出贡献的有瑞士数学家欧拉，法国的 蒙日，德国的高斯、克莱因等。
经近300年的发展，已逐渐成为数学上独具 特色，应用广泛的学科。
在波的辐射、传播、散射、反射等应用领域常 遇到对物体几何形状的分析，而微分几何所阐明 的概念和方法，在这一方面成为有力的工具。
§ 1.1 三维空间中的曲线
二、正则
假定所研究的曲线 rr (t) 至少是t 的一阶连续可微函数。
定义 •若 •若
：rrrr¢¢((tt如00))果¹= 00给，，定则则参称称数tt曲线tt00 的的C:对对rr 应应= 点点rr (t)rrrr((,tt00t)) 为为(a,CCb)的的．一一个个正奇则点点；．
, 0) 2t ,
, tR 0) ，
，
故此时其奇点有且仅有一个：r(0) ．
该曲线是（－, 0）和（0, ）上的正则曲线。
三、同一曲线的不同参数表示
同引一入条新曲参线量可t1，有则不rr(同t) 的rr参(t 数(t1表)) ＝示。rr1 如(t1)果，曲为线保C障为t,rrt(1t一)，一用对t＝应t且(t1)
2020/3/22
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第一章 微分几何
微分几何是采用微积分的方法研究几何图形 的学科。本章重点讨论曲面理论的基本原理。
微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可 以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂 的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可 以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方 法。
学习本章的重点是掌握微分几何基本概念理解 空间曲面的定义、定理及重要几何量的计算方法。
Hale Waihona Puke Baidu
2020/3/22
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学习要求：
按时到课，完成作业，及时复习。
考核方法：30%平时+70%期末（闭卷） 推荐用书：
《数学物理方法》王一平主编，电子工业出版社
《微分几何的理论和习题》利普舒茨著，上海科学 技术出版社
《微分几何》梅向明 黄敬之 编，高等教育出版社
《物理学中的数学方法》拜伦著，1982年，科学出 版社
周半径、角速率和向上速率．此时
rr (t) (aw sin(wt) , aw cos(wt) , v) 0 ，
说明该参数化使之成为正则曲线。
或者称该曲线是（－, ）上的正则曲线。
2020/3/22
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§ 1.1.1 曲线的表示
§ 1.1 三维空间中的曲线
例3 则
半立方抛物线光滑曲线
rrr(t) (t3 , t2 r (t) (3t2 ,
若曲线上所有点正则，则称 C 为正则曲线，并称参数 t 为正
则参数．
几何意义：
• 视参数曲线为动点轨迹，正则点的几何意义则是当参数在该点
处作微小变动时动点的位置同时作真正的变动．
2020/3/22
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§ 1.1.1 曲线的表示
§ 1.1 三维空间中的曲线
例1 若参数曲线 C: rr = rr(t) = 常矢 , tR ，则其几何图形
数学物理方法是物理学类、电子信息科学 类和通信科学类的重要公共基础课和工具。
主要特色在于数学和物理的紧密结合， 将数学用于实际的物理和交叉科学的实际问 题的分析中，通过物理过程建立数学模型， 通过求解和分析模型，对具体物理过程的深 入理解。提高分析解决实际问题的能力。
2020/3/22
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课程内容：
第一章：微分几何（4） 第二章：线性空间（4） 第三章：渐近方法（5） 第四章：格林函数法（5） 第五章：积分方程的解法（5）
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课程学习目标：
1、掌握微分几何、线性空间的相关定义和本征函数 集的应用； 2、掌握数学物理方程常规解法的技巧，以及特殊函 数的应用； 3、掌握格林函数在数学物理方法求解中的应用，掌 握积分方程的数值求解方法，学习数值渐近方法。 4、学习和提高编程分析实际问题的能力。
2020/3/22
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：第一章 微分几何
推荐用书：
《数学物理方法》王一平主编，电子工业出版社
《微分几何的理论和习题》利普舒茨著，上海科学 技术出版社
《微分几何讲义》陈省身 陈维恒著，北京大学出 版社
《微分几何》梅向明 黄敬之编，高等教育出版社
2020/3/22
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§ 1.1.1 曲线的表示
§ 1.1 三维空间中的曲线
C 可rr用(t)向= 量x(t形)ir 式+ y的(t参) rj +数z方(t)程kr =表[示x(t为), y(t), z(t)]
或写为分量形式的参数方程 x x(t)
