材料力学课件第八章弯曲变形

ql 2
FRA
l
FRB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
M ( x)
ql q x x2 2 2
EIw
ql 2 q 3 x x C 4 6
ql q 2 EIw x x 2 2
ql 3 q 4 EIw x x Cx D 12 24
第八章
边界条件x=0 和 x=l时,
M
M
M 0 w 0
w 0 M 0
w
M
因此,
M
x
w与 M 的正负号相同
O
M 0 w 0
x
w 0 M 0
O
第八章
8.2 挠曲线的微分方程 推导公式
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
弯曲变形
M EI
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
弯曲变形
q A
w0
x
wmax
A
B
B
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
q (6lx 2 4 x 3 l 3 ) 24 EI
l
qx w (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
最大转角和最大挠度分别为
FRA
FRB
在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
max
C2 0
Fx 2 EIw Flx 2
EIw Flx Fx 2 6
2
3
第八章
y A
弯曲变形
F
B x
wmax
l
max
max
max
wmax
和 wmax 都发生在自由端截面处
Fl 2 Fl 2 Fl 2 |xl （ EI 2 EI 2 EI
第八章
弯曲变形
在简支梁中, 左右两铰支座处的
挠度 w A 和 w B 都等于0.
A
B
wA 0
在悬臂梁中,固定端处的挠度 w A 和转角 A 都应等于0.
A
wB 0
BHale Waihona Puke Baidu
wA 0
A 0
第八章
弯曲变形
[例1]图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F 作 用.试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度wmax和最 大转角 max 。 w
w 2 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
M ( x) w" EI
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程 近似原因 : （1）略去了剪力的影响; （2）略去了 w2 项; （3） tan w w( x )
第八章
8.3 用积分法求挠度和转角
1.微分方程的积分
弯曲变形
C C'
挠曲线
B
x
w挠度
转角

B
第八章
（5）挠度和转角符号的规定 挠度向上为正,向下为负.
弯曲变形
转角自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负. w
A C B x
挠曲线
C'
w挠度

转角
B
第八章
弯曲变形
w
在规定的坐标系中,x 轴水平向右 为正, w轴竖直向上为正. 曲线向下凸时: 曲线向上凸时:
M ( x) w EI
若为等截面直梁, 其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成
EIw M ( x )
第八章
（1）积分一次得转角方程
弯曲变形
EIw M ( x )dx C1
（2）再积分一次,得挠度方程
EIw M ( x )dxdx C1 x C 2
2.积分常数的确定 （1）边界条件 （2）连续条件
第八章
8.1 概述
1.工程中的弯曲变形问题
弯曲变形
第八章
弯曲变形
厂房行车
第八章
弯曲变形
摇臂钻床
第八章
弯曲变形
梁除了要有足够的强度之外还必须有足够的刚度，即在受 载后不至于发生过大的弯曲变形，否则构件将无法正常工作。
第八章
以满足特定的工作需要.
弯曲变形
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变形,
Pl 3 w |xl 3 EI
）
（
）
第八章
弯曲变形
[例2]图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为q 的 均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其 max 和 wmax 。
q A l B
第八章
解:由对称性可知,梁的两个支 反力为
弯曲变形
q
A x B
FRA FRB
2 3
(4)
第八章
Fx 2 EIw Flx C1 (3) 2
弯曲变形
EIw Flx Fx C 1x C 2 2 6
边界条件
2
3
(4)
x 0, x 0,
w0 w 0
将边界条件代入（3）（4）两式中,可得 梁的转角方程和挠曲线方程分别为
C1 0
ql 3 A B 24 EI
在梁跨中点处有最大挠度值
wmax w
x
l 2
5ql 4 384 EI
第八章
弯曲变形
[例3]图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中力F的 作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大 转角. F
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
到的冲击和振动作用.
F 2
F 2
F
第八章
2.弯曲变形 （1）挠度
弯曲变形
横截面形心 C （即轴线上的点）在垂直于 x 轴方向的线位移, 称为该截面的挠度.用w表示.
w A C B x w挠度 C'
B'
第八章
（2）转角
弯曲变形
横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角. 用 表示。 w
1
1 M ( x) ( x) EI
第八章
2.由数学得到平面曲线的曲率
弯曲变形
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w ) | w | (1 w )
2 3 2

M ( x) EI
第八章
w (1 w )
2 3 2
弯曲变形
M ( x) EI
A C' C B x w挠度（

转角
B
第八章
（3）挠曲线 挠曲线方程为
弯曲变形
梁变形后的轴线称为挠曲线 .
w f ( x)
式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度. w
A C B x
C'
挠曲线
w挠度（

B
转角
第八章
（4）挠度与转角的关系
弯曲变形
w
A
tan w ' w '( x )
A
F
B x
l
第八章
解：（1） 弯矩方程为
M ( x ) F (l x ) (1)
弯曲变形
w
F
A
x
B
x
（2） 挠曲线的近似微分方程为
EIw M ( x ) Fl Fx (2)
对挠曲线近似微分方程进行积分
l
Fx 2 EIw Flx C1 (3) 2
Flx Fx EIw C 1x C 2 2 6