概率论与数理统计公式 小抄必备

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概率论和数理统计公式集锦

一、随机事件与概率

公式名称 公式表达式

德摩根公式 B A B A =，B A B A =

古典概型 ()m A P A n ==包含的基本事件数

基本事件总数

几何概型

()

()()

A P A μμ=

Ω，其中μ为几何度量（长度、面积、体积）

求逆公式 )(1)(A P A P -=

加法公式 P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)

当P(AB)＝0时，P(A ∪B)=P(A)+P(B)

减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)，B A ⊂时P(A-B)=P(A)-P(B) 条件概率公式 与乘法公式

)

()

()(A P AB P A B P =

()()()()()P AB P A

P B A P B P A B ==

()()()()P ABC P A P B A P C AB = 全概率公式

1()()()n

i i i P A P B P A B ==∑

贝叶斯公式 （逆概率公式） 1

()()()()()

i i i n

i i i P B P A B P B A P B P A B ==

∑

两个事件 相互独立

()()()P AB P A P B =；()()

P B A P B =；

)()(A B P A B P =；

二、随机变量及其分布

1、分布函数

()

()(),()()()

()k k x x

x P X x F x P X x P a X b F b F a f t dt ≤-∞

⎧=⎪=≤=<≤=-⎨⎪⎩∑⎰ 2、离散型随机变量及其分布

分布名称 分布律

0–1分布

(1,)X

b p

1,0,)

1()(1=-==-k p p k X P k

k

二项分布 (,)X b n p n k p p C k X P k

n k k n

,,1,0,)

1()

( =-==-

泊松分布 ()X P λ

(),0,1,2,

!

k

P X k e k k λ

λ

-==

=

3、续型随机变量及其分布

分布名称 密度函数

分布函数

均匀分布

(,)X

U a b

⎪⎩

⎪⎨

⎧<<-=其他,0,1

)(b

x a a b x f 0,

(),1,

<⎧⎪-⎪

=≤<⎨-⎪≥⎪⎩x a x a F x a x b

b a

x b

分布名称 密度函数

分布函数

指数分布

()X e λ ⎪⎩⎪⎨

⎧≤>=-0

,

00,

)(x x e x f x λλ

⎪⎩⎪⎨

⎧≤>-=-0

,

00

,

1)(x x e x F x λ

正态分布

2

(,)X

N μσ

2

2

()21

()2μσ

πσ

--

=

-∞<<+∞

x f x e x

22

()21()d 2μσπσ

--

-∞

=

⎰

t x

F x e

t

标准正态分布

(0,1)X N

2

2

1()2ϕπ

-

=

-∞<<+∞

x x e

x

212

1

()2t x

x e

dt π

--∞

Φ=

⎰

4、随机变量函数Y=g(X)的分布 离散型：()(),1,2,

j i

i j g x y P Y y p i ====∑

， 连

续

型

：

①分布

函

数

法

，

②

公

式

法

()(())()(())Y X f y f h y h y x h y '=⋅=单调

三、多维随机变量及其分布

1、离散型二维随机变量及其分布 分布律：(,),,1,2,

i j ij P X x Y y p i j ====分布函数(,)i i ij

x x y y

F X Y p

≤≤=

∑∑

边缘分布律：()i i ij j

p P X x p ⋅===∑ ()j j ij

i

p P Y y p ⋅===∑

条件分布

律

：

(),1,2,

ij i j j

p P X x Y y i p ⋅===

=，

(),1,2,

ij j i i p P Y y X x j p ⋅

===

=

2、连续型二维随机变量及其分布 ①分布函数及性质 分布函数：⎰⎰

∞-∞

-=

x

y

dudv v u f y x F ),(),(

性质：2(,)

(,)1,(,),F x y F f x y x y

∂+∞+∞==∂∂((,))(,)G

P x y G f x y dxdy ∈=

⎰⎰

②边缘分布函数与边缘密度函数 分布函数：⎰⎰∞-+∞

∞

-=x X dvdu v u f x F ),()( 密度函数：⎰+∞

∞

-=dv v x f x f X ),()( ⎰⎰

∞-+∞

∞-=

y

Y dudv v u f y F ),()( ⎰

+∞

∞

-=

du y u f y f Y ),()(

③条件概率密度

+∞<<-∞=y x f y x f x y f X X Y ,)(),()(，+∞<<-∞=x y f y x f y x f Y Y X ,)

()

,()(

3、随机变量的独立性

随机变量X 、Y 相互独立(,)()()X Y F x y F x F y ⇔=， 离散型：..ij i j p p p = ，连续型：(,)()()X Y f x y f x f y = 4、二维随机变量和函数的分布 离散型：()(,)i j k

k i j x y z P Z z P X x Y y +===

==∑

连续型：()(,)(,)Z f z f x z x dx f z y y dy +∞

+∞

-∞

-∞

=-=-⎰

⎰

四、随机变量的数字特征

1、数学期望

①定义：离散型∑

+∞

==

1

)(k k k p x X E ，连续型⎰

+∞

∞

-=

dx x xf X E )()(

②性质：(),

E C C =)()]([X E X E E =，)()(X CE CX E =，

)()()(Y E X E Y X E ±=±

b X aE b aX E ±=±)()( ，当X 、Y 相互独立时：)()()(Y E X E XY E =

2、方差

①定义：222()[(())]()()D X E X E X E X E X =-=- ②

性

质

：

)(=C D ，)

()(2X D a b aX D =±，

),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D ±+=±

当X 、Y 相互独立时：)()()(Y D X D Y X D +=± 3、协方差与相关系数

①协方差：(,)()()()Cov X Y E XY E X E Y =-，当X 、Y 相互独立时：0),(=Y X Cov

②相关系数： (,)()()

XY

Cov X Y D X D Y ρ=

，当X 、Y 相互独立时：0=XY

ρ(X,Y 不相

关)

③协方差和相关系数的性质：)(),(X D X X Cov =，),(),(X Y Cov Y X Cov = ),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+，),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =++

4、常见随机变量分布的数学期望和方差

分布

数学期望

方差

0-1分布),1(p b

p p(1-p) 二项分布),(p n b np

np(1-p)

泊松分布)(λP

λ

λ

均匀分布),(b a U 2b

a + 12

)(2

a b - 正态分布),(2σμN μ

2

σ

指数分布)(λe

λ

1

2

1

λ

五、大数定律与中心极限定理