(完整版)高等数学中有理分式定积分解法总结

由十个例题掌握有理分式定积解法
【摘要】 当被积函数为两多项式的商
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P x Q x 的有理函数时，解法各种各样、不易掌握，在此由易到难将其解法进行整理、总结
【关键词】 有理分式 真分式 假分式 多项式除法 拆项法 凑微分法 定积分
两个多项式的商
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P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间无公因式，当分子多项式()P x 的次数小与分母多项式()Q x ，称有理式为真分式，否则称为假分式.
1.对于假分式的积分：利用多项式除法，总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式.
例1.2 422
23
1
x x dx x +++⎰ ()222
22131
x x x dx x ++-=+⎰
解 原式
2
2
2212311
x x dx dx dx x x =+-++⎰⎰⎰
3
24arctan 3
x x x C =
+-+ ()42
2222
2
22
222223321.11
311
31
13111
31
arctan x x dx
x x x x dx x x x dx dx
x x dx dx
x x dx dx dx
x x x x C +++-=+=-+⎛
⎫=-- ⎪+⎝⎭
=-++=--+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例 解 原式
总结：解被积函数为假分式的有理函数时，用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分.对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度，例如：
2221111x dx dx x x ⎛
⎫=-
⎪++⎝⎭
⎰⎰ 对于真分式
()
()
P x Q x ，若分母可分解为两个多项式乘积()Q x =()()12Q x Q x ，且()1Q x ，()2Q x 无公因式，则可拆分成两个真分式之和：
()()P x Q x ()()()()
1
212P x P x Q x Q x =+，上述过程称为
把真分式化为两个部分分式之和.若()1Q x 或()2Q x 再分解为两个没有公因式的多项式乘积，则最后有理函数分解式中出现多项式、()
()
1k
P x x a -、
()
()
22
l
P x x
px q ++等三类函数，则多项
式的积分容易求的
2.先举例，有类型一、类型二、类型三，以此为基础求解较复杂的真分式积分
2.1 类型一 ()m
k
ax b dx cx +⎰ 例2.1.1
()
3
2
1x dx x -⎰
322
331
=x x x dx x -+-⎰解 原式
211
=33xdx dx dx dx x x
-+-⎰⎰⎰⎰
211
=332x x In x C x
-+++
总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式，将其进行化简，使被积函数为简单幂函数，
然后利用常见积分公式进行运算
2.2 类型二 ()
k
m
cx dx ax b +⎰
例2.2.1
()2
3
2x dx x +⎰
解 令x+2=t ,则2x t =-，∴有dx dt =
()
()
2
3
23
2322
2=44
=1
11=44t
42
=Int+4
2n 222t dx
t
t t dt t
dt dt dt t t t t
x C x x --+-+++-+++⎰
⎰⎰⎰⎰ 原式 -+C
=I
总结：当被积函数形如时()
k
m
cx dx ax b +⎰，将其用换元法转换为()m
k
ax b dx cx
+⎰，再按照后者解法求解
2.3 类型三
()
()
2
x l
P dx ax
bx c ++⎰
()
()()
()3
2
2
3
2
2
23
22
322
312222x =dt
11x-1dt 1+tan =dt
set tan 3tan 3tan 1
=dt set =sin cos 3sin cos 3sin cos dt x dx
x
x x t t t t
t t t t
t t t t t t --+⎡⎤-+⎣⎦
++++++⎰⎰
⎰
⎰⎰ 例2.3.1 原式 设 =tant,x=tant+1,dx=set 上式 set ()()
()222223
=-1cos costd cos +
sin 2dt dt cos 2dt 41
cos 2
1122=222arctan 1224422
t t t t t x In x x x C
x x x x -+-∴-∴-+++-++-+-+⎰⎰
⎰⎰Q =-In +cos t+2t+2sintcost
tant=x-1, 上式
()()(
)()()2222
222221
dx
23
1
2222 = dx 23111 = d 23-2d 223121 = In 23+C 2+bx+c +c +1l
x x x x x x x x x x x x x x ax bx x -+++-+++++++++++⎰
⎰⎰⎰例2.3.2 总结：当被积函数分母含有ax 时，可以用凑微分法进行积分；对于形如时，
可将其变形为T 或者()()2222221-T x ,sin cos +tan set .
x 是然后利用三角函数恒等变形x+x=1和1x=x 将T 降次，便于计算
3. 以前面的几种简单类型为基础，现在来讨论较为复杂的有理真分式的积分
()()()()()()
2
22222
22+3
dx 3102+3
dx
310
1
=d 310310=In 3102+3
dx 3102+32+3=310+52525211
5252=x x x x x x x x x x x x x x x x x A B
x x x x x x A B x B A x x x x +-+-+-+-+-+-+--+-++-=++-+-∴⎰
⎰⎰⎰
例3.1 解法1 +C 解法2 =+
=
原式21
1dx
52310x x x x ⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭+-⎰ =In +C
总结：假分式分母可以因式分解，将被积函数化为部分分式之和的形式，然后用基本积分公
式进行运算.
例3.2 ()()2
2
dx 211x x x x ++++⎰
()()()(
)22
2
2
222=dx
2111121122=21211
1111121d 12121213
241121122x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫
- ⎪+++⎝⎭
+-+++++-++++++⎛⎫++ ⎪⎝
⎭⎛
⎫++++ ⎪⎝
⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式 d -dx =d dx =In -In +C
总结：遇到被积函数是复杂的有理函数，用拆分法将其分解为自己熟悉的函数，灵活变换. 例3.3 ()()23
dx 11x x x ---⎰
()()
()()()
2
222223
=d 112
1d 21112211
2d d 2111111d 21d d 2211111
11
x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x In
C x x --+-⎛⎫=- ⎪-++⎝⎭⎛⎫
-- ⎪=- ⎪-++ ⎪
⎝⎭=-+---++--=+++-⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 总结：此题能够得出一个重要结论，分母因式分解要求为各个因式之间无公约数，以此为标准进行因式分解，拆项
除此之外，常见的还有，可化为有理函数的积分.例如利用三角函数的万能公式，将被积函数中含有三角函数的分式函数，例：
()1+sin sin 1cos x
dx x x +⎰.例如被积函数中含
有
时用换元法将根号去掉，例：x
，. 虽然形式
各种各样,但只要熟练掌握以上各种类型的积分，那么在被积函数为有理分式函数时应对起来应当是信手拈来，甚是轻松。