工程力学静力学与材料力学圆轴扭转

Mx
第6章 圆轴扭转
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
如果只在轴的两个端截面作用有外力偶矩，则沿轴线方向所有横截面上的扭 矩都是相同的，都等于作用在轴上的外力偶矩。
当在轴的长度方向上有两个以上的外力偶矩作用时，轴各段横截面上的扭矩 将是不相等的，这时需用截面法确定各段横截面上的扭矩。
扭矩沿杆轴线方向变化的图形，称为扭矩图(diagram of torsion moment)。 绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似。
变形协调方程
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
若将圆轴用同轴柱面分割成许多半径不等的圆柱，根据上述结论，在dx长度 上，虽然所有圆柱的两端面均转过相同的角度d，但半径不等的圆柱上产生的 剪应变各不相同，半径越小者剪应变越小。
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
工程力学静力学与材料力学圆轴扭转
清华大学 范钦珊
范钦珊教育与教学工作室 工程力学(静力学与材料力学）
课堂教学软件(6)
четверг, 21 января 2021 г.
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工程力学（静力学与材料力学） 第二篇 材料力学
第6章 圆轴扭转
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第6章 圆轴扭转
杆的两端承受大小相等、方向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两个力偶， 杆的任意两横截面将绕轴线相对转动，这种受力与变形形式称为扭转（torsion）。 本章主要分析圆轴扭转时横截面上的剪应力以及两相邻横截面的相对扭转角，同 时介绍圆轴扭转时的强度与刚度设计方法。
Me 7024nP[r[马 /m 力 in]] [Nm]
第6章 圆轴扭转
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力——扭矩，圆轴两 端受外加扭力矩Me作用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截 面中心的合力矩,称为扭矩（twist moment），用Mx表示。
第6章 圆轴扭转 y
剪应力互等定理 剪切胡克定律
dy
dz dx
z
哪微怎些元样力能才互不能相能平平平衡衡衡？？？ x
第6章 圆轴扭转 y
剪应力互等定理 剪切胡克定律 怎样才能平衡？
dy
dz dx
z
根据力偶平衡理论
dydzdxdxdzdy
x
第6章 圆轴扭转
剪应力互等定理 剪切胡克定律
y
dy
第6章 圆轴扭转 例题 1
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各力偶的力偶矩的大小和方向均示于 图中，其中力偶矩的单位为N.m，尺寸单位为mm。
试 ：画出圆轴的扭矩图。
第6章 圆轴扭转
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
解：1．确定控制面
外加力偶处截面A、B、C 、D均为控制面。
2．应用截面法，由平衡方程
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
确定横截面上剪应力 的方法与过程
变形
平面假定
应变分布
物性关系
应力分布 静力方程 应力公式
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
平面假定 变形协调方程 物性关系——剪切胡克定律 静力学方程 圆轴扭转时横截面上的剪应力表达式
设到轴线任意远处的剪应变为（），则从图中可得到如下几何关系：
d
dx
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
物性关系——剪切胡克定律
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
剪切胡克定律
G
O
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
G
第6章 圆轴扭转
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
作用于构件的外扭矩与机器的转速、功率有关。在传动轴计算中，通常给出传 动功率P和转递n，则传动轴所受的外加扭力矩Me可用下式计算：
Me
9549P n
[Nm]
其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为转/分（r/min）。 如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 N•m/s），则
对于变截面圆轴，如阶梯轴，最大剪应力不一定发生在扭矩最大的截面，这 时需要根据扭矩Mx和相应扭转截面模量WP的数值综合考虑才能确定。
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
例题2
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大切应力不 得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 = 0.5。二轴长度相同。 求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2； 确定二轴的重量之比。
max
Mx,max Wp
[ ]
这一关系式称为受扭圆轴的强度设计准则，或称圆轴扭转的强度条件。
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
受扭圆轴的强度设计准则
max
Mx,max Wp
[ ]
[ ]为许用剪应力；
max 是指圆轴所有横截面上最大剪应力中的最大者，对于等截面圆轴，最大 剪应力发生在扭矩最大的横截面上的边缘各点；
n1=n2= 120r/min
n3＝ n1zz1 3＝ 1201326r/m＝ i3n60r/min
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
3
解：计算各轴的扭矩 Mx1=T1=1114 N.m Mx2=T2=557 N.m Mx3=T3=185.7 N.m
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
实心轴
解：首先根据轴所传递的功率计算作用在 轴上的扭矩
M x T 9 5 4 9 P n 9 5 4 9 1 7 0 .5 0 7 1 6 .2 N m
max1W MPx1 16πdM 13x 40MPa
d13π 1 6 40 71 6 1.0 26 0.045m =45m m
实心轴 空心轴
d1=45 mm D2＝46 mm
d2＝23 mm
解：确定实心轴与空心轴的重量之比
在长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：
A 1
d2 1
4 5 1 3 0 2 1 ＝ 1 .28
A 2 D 2 212 4 6 1 3 0 10 .52
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
