北京邮电大学《高等数学》第08章-5节 三重积分-球面坐标系.ppt
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5
经线方向的长为 rd,
z
d
dr
纬线方向的宽为 rsind,
r sin
向径方向的高为 dr。
r
于是，小六面体的体积为 o
dv r2 sindrdd x
d
这就是球面坐标系中的体积元素。
r sind
rd
d
y
6
二、 三重积分的球面坐标形式
f ( x, y, z)dxdydz F(r,, )r2 sindrdd
z
0 r R
:
0
4
0 2
•
o
y
x
f ( x, y, z)dv
2
d
4 d
R F (r, , )r 2 sindr
0
0
0
11
(3) : z k x2 y2 (k 0)，z 1所围立体
z
:0 r 1 ,
cos
1
0 arctan 1 ,0 2
k
f ( x, y, z)dv
M(r,,) • M(x,y,z)
r
为从正z轴来看自x轴
按逆时针方向转到有向
o
x
xy
z
y
P(x,y,0)
线段OP的角度, 这里P是点M 在xoy平面上的投影点。
这样三个数r , ,叫做点M的球面坐标。
2
z
①球面坐标的变化范围
0 r ,
0 ,
M(r,,)
r • M(x,y,z)
0 2 ②三组坐标面
o
x
y
2
d
arctan 1
k d
1
cos F (r, , )r 2 sindr。
0
0
0
12
例5 先将积分化为球面坐标的累次积分,
再求其积分值。
R
(1)I dx
R2 x2
dy
R2 x2 y2 ( x2 y2 )dz
R R2 x2
0
z
解 (1) 是以原点为球心,以R
为半径的上半球面与xoy面所围
其中F(r,, ) f (r sin cos , r sin sin , r cos)。
计算三重积分，一般是化为先r，再，最后
的三次积分。
当原点在 内时,有
0 r r(, ),0 ,0 2 ,
f (x, y, z)dv
2
d
d
r( , ) F (r, , )r 2 sindr
1
2
d
2 d
cos r r 2 sindr
0
0
0
•
2
2
sin
cos4
d
0
4
10
o
x
y
14
课内练习一
z
计算三重积分 ( x2 y2 )dv
: a2 x2 y2 z2 b2, z 0。
o
y
解
( x2 y2 )dv
:
a
r
x b,0
,0
2
2
d
2 d
b
r
2
s
in2
r
2
sindr
dv r2 sindrdd
4
为了把三重积分
中的变量从直角坐
标变换为球面坐标， 用三组坐标平面r =
常数， =常数， =常数把积分区域
分成许多小闭区域。
z dr
d
r sin
r
o
x
d
r sind
rd
d
y
考虑由r, ,各取得微小增量dr,d,d所成的
六面体的体积(如图)。不计高阶无穷小，可把 这个六面体看作长方体。
(3) : z k x2 y2 (k 0)，z 1所围立体
9
z
(1) : x2 y2 (z R)2 R2 2R
0 r 2Rcos
:
0
2
,
0 2
R •
o
x
y
f ( x, y, z)dv
2
d
2 d
2Rcos F (r, , )r 2 sindr
0
0
0
10
解 (2) : z R2 x2 y2，z x2 y2所围立体
o
z
x
y
x
y
P(x,y,0)
r =常数，即以原点为心的球面。
=常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面。
=常数，即过z轴的半平面。
3
③点M的直角坐标与
z
球面坐标的关系为
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
M(r,,)
r • M(x,y,z)
o
z
x
y
x
y
P(x,y,0)
④球面坐标下的体积元素
480
o
3x
R
2
Dxy
:
x2
y2
3 4
R2
18
z
解法三 用切片法(先重后单)
z2dv z2dv z2dv
1
R• 2
Dz1
1
R R
z
2dz
dxdy
2
Dz1
R 2
o
y
2 z2dz dxdy x
0
Dz 2
Dz1 : x2 y2 (R2 z2 )
R,0 ,0 2
2Rcos , 3 ,0
3
2
2
16
z
解法一 用球面坐标
1
z2dv
R R
• •
2
3
