数学北师大版八年级上册三角形外角定理的证明

5．三角形内角和定理（第2课时）
南华县思源实验学校周荣香
一、教学目标：
1.掌握三角形外角的两条性质；
2.进一步熟悉和掌握证明的步骤、格式、方法、技巧。

3.灵活运用三角形的外角和两条性质解决相关问题。

4.进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识。

5.通过在数学活动中进行教学，使学生能自主地“做数学”，特别是培养有条理的想象和探索能力，从而做到强化基础，激发学习兴趣。

二、教学重、难点
1、重点：三角形内角和的推理
2、难点：三角形的外角、内角和定理的推论的应用。

教学过程：
一、学生自学
1、任意三角形内角和等于。

2、平角为度。

3、三角形的一个外角等于。

4、三角形的一个外角大于。

5、阅读《三角形内角和定理》
二、生生互学
在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？
注意事项：
教师应在学生充分展示自己的意见之后，有意识地引导学生从三角形的外角的角度进行思考。

三、教师领学
活动内容：
① 三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角， 结合图形指明外角的特征有三：
(1)顶点在三角形的一个顶点上． (2)一条边是三角形的一边．
(3)另一条边是三角形某条边的延长线．
② 两个推论及其应用 由学生探讨三角形外角的性质：
问题1：如图，△ABC 中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD 是△ABC 的一个外角，能由∠A 、∠B 求出∠ACD 吗？如果能，∠ACD 与∠A 、∠B 有什么关系？
问题2：任意一个△ABC 的一个外角∠ACD 与∠A 、∠B 的大小会有什么关系呢？
由学生归纳得出：
推论1： 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
推论
2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 例1、已知：∠BAF ，∠CBD ，∠ACE 是△ABC 的三个外角．
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°
分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证．
证明：(略)．
例2、已知：D 是AB 上一点,E 是AC 上一点，BE 、CD 相交于F,∠A=62°，
∠ACD=35°，∠ABE=20°．求：(1)∠BDC 度数；(2)∠BFD 度数． 解：(略)． 活动目的：
通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论，引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考． 注意事项：
新的定理的推导过程应建立在学生的充分思考和论证的基础之上，教师切勿越俎代庖。

四、分层练习
（1） 已知，如图，在三角形ABC 中，AD 平分外角∠EAC ，∠B=∠C ．求证：AD ∥BC
分析：要证明AD ∥BC ,只需证明“同位角相等”,即需证明∠DAE =∠B . 证明：∵∠EAC =∠B +∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B =∠C （已知）
∴∠B =2
1
∠EAC （等式的性质） ∵AD 平分∠EAC （已知）
∴∠DAE
=∠EAC （角平分线的定义） ∴∠DAE =∠B （等量代换）
∴AD ∥BC （同位角相等，两直线平行） 想一想，还有没有其他的证明方法呢？
这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.
证明：∵∠EAC =∠B +∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B =∠C （已知）
∴∠C =∠EAC （等式的性质）
∵AD 平分∠EAC （已知）
∴∠DAC =∠EAC （角平分线的定义）
∴∠DAC =∠C （等量代换）
∴AD ∥BC （内错角相等，两直线平行）
B A
C
D
E
还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.
证明：∵∠EAC =∠B +∠C （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠B =∠C （已知）
∴∠C =2
1∠EAC （等式的性质） ∵AD 平分∠EAC （已知） ∴∠DAC =2
1∠EAC ∴∠DAC =∠C （等量代换） ∵∠B +∠BAC +∠C =180° ∴∠B +∠BAC +∠DAC =180° 即：∠B +∠DAB =180°
∴AD ∥BC （同旁内角互补，两直线平行）
② 已知：如图，在三角形ABC 中，∠1是它的一个外角，E 为边AC 上一点，延长BC 到D ，连接DE ．求证：∠1>∠2．
证明：∵∠1是△ABC 的一个外角（已知）
∴∠1>∠ACB （三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∵∠ACB 是△CDE 的一个外角（已知）
∴∠ACB>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角） ∴∠1>∠2（不等式的性质） ③.如图，求证：（1）∠BDC >∠A .
（2）∠BDC =∠B +∠C +∠A
.
如果点D 在线段BC 的另一侧，结论会怎样？
［分析］通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，
A B
C D E
1
F
2
理解掌握三角形的内角和定理及推论.
证法一：（1）连接AD，并延长AD，如图，则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.
∴∠1>∠3.
∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质）
即：∠BDC>∠BAC.
（2）连结AD，并延长AD，如图.
则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.
∴∠1=∠3+∠B
∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）即：∠BDC=∠B+∠C+∠BAC
证法二：（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E），如图.
则∠BDC是△CDE的一个外角.
∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）
∴∠DEC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠BDC>∠A（不等式的性质）
（2）延长BD交AC于E，则∠BDC是△DCE的一个外角.
∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的
和）
∵∠DEC是△ABE的一个外角
∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC（等量代换）
活动目的：
让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习．
注意事项：
学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明第2小题中，要引导学生找到一个过渡角∠ACB，由∠1>∠ACB，∠ACB>∠2，再由不等关系的传递性得出∠1>∠2。

五、教学反思
教学中，帮助学生找三角形的外角是难点，特别是当一个角是某个三角形的内角，同时又是另一个三角形的外角时，困难就更大，解决这个难点的关键是讲清定义，分析图形，变换位置，理清思路。

本节课的教学设计力图具有以下几个特色：
（1）充分挖掘学生的潜能，展示学生的思维过程，体现“学生是学习的主人”这一主题；
（2）从特殊到一般，从不完全归纳到合情推理，展示了一个完整的思维过程；（3）在整个教学中尽可能的避免教学的单调性，因此编排了一题多解的训练，为发散性思维创设情境，调动学生学习的极大热情。