数学建模系泊系统的设计

系泊系统的设计

摘 要

近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成，其中系泊系统由钢管、钢桶、重物球及锚链共同组成。此种系泊系统承受风、浪、流的作用及锚链的作用力，运动特性十分复杂。因此，针对海洋环境中水声通讯系统的要求，分析风浪中浮标的动力问题并设计出既安全又经济的系泊系统，对保证水声通讯系统的工作效果来说意义重大。

本文运用了两种方法对锚链进行了受力分析，首先对单一材质的锚链进行分析，从而得出了经典悬链方程，对不同段不同材质的锚链进行分段受力分析，得出了不同段不同材质的悬链方程，该方程的得出极大的方便了计算浮标锚泊系统的初始状态，为动力分析奠定基础；其次利用牛顿法对锚链受力问题进行了数值求解，得到当海面风速为12/m s 加大到24/m s 时，每节钢管的倾斜角度也随之变大，浮标的吃水深度也不断增大，浮标的游动区域增加的更为明显。当风速加大为36/m s 时，钢桶的倾斜角已超过5度，为使钢桶倾斜角小于5度，须将重物球的质量增加至1783kg 。

再考虑风力、水流力、潮汐（波浪）等动力因素时，可以将问题进行简化，即直接考虑在水深18m 的情况下由于波浪的作用（准确的说是2m 波浪的作用），可使整个浮标漂浮于水面上（20m 情形），也可使整个浮标沉于水面下（16m 情形）。最后通过对浮标的受力分析，可得到浮标的动力控制方程，采用数值方法，可以得到在风速为36/m s ，水流速度为1.5/m s 时，倾斜角、吃水深度的数值解。

关键词： 浮标；系统；设计；动力分析

一．问题重述

近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm 的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。

问题1某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

问题2在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。

问题3 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。

二．模型假设与符号说明

1.模型的假设

由于浮标在海洋受海风、气流、海浪等的作用，气象及水文条件多变，在此，我们对整个问题作适当假设，在下文中，当涉及到具体问题时，我们将有针对性地给出必要的补充。

（1）锚链重力远远大于锚链所受到的流体作用力；

（2）海床平坦，无凹凸不平情况；

（3）浮标始终是垂直于海平面的，无倾斜或跌倒现象；

（4）海面风速均匀、恒定，且风向始终平行于海平面；

（5）海水流速均匀（流速与水深无关），且方向恒定（海流无垂直分量）；

（6）锚链在整个过程中是不可弹性形变。

三．模型的分析与建立

在海上，系泊系统中的钢管、钢桶、重物球、电焊锚链这多种介质相互耦合作用，这属于复杂的多介质耦合问题，其动力受风荷载、锚泊系统、吊物系统间强耦合的影响，锚链整体具有很强的非线性特性：1.锚链在外力作用下会产生较大的变形；2.作用在锚链上的非线性流体阻力是运动微分方程的重要组成部分。

根据（二）中给出的假设，此问题可以看做水平系泊模态（图1），水平系泊模态又称悬链线模态。随着锚泊系统应用的日趋深水水域，由于传统材质的锚链会随着水深的增加导致其自重增加与水平刚度减小，因而其锚泊的有效性下降，进而影响传输信号的质量，因此可以考虑分段由不同材料制作的锚链。我们先讨论质地均匀锚链的一般悬链线方程，再根据结果讨论将锚链分为每段材质不同的若干段时的悬链线方程。

（一）均质锚链的一般悬链线方程

首先我们将锚和钢桶之间所连的锚链看成一般悬链线问题（图1），在不考虑锚链的三维变形的情况下，对作用于锚链某一微元上的外力分析如图2所示。当作用于锚链元上的各力达到平衡时，有下列关系式：

在锚链元的切线方向上

()cos sin 0T dT d T ds Fds θωθ+--+= （1）

在法线方向上

()sin cos 0T dT d ds Dds θωθ+--= （2）

图1 传输节点示意图 图2 缆索元上的作用力

其中T 为锚链张力，θ为锚链与水流方向的夹角，称为锚索角，ω为单位长度锚链水中质量，即锚链的空气自重扣除浮力；近海风荷载（风力）可用20.625F Sv =⨯（N ），近海水流力2374D Sv =⨯（N ）计算。

当d θ极小时，sin ,cos 1d d d θθθ≈≈，则可将（1）和（2）式化为：

sin dT F ds

ωθ=-， []1cos d D ds T

θωθ=+， 在忽略流体作用力的情况下可化为： sin dT ds

ωθ=， （3） 1cos d ds T

θωθ=， 从而有

tan dT d T

θθ= ， 进行积分处理可得 00

ln tan T d T θθθθ=⎰ ， 即： 00cos cos T T θθ

= ， （4） 其中0T 为锚链在锚索角为0θ 处的张力，由上述分析知它等于水面处的锚链水平张力h T 。[]1