z2dv z2dv
2 o
y
1
2
x
2
d
3 d
R r 2 cos2 r 2 sindr
0
0
0
2
d
0
2
d
2Rcos r 2 cos2 r 2 sindr
0
3
59 R5。
480
17
z
解法二 用柱面坐标系
1
z2dv
RR
• •
2
d
3R
2 rdr
R2 r 2 z 2dz
0
0
R R2 r2
2
2 o
y
2
3R 2
r
1
[(
0
3
R2 r2 )3 (R
x
R2 r 2 )3 ]dr
y
(令r Rsint,dr Rcostdt)
Dxy
59 R5
第八章 重积分
8.3 重积分的计算
8.3.4 球面坐标系下的三重积分的计算法
一、球面坐标
z
设M ( x, y, z)为空间内一 点, 则点M 也可用这样三个
有次序的数r, ,来确定。
M(r,,) • M(x,y,z)
r
o
x
z
y
x y P(x,y,0)
1
r为原点到M间的距离。
z
为有向线段OM与z轴
正向所夹的角。
2
0
0
a
2
2 sin3 d
b r 4dr
0
a
4 (b5 a5 )。
15
15
例6 求三重积分 z2dv
z
: x2 y2 z2 R2与x2 y2
z2 2Rz 所围的公共部分。
R• R• 2
1
3
解 先求两曲面的交线方程
o
y
x
2
y2
3 4
R2
x
2
z
R 2
1 2
:0 :0
r r
0
0
0
7
例如，半径为R的球体的体积
V
dv
2
d
d
R r 2 sindr
0
0
0
2 2 R3 4 R3。
33
8
例4 将 f (x, y, z)dv化为球面坐标系下的
三次积分形式, 其中 为 : (1) : x2 y2 (z R)2 R2
(2) : z R2 x2 y2，z x2 y2所围立体
成的空间区域。
: 0 r R,0 ,0 2
I
2
d
2 d
R
r
2
2 sin2
r
2
x
sindr
o
0
0
0
y
2
2 sin3 d
R r 4dr
4 R5
0
Байду номын сангаас
0
15
13
(2)
x2 y2 z2 dv, : x2 y2 z2 z
解
:
0
r
cos
,
0
2
,
0
2
z
x2 y2 z2dv
经线方向的长为 rd,
z
d
dr
纬线方向的宽为 rsind,
r sin
向径方向的高为 dr。
r
于是，小六面体的体积为 o
dv r2 sindrdd x
d
这就是球面坐标系中的体积元素。
r sind
rd
d
y
6
二、 三重积分的球面坐标形式
f ( x, y, z)dxdydz F(r,, )r2 sindrdd
z
0 r R
:
0
4
0 2
•
o
y
x
f ( x, y, z)dv
2
d
4 d
R F (r, , )r 2 sindr
0
0
0
11
(3) : z k x2 y2 (k 0)，z 1所围立体
z
:0 r 1 ,
cos
1
0 arctan 1 ,0 2
k
f ( x, y, z)dv
M(r,,) • M(x,y,z)
r
为从正z轴来看自x轴
按逆时针方向转到有向
o
x
xy
z
y
P(x,y,0)
线段OP的角度, 这里P是点M 在xoy平面上的投影点。
这样三个数r , ,叫做点M的球面坐标。
2
z
①球面坐标的变化范围
0 r ,
0 ,
M(r,,)
r • M(x,y,z)
0 2 ②三组坐标面
o
x
y
2
d
arctan 1
k d
1
cos F (r, , )r 2 sindr。
0
0
0
12
例5 先将积分化为球面坐标的累次积分,
再求其积分值。
R
(1)I dx
R2 x2
dy
R2 x2 y2 ( x2 y2 )dz
R R2 x2
0
z
解 (1) 是以原点为球心,以R
为半径的上半球面与xoy面所围
其中F(r,, ) f (r sin cos , r sin sin , r cos)。
计算三重积分，一般是化为先r，再，最后
的三次积分。
当原点在 内时,有
0 r r(, ),0 ,0 2 ,
f (x, y, z)dv
2
d
d
r( , ) F (r, , )r 2 sindr
1
2
d
2 d
cos r r 2 sindr
0
0
0
•
2
2
sin
cos4
d
0
4
10
o
x
y
14
课内练习一
z
计算三重积分 ( x2 y2 )dv
: a2 x2 y2 z2 b2, z 0。
o
y
解