对于直径为 d 的实心圆截面
IP
πd4 , 32
WP π1d63
对于内、外直径分别为d 和 D 的圆环截面
IP π D 4 3 1 － 2 4, W P π D 3 1 1 － 6 4 = d / D
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
受扭圆轴的强度设计准则
与抗压杆的强度设计相似，为了保证圆轴扭转时安全可靠地工作，必须将圆 轴横截面上的最大剪应力max限制在一定的数值以下，即：
当在弹性范围内加载时，剪应力与剪应 变成正比:
G
这种线性关系称为剪切胡克定律。比例常数G 称为材料的切变模量。
O
第6章 圆轴扭转
圆轴扭转时横截面上的 剪应力分析与强度设计
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第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
应用平衡方法可以确定圆杆扭转时横截面上的内力分量——扭矩，但是不能确 定横截面上各点剪应力的大小。为了确定横截面上各点的剪应力，在确定了扭矩 后，还必须知道横截面上的剪应力是怎样分布的。
d
dx
G Gd
dx
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
G Gd
dx
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
静力学方程
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
AdA＝M x
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
M x
IP
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
M x
IP
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
最大剪应力
maxMxIPmaxW MPx
WP
IP max
Wp—— 扭转截面模量。
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
截面的极惯性矩与扭转截面模量
连接汽轮机和发电机的传 动轴将产生扭转。
第6章 圆轴扭转
工程中承受扭转的圆轴
第6章 圆轴扭转
工程中承受扭转的圆轴
第6章 圆轴扭转
工程中承受扭转的圆轴
第6章 圆轴扭转
工程中承受扭转的圆轴
第6章 圆轴扭转
工程中承受扭转的圆轴
请判断轴受哪些力？将发生什么变 形？
第6章 圆轴扭转 外加扭力矩、扭矩与扭矩图 返回
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
解：对于空心轴，则有
max2W M Px2πD1 2361M x4 40MPa
算得
D 23π1-164 7 1460.2 1060.046m =46m m
d2＝0.5D2=23 mm
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
Mx 0
确定各段圆轴内的扭矩 。
第6章 圆轴扭转
Байду номын сангаас
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
3 ． 建 立 Mx － x 坐 标 系 ， 画 出 扭矩图
建 立 Mx － x 坐 标 系 ， 其 中 x 轴 平 行 于 圆 轴 的 轴 线 ， Mx 轴 垂 直 于 圆轴的轴线。将所求得的各段的扭 矩值，标在Mx－x坐标系中，得到 相应的点，过这些点作x轴的平行 线，即得到所需要的扭矩图。
第6章 圆轴扭转
工程中承受扭转的圆轴 外加扭力矩、扭矩与扭矩图 剪应力互等定理 剪切胡克定律 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析 与强度设计
圆杆扭转时的变形及刚度条件 结论与讨论
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第6章 圆轴扭转 工程中承受扭转的圆轴 返回
第6章 圆轴扭转
工程中承受扭转的圆轴
请判断哪一杆件 将发生扭转？ 当两只手用力相等时，拧紧螺母 的工具杆将产生扭转。
AdAMx
d M x
dx GI P
G Gd
dx
IP
2dA
A
式中 GIP—扭转刚度； IP—横截面的极惯性矩。
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
圆轴扭转时横截面上的 剪应力表达式
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
G Gd
dx
d M x
dx GI P
dx z
剪应力成对定理
在两个互相垂直的平面上，剪应力
必然成对存在，且数值相等，两者都垂
直于两个平面的交线，方向则共同指向
或共同背离这一交线，这就是剪应力成
对 定 理 （ pairing principle of shear
x stresses）。
dz
第6章 圆轴扭转
剪应力互等定理 剪切胡克定律
剪切胡克定律
例题3
3
已知：P1＝14kW, n1= n2= 120 r/min, z1=36, z3=12; d1=70mm, d 2 =50mm, d3=35mm.
求: 各轴横截面上的最大切应力。
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
3
解：计算各轴的功率与转速
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
平面假定
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
假定：圆轴受扭发生变形后，其横截面依然保持平面，两相邻横截面刚性地相 互转过一角度。这一假定称为平面假定。
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
第6章 圆轴扭转 圆轴扭转时横截面上的剪应力分析与强度设计
第6章 圆轴扭转 剪应力互等定理 剪切胡克定律 返回
第6章 圆轴扭转
剪应力互等定理 剪切胡克定律
考察承受剪应力作用的微元体，假设作 用在微元左、右面上的剪应力为 ，这两个面 上的剪应力与其作用面积的乘积，形成一对 力，二者组成一力偶。
为了平衡这一力偶，微元的上、下面上 必然存在剪应力ˊ，二者与其作用面积相乘 后形成一对力，组成另一力偶。为保持微元 的平衡，这两个力偶的力偶矩必须大小相等 ，方向相反。
第6章 圆轴扭转
工程中承受扭转的圆轴
请判断哪一杆件 将发生扭转？ 拧紧螺母的工具杆不仅产生 扭转，而且产生剪切。
第6章 圆轴扭转
工程中承受扭转的圆轴
请判断哪些零件 将发生扭转？
传动轴
传动轴 将产生扭转
第6章 圆轴扭转
工程中承受扭转的圆轴
第6章 圆轴扭转
工程中承受扭转的圆轴
请判断哪一杆件 将发生扭转？
Me
Me
Me
Mx
Mx
n
+
第6章 圆轴扭转
外加扭力矩、扭矩与扭矩图
外加扭力矩Me确定后，应用截面法可以确定横截面上的内力——扭矩，圆轴两 端受外加扭力矩Me作用时，横截面上将产生分布剪应力，这些剪应力将组成对横截 面中心的合力矩,称为扭矩（twist moment），用Mx表示。
Me
Me
Me
Mx
n
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