D14函数讲义的极限复习版

例5. 求
解: 令 t x , 则
lim (1
t
1t )t
lim 1
t
说明
：若利用
lim (1
( x)
(1x ) )
(
x)
e,
则
原式
lim
x
(1
1 x
)
x
1
e1
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例6. 求
解:
原式
=
lim [(sin
x
1 x
cos
1 x
)2
x
]2
x
lim (1
x
sin
的图形的水平渐近线.
二、自变量趋向有限值时函数的极限
定义2. 0, 0, 当 0 x x0 时, 有 f (x) A
那么
lim f (x) A 或
xx0
定义3-4. 左（右）极限 ！
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左极限 :
f
(x0 )
lim
xx0
f
(x)
A
0, 0, 当 x ( x0 , x0 )
例3. 求
解: 令 t arcsin x, 则 x sin t , 因此
原式 lim t t0 sin t
sin t 1
t
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例4. 求
解:
原式 =
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
1 2
lim
x0
sin
x 2
x 2
2
1 2
12
说明: 计算可利用
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性质 5：复合函数的极限。见定理 1.16
例如：f(x) = sin sin sin x, 当 x 趋于0.
性质 6：函数极限与数列极限的关系.见定理 1.17
例如：f(n) = sin 1/n, 当n 趋于无穷！
Question：如何判断函数的极限不存在？？？ 方法：运用2个推论（见书 p45）
sin x x tan x
(0
x
2
)
cos x sin x 1 x
(0
x
2
)
注
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2.
证: 当 x 0 时, 设 n x n 1, 则
(1
n11)n
(1
1x ) x
(1
1 n
)n1
lim (1
n
n11)n
lim
n
(1 n11)n1 e
1
1 n1
lim (1
1、函数极限与数列极限的关系 及夹逼准则
2、二个重要极限
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1. 函数极限存在的两边夹（夹逼）准则 （见定理 1.18与定理 1.19）
定理. 当 x (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
( x X 0)
lim g(x) lim h(x) A
2 x
)
2
1
(1
sin
2 x
sin
)
2 x
e
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判别法 2： 柯西收敛准则！见 定理 1.20 （自学）
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THANKS
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二、函数收敛的性质 类似数列极限的性质有： 性质1：极限惟一性。见定理 1.12 性质2：局部有界性。见定理 1.13 性质3：局部保序性。见定理 1.14
推论1：逆否命题 推论2：g(x) 为常数函数。
性质4：极限均存在，可四则运算。见定理 1.15
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精品
D14函数的极限复习版
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
定义1 . 0, X 0,
则
lim f (x) A
x
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例1. 证明 lim 1 0. x x
注:
y
y
1
x
ox
例2 证明 lim sin x 0. x x
y sin x x
定义 : 如果 lim f ( x) c,则直线 y c是函数y f ( x) x
时, 有
右极限 :
f
(x0 )
lim
xx0
f
(x)
A
0, 0, 当 x ( x0 , x0 )
时, 有
结论：
lim f (x) A
xx0
lim f (x) lim f (x) A
xx0
xx0 ( P38 题8 )
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例3. 证明 例4. 证明 例5. 证明 例6. 证明: 当
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法1 找一个数列 xn: xn x0 , 且 xn x0 ( n )
使
lim
n
f
(xn
)不存在
.
法2 找两个趋于 x0 的不同数列 xn及 xn , 使
lim
n
f
(xn )
lim
n
f
(xn )
例题可见：书上例 13。
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三、极限存在准则及两个重要极限第一章
x x0 (x )
x x0 (x )
lim f (x) A
(
x x
x0 )
( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )
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二、 两个重要极限
证:
当
x
(
0,
2
)
时，
BD
1
x
oC
A
△AOB 的面积＜ 圆扇形AOB的面积＜△AOD的面积
即
1 2
sin
x
1 2
tan
x
亦故即有 显然有
n
1 n
)
n1
lim [(1
n
1 n
)n（1
1n）]
e
lim (1
x
1 x
)
x
e
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2. 两个重要极限
或 注: 代表相同的表达式
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例2. 求
解:
limx
x
1 cos
x
lim sin x lim 1 1 x0 x x0 cos x