立体几何初步总结(必修2)

立体几何初步总结

一、知识结构

2 1

()31.2.:3.:V h S S S S =+⋅+⎧⎧⎪⎪⎨⎪

⎪⎪⎩⎪

⎧⎪

⎪⎪→⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪→⎪⎪⎪⎩

2多面体：棱柱、棱锥、棱台

旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球组合体：由简单几何体组合而成

中心投影与平行投影三视图：正视图；侧视图；俯视图

直观图：原图面积：直观图面积＝空间几何体的结构：

立空间几何体三视图和直观图体

几表面积和体积何初步

点线面位置关 4.⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪

⎪⎪

⎧⎪

⎪⎪⎪⎪→⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩

1.平面的性质：公理体系；位置关系

2.直线与平面：平行与垂直的判定与性质

系 3.平面与平面：平行与垂直的判定与性质距离的求法；角度的求法 二、基础知识精要Ⅰ （一）空间几何体的结构

2、{}{}

{}

{}{}{}{}⊃

⊃⊃⊃⊃平行六面体四棱柱直平行六面体长方体正四棱柱正方体直四棱柱

3、定理：平行棱锥底面的截面将棱锥截得的上下两个棱锥的

（1）S S S S '

截侧侧底＝＝相似比的平方；（2）V V 截

底

＝相似比的立方 两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，求圆锥分成的三部分的侧面积之比、三部分的体积之比.

4、

⎧⎧⎧⎪⎨

⎪⎨

⎩⎪⎪⎪

⎩⎪

⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪

⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪

⎪⎩

正棱柱

直棱柱棱柱斜棱柱正棱锥1、多面体棱锥正棱台棱台D C B

A

C'

D'

E'

F'

A'

B'

O

F D

C

B A

C'

D'

E'

F'

A'

B'

O

O'

F ⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪⎩

圆柱——侧面展开图是矩形圆锥——侧面展开图是扇形

旋转体圆台——侧面展开图是扇环球——

h

A

5、柱锥台之间的关系 （二）、三视图和直观图

1．中心投影：光由一点向外散射形成的投影。其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形.

2．平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影. 分正投影、斜投影.

3．三视图：正视图（前面向后面正投影）、侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）

4．直观图：（表示空间图形的平面图）观察者站在某一点观察几何体，画出的图形。把空间图形画在平面内，画得既富有立体感，又能表达出

图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形

定理：平面图形的2

2原图面积：直观图面积＝

题型：（1）已知直观图画出三视图 （2）已知三视图画出直观图

（三）、表面积与体积

22

22

12122(::22)S cl S c l h rh r rl r

r r l r r πππππππ=++++直棱柱表底圆柱表圆锥表圆台表＝＋底面周长；侧棱长：高）S ＝S ＝S ＝（＋

O Q

P

O'

O Q

P

O'

侧面展开图扇形中心角为0360r l θ=⨯

侧面展开图扇环中心角为0360R r

l

θ-=⨯

基础知识精要Ⅱ（点、直线、平面之间的位置关系）

1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。

2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念；

会求简单的异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法或用判定定理（补充） 3.直线与平面

①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。

②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。 ③直线与平面垂直的证明

④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是[00.900]

⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线. 4.平面与平面

(1)位置关系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况） (2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。

(3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直，一般是依据性

质定理，可以证明线面垂直。

*(4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→⎩⎨

⎧体积法

直接法

(5)二面角。二面角的平面角的作法及求法：

①定义法：一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形； ②三垂线法：一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。 ③射影面积法： S ′=S cos θ

三．主要思想与方法：

1．计算问题：计算步骤：一作、二证、三算 （1）空间角

异面直线所成的角 范围：0°＜θ≤90° 方法：①平移法；②补形法. 直线与平面所成的角 范围：0°≤θ≤90° 方法：关键是作垂线，找射影. 二面角——方法：①定义法；②三垂线定理法；③垂面法；④射影面积法： （2）空间距离——①两点之间的距离.②点到直线的距离.③点到平面的距离. ④两条平行线间的距离.⑤两条异面直线间的距离.⑥直线与平面之间的距离.⑦平行平面间距离

七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.

2．平面图形的翻折，要注意翻折．．

前后的长度、角度、位置的变化，翻折前后在同一个三

角形中的角度、长度不变

3．在解答立体几何的有关问题时，应注意使用转化的思想：

①利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥的问题转化成平面图形

去解决.