( x2 y2 )dv
:
a
r
x b,0
,0
2
2
d
2 d
b
r
2
s
in2
r
2
sindr
dv r2 sindrdd
4
为了把三重积分
中的变量从直角坐
标变换为球面坐标， 用三组坐标平面r =
常数， =常数， =常数把积分区域
分成许多小闭区域。
z dr
d
r sin
r
o
x
d
r sind
rd
d
y
考虑由r, ,各取得微小增量dr,d,d所成的
六面体的体积(如图)。不计高阶无穷小，可把 这个六面体看作长方体。
(3) : z k x2 y2 (k 0)，z 1所围立体
9
z
(1) : x2 y2 (z R)2 R2 2R
0 r 2Rcos
:
0
2
,
0 2
R •
o
x
y
f ( x, y, z)dv
2
d
2 d
2Rcos F (r, , )r 2 sindr
0
0
0
10
解 (2) : z R2 x2 y2，z x2 y2所围立体
o
z
x
y
x
y
P(x,y,0)
r =常数，即以原点为心的球面。
=常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面。
=常数，即过z轴的半平面。
3
③点M的直角坐标与
z
球面坐标的关系为
x r sin cos
y
r
sin
sin
z r cos
M(r,,)
r • M(x,y,z)
o
z
x
y
x
y
P(x,y,0)
④球面坐标下的体积元素
480
o
3x
R
2
Dxy
:
x2
y2
3 4
R2
18
z
解法三 用切片法(先重后单)
z2dv z2dv z2dv
1
R• 2
Dz1
1
R R
z
2dz
dxdy
2
Dz1
R 2
o
y
2 z2dz dxdy x
0
Dz 2
Dz1 : x2 y2 (R2 z2 )
R,0 ,0 2
2Rcos , 3 ,0
3
2
2
16
z
解法一 用球面坐标
1
z2dv
R R
• •
2
3
z2dv z2dv
2 o
y
1
2
x
2
d
3 d
R r 2 cos2 r 2 sindr
0
0
0
2
d
0
2
d
2Rcos r 2 cos2 r 2 sindr
0
3
59 R5。
480
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z
解法二 用柱面坐标系
1
z2dv
RR
• •
2
d
3R
2 rdr
R2 r 2 z 2dz
0
0
R R2 r2
2
2 o
y
2
3R 2
r
1
[(
0
3
R2 r2 )3 (R
x
R2 r 2 )3 ]dr
y
(令r Rsint,dr Rcostdt)
Dxy
59 R5
第八章 重积分
8.3 重积分的计算
8.3.4 球面坐标系下的三重积分的计算法
一、球面坐标
z
设M ( x, y, z)为空间内一 点, 则点M 也可用这样三个
有次序的数r, ,来确定。
M(r,,) • M(x,y,z)
r
o
x
z
y
x y P(x,y,0)
1
r为原点到M间的距离。
z
为有向线段OM与z轴
正向所夹的角。
2
0
0
a
2
2 sin3 d
b r 4dr
0
a
4 (b5 a5 )。
15
15
例6 求三重积分 z2dv
z
: x2 y2 z2 R2与x2 y2
z2 2Rz 所围的公共部分。
R• R• 2
1
3
解 先求两曲面的交线方程
o
y
x
2
y2
3 4
R2
x
2
z
R 2
1 2
:0 :0
r r
0
0
0
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例如，半径为R的球体的体积
V
dv
2
d
d
R r 2 sindr
0
0
0
2 2 R3 4 R3。
33
8
例4 将 f (x, y, z)dv化为球面坐标系下的
三次积分形式, 其中 为 : (1) : x2 y2 (z R)2 R2
(2) : z R2 x2 y2，z x2 y2所围立体
成的空间区域。
: 0 r R,0 ,0 2
I
2
d
2 d
R
r
2
2 sin2
r
2
x
sindr
o
0
0
0
y
2
2 sin3 d
R r 4dr
4 R5
0
Байду номын сангаас
0
15
13
(2)
x2 y2 z2 dv, : x2 y2 z2 z
解
:
0
r
cos
,
0
2
,
0
2
z
x2 y2 z2dv