y y(t) , t(a, b) ．
2020/3/式22 中t 称为 C 的参数
z z(t)
10
§ 1.1.1 曲线的表示
一、曲线的表示
在 E3 中Descartes直角坐标系 O-xyz 下运动质点的位置为
rr(t) =
r x(t)i
+
r y(t) j
+
r z(t)k
rrr
其中 i , j, k 为单位正交基向量．
空间曲线定义：
区间(a, b)上点t 在映射：t (x(t), y(t), z(t)) 下像的集合
曲线C的表示：
2020/3/22
6
第一章 微分几何
微分几何涉及用微积分方法了解空间形状及其性质。
微分几何解决问题的一般思路是：
参数方程定 义几何体
求导 从微积分导出能说
明几何学某些性质 的几何量
给定某些微 分量
求解
确定几何体
2020/3/22
几何量
微分方程的解集即几何体
满足的条件（微分方程）
第一章 微分几何
1、三维空间中的曲线； 2、三维空间中的曲面； 3、曲面的第一、二基本形式； 4、曲面的曲率； 5、测地线； 6、张量简述。
为使t, t1增加的方向均相应于曲线正向，要求
dt >0
dt1
曲线202C0/3上/22 一点如取参数t 时为正则点，则在取t1表示时也为正13则点
§ 1.1.1 曲线的表示
§ 1.1 三维空间中的曲线
四、正则曲线的意义
可以选取弧长作为曲线的参数并能够方便地确定曲线的切线．
仅仅表示一点，而不是正常的曲线，此时所有的参数值 对应于图形实体的同一点．这是非正则曲线的极端例 子．
例2迹，半表径示为为a，rr (螺t) 距 (为a c2oπsv(的w 圆t) ,柱a螺sin线(w，t如) , 视v t为) ,动t点R的，轨
其中三个常数 a 0 , w 0 和 v 0 分别为动点运动的圆
2020/3/22
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第一章 微分几何
微分几何的产生和发展是与数学分析密切相连的， 在这方面做出突出贡献的有瑞士数学家欧拉，法国的 蒙日，德国的高斯、克莱因等。
经近300年的发展，已逐渐成为数学上独具 特色，应用广泛的学科。
在波的辐射、传播、散射、反射等应用领域常 遇到对物体几何形状的分析，而微分几何所阐明 的概念和方法，在这一方面成为有力的工具。
§ 1.1 三维空间中的曲线
二、正则
假定所研究的曲线 rr (t) 至少是t 的一阶连续可微函数。
定义 •若 •若
：rrrr¢¢((tt如00))果¹= 00给，，定则则参称称数tt曲线tt00 的的C:对对rr 应应= 点点rr (t)rrrr((,tt00t)) 为为(a,CCb)的的．一一个个正奇则点点；．
, 0) 2t ,
, tR 0) ，
，
故此时其奇点有且仅有一个：r(0) ．
该曲线是（－, 0）和（0, ）上的正则曲线。
三、同一曲线的不同参数表示
同引一入条新曲参线量可t1，有则不rr(同t) 的rr参(t 数(t1表)) ＝示。rr1 如(t1)果，曲为线保C障为t,rrt(1t一)，一用对t＝应t且(t1)
2020/3/22
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第一章 微分几何
微分几何是采用微积分的方法研究几何图形 的学科。本章重点讨论曲面理论的基本原理。
微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可 以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂 的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可 以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方 法。
学习本章的重点是掌握微分几何基本概念理解 空间曲面的定义、定理及重要几何量的计算方法。
Hale Waihona Puke Baidu
2020/3/22
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学习要求：
按时到课，完成作业，及时复习。
考核方法：30%平时+70%期末（闭卷） 推荐用书：
《数学物理方法》王一平主编，电子工业出版社
《微分几何的理论和习题》利普舒茨著，上海科学 技术出版社
《微分几何》梅向明 黄敬之 编，高等教育出版社
《物理学中的数学方法》拜伦著，1982年，科学出 版社
周半径、角速率和向上速率．此时
rr (t) (aw sin(wt) , aw cos(wt) , v) 0 ，
说明该参数化使之成为正则曲线。
或者称该曲线是（－, ）上的正则曲线。
2020/3/22
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§ 1.1.1 曲线的表示
§ 1.1 三维空间中的曲线
例3 则
半立方抛物线光滑曲线
rrr(t) (t3 , t2 r (t) (3t2 ,
若曲线上所有点正则，则称 C 为正则曲线，并称参数 t 为正
则参数．
几何意义：
• 视参数曲线为动点轨迹，正则点的几何意义则是当参数在该点
处作微小变动时动点的位置同时作真正的变动．
2020/3/22
11
§ 1.1.1 曲线的表示
§ 1.1 三维空间中的曲线
例1 若参数曲线 C: rr = rr(t) = 常矢 , tR ，则其几何图形