中考数学压轴题精选 含详细答案

目录

1.7因动点产生的相切问题

例1 2012年河北省中考第25题

例2 2012年无锡市中考第28题

1.8因动点产生的线段和差问题

例1 2012年滨州市中考第24题

例2 2012年山西省中考第26题

1.7 因动点产生的相切问题

例1 2012年河北省中考第25题

如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA ＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．（1）求点C的坐标；

（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；

（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而

变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切

时，求t的值．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12河北25”，拖动圆心P在点Q左侧运动，可以体验到，⊙P 可以与直线BC、直线DC、直线AD相切，不能与直线AB相切．

答案（1）点C的坐标为(0,3)．

t=+；

（2）如图2，当P在B的右侧，∠BCP＝15°时，∠PCO＝30°，43

t=+．如图3，当P在B的左侧，∠BCP＝15°时，∠CPO＝30°，433

图2 图3

（3）如图4，当⊙P与直线BC相切时，t＝1；

如图5，当⊙P与直线DC相切时，t＝4；

如图6，当⊙P与直线AD相切时，t＝5.6．

图4 图5 图6

例2 2012年无锡市中考模拟第28题

如图1，菱形ABCD的边长为2厘米，∠DAB＝60°．点P

从A出发，以每秒3厘米的速度沿AC向C作匀速运动；与此同

时，点Q也从点A出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当

点P到达点C时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为t秒．

（1）当P异于A、C时，请说明PQ//BC；

（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙

P 与边BC 分别有1个公共点和2个公共点？ 图一

动感体验

请打开几何画板文件名“12无锡28”，拖动点P 由A 向C 运动，可以体验到，⊙P 与线段BC 的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点．

请打开超级画板文件名“12无锡28”，拖动点P 由A 向C 运动，可以体验到，⊙P 与线段BC 的位置关系依次是相离没有公共点，相切只有1个公共点，相交有2个公共点，相交只有1个公共点，线段在圆的内部没有公共点．

答案 （1）因为2

AQ t

AB

=，

32

23AP t t AC ==

，所以AQ AP AB AC =．因此PQ //BC ．

（2）如图2，由PQ ＝PH ＝12PC ，得1

(233)2

t t =-．解得436t =-．

如图3，由PQ ＝PB ，得等边三角形PBQ ．所以Q 是AB 的中点，t ＝1．

如图4，由PQ ＝PC ，得233t t =-．解得33t =-． 如图5，当P 、C 重合时，t ＝2．

因此，当436t =-或1＜t ≤33-或t ＝2时，⊙P 与边BC 有1个公共点． 当436-＜t ≤1时，⊙P 与边BC 有2个公共点．

图2 图3 图4 图5

1.8 因动点产生的线段和差问题

例1 2012年滨州市中考第24题

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－2, －4 )、O (0, 0)、 B (2, 0)三点．

（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；

（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12滨州24”，拖动点M 在抛物线的对称轴上运动（如图2），可以体验到，当M 落在线段AB 上时，根据两点之间线段最短，可以知道此时AM ＋OM 最小（如图3）．

请打开超级画板文件名“12滨州24”，拖动点M ， M 落在线段AB 上时， AM ＋OM 最小．

答案 （1）212

y x x =-+。 （2）AM ＋OM 的最小值为42

图2 图3

例2 2012年山西省中考第26题

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．

（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；

（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P 的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12山西26”，拖动点P 在x 轴上运动，可以体验到，点Q 有3个时刻可以落在抛物线上．拖动点M 在直线AC 上运动，可以体验到，当M 落在B ′D 上时，MB ＋MD 最小，△MBD 的周长最小．

思路点拨

1．第（2）题探究平行四边形，按照AP 为边或者对角线分两种情况讨论．

2．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，构造点B 关于“河流”AC 的对称点B ′，那么M 落在B ′D 上时，MB ＋MD 最小，△MBD 的周长最小．

满分解答

（1）由y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x ＋1)(x －3)＝－(x －1)2＋4， 得A (－1, 0)、B (3, 0)、C (0, 3)、D (1, 4)．

直线AC 的解析式是y ＝3x ＋3．

（2）Q 1(2, 3)，Q 2(17,3-)，Q 3(17,3--)．

（3）设点B 关于直线AC 的对称点为B ′，联结BB ′交AC 于F ． 联结B ′D ，B ′D 与交AC 的交点就是要探求的点M ． 作B ′E ⊥x 轴于E ，那么△BB ′E ∽△BAF ∽△CAO ．

在Rt △BAF 中，1310

AF BF ==

AB ＝4，所以10BF =． 在Rt △BB ′E 中，

'1310B E BE ==

'210

BB BF ==12'5B E =，365BE =． 所以3621355

OE BE OB =-=-=．所以点B ′的坐标为2112

(,)55-．

因为点M 在直线y ＝3x ＋3上，设点M 的坐标为(x , 3x ＋3)．

由''''''DD MM B D B M =

，得''''yD yB yM yB xD xB xM xB --=--．所以1212

433552121

155

x x -

+-=++

． 解得935x =

．所以点M 的坐标为9132

(,)3535

．