空间点线面之间的位置关系教案

空间点、直线、平面之间的位置关系

考情分析

1．本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．

2．有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题．

3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．基础知识

1．平面的基本性质

(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．

(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．

推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

2．直线与直线的位置关系

(1)位置关系的分类

(2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a，b所成的角(或夹角)．

②范围：.

3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．

4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

5．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

注意事项

1异面直线的判定方法：

(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．

(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．

2. (1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．

(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．

(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．题型一平面的基本性质

【例1】正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是()．

A．三角形B．四边形C．五边形 D．六边形

解析

如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR 交BB1于E，连接PE、RE为截面的部分外形．

同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.

∴截面为六边形PQFGRE.

答案D

【变式1】下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．

解析

在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形．

答案①②③

题型二异面直线

【例2】4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一

定()

A．与a，b都相交

B．只能与a，b中的一条相交

C．至少与a，b中的一条相交

D．与a，b都平行

解析：若c与a、b都不相交，则c与a、b都平行．根据公理4，则a∥b.与a、b异面矛盾．

答案：C

【训练2】在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．

解析如题干图(1)中，直线GH∥MN；

图(2)中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；

图(3)中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；

图(4)中，G、M、N共面，但H∉面GMN，

∴GH与MN异面．所以图(2)、(4)中GH与MN异面．

答案(2)(4)

题型三异面直线所成的角

【例3】如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD

沿对角线BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD

内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所

成角的大小为________．

解析：如题图所示，

由A′O⊥平面ABCD，

可得平面A′BC⊥平面ABCD，

又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，DC⊥A′B，

即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.

【变式3】A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．

(1)求证：直线EF与BD是异面直线；

(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．

(1)证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．

(2)解

如图，取CD的中点G，连接EG、FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG 所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．

在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.

题型四点共线、点共面、线共点的证明

【例4】►正方体

ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点．求证：

(1)E、C、D1、F四点共面；

(2)CE、D1F、DA三线共点．

证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.

∵E、F分别是AB、AA1的中点，