带电粒子在电场中的运动综合问题

答案：C
2．如图所示，ABD 为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中 AB 段是水平的，BD 段为半径 R＝0.2 m 的半圆，两段轨道相切于 B 点， 整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小 E＝5.0×103 V/m. 一不带电的绝缘小球甲，以速度 v0 沿水平轨道向右运动，与静止在 B 点带正电的小球乙发生弹
x＝0.4 m④
(2)在满足(1)的条件下，设碰撞后甲的速度为 v 甲、乙的速度为 v 乙，根据动量守恒和机械能守恒定律有
mv0＝mv 甲＋mv 乙⑤ 12mv02＝12mv2甲＋12mv乙2 ⑥ 联立⑤⑥式解得 v 乙＝v0⑦ 根据动能定理有－mg·2R－qE·2R＝12mv2D－12mv2乙⑧ 联立①⑦⑧式解得
Eqx－μmgx＝12mv2
而：qE＝3m4 g
解得：v＝
3gR 2
设滑块到达 C 点时速度为 vC，受到轨道的作用力大小为 F， 则 EqR－mgR＝12mv2C－12mv2 得：vC＝ gR
由水平方向合外力提供向心力得：
F－Eq＝mvR2C解得：F＝74mg
(2)要使滑块恰好始终沿轨道滑行，则滑至圆轨道 DG 间某点，
2．能量的观点 (1)运用动能定理，注意过程分析要全面，准确求出过程中的所 有力做的功，判断是对分过程还是对全过程使用动能定理． (2)运用能量守恒定律，注意题目中有哪些形式的能量出现． 3．动量的观点 (1)运用动量定理，要注意动量定理的表达式是矢量式，在一维 情况下，各个矢量必须选同一个正方向． (2)运用动量守恒定律，除了要注意动量守恒定律的表达式是矢 量式，还要注意题目表述是否为某方向上动量守恒定律定律．
解析：电子在交变电场中所受电场力恒定，加速度大小不变，
故 C、D 两项错误；从 0 时刻开始，电子向 A 板做匀加速直线运动，
1 2T
后电场力反向，电子向
A
板做匀减速直线运动，直到
t＝T
时刻
速度变为零．之后重复上述运动，A 项正确，B 项错误．
答案：A
多维练透
1. (多选)如图所示为匀强电场的电场强度 E 随时间 t 变化的图 象．当 t＝0 时，在此匀强电场中由静止释放一个带电粒子，设带电 粒子只受电场力的作用，则下列说法中正确的是( )
解析：(1)如图所示，小球所受到的重力、电场力均为恒力，二
力的合力为 F＝cmosgθ.重力场与电场的叠加场为等效重力场，F 为等
效重力，小球在叠加场中的等效重力加速度为 g′＝cogsθ，其方向 与 F 同向，因此 B 点为等效最低点，A 点为等效最高点，小球在 A 点速度最小，设为 vA，此时细线的拉力为零，等效重力提供向心力， 则 mg′＝mlv2A，得小球的最小速度为 vA＝ cogslθ.
透析考点·多维突破 考点一 带电粒子在交变电场中的运动
1．常见的三种运动类型：单向直线运动、往返直线运动、偏 转运动．
2．解题基本思路： (1)抓住两个特征：粒子运动在时间上的周期性和空间上的对称 性． (2)运用两个关系：一是力和运动的关系，二是功能关系．
例 1 如图甲所示，两极板间加上如图乙所示的交变电压．开 始 A 板的电势比 B 板高，此时两板中间原来静止的电子在电场力作 用下开始运动．设电子在运动中不与极板发生碰撞，向 A 板运动时 为速度的正方向，则下列图象中能正确反映电子速度变化规律的是 (其中 C、D 两项中的图线按正弦函数规律变化)( )
解析：(1)根据题意可知，甲、乙两球碰撞后，在水平方向上动 量守恒，此时乙获得向右的速度沿轨道运动，在乙恰能通过轨道的
最高点 D 的情况下，设乙到达最高点的速度为 vD，乙离开 D 点到 达水平轨道的时间为 t，乙的落点到 B 点的距离为 x，根据牛顿第二 定律有
mg＋qE＝mvRD2 ① 2R＝12(mg＋m qE)t2② x＝vDt③ 联立①②③式并代入数据解得
h＝13H⑧
(3)设电场强度的大小为 E，小球 M 进入电场后做直线运动，则
vv0y＝mqEg⑨ 设 M、N 离开电场时的动能分别为 Ek1、Ek2，由动能定理得 Ek1＝12m(v20＋vy2)＋mgH＋qEx1⑩
Ek2＝12m(v20＋vy2)＋mgH－qEx2⑪ 由已知条件 Ek1＝1.5Ek2⑫ 联立④⑤⑦⑧⑨⑩⑪⑫式得
由电场力和重力的合力提供向心力，此时的速度最小(设为 vmin)， 则有： qE2＋mg2＝mvR2min
解得：vmin＝
5gR 2
答案：(1)74mg
5gR (2) 2
方法技巧 等效法求解电场中圆周运动问题的解题思路 (1)求出重力与电场力的合力 F 合，将这个合力视为一个“等效 重力”．
(1)若滑块从水平轨道上距离 B 点 x＝3R 的 A 点由静止释放， 求滑块到达与圆心 O 等高的 C 点时，受到轨道的作用力大小．
(2)改变 x 的大小，使滑块恰好始终沿轨道滑行，且从 G 点飞出 轨道，求滑块在圆轨道上滑行过程中的最小速度大小．
解析：(1)设滑块到达 B 点时的速度为 v，由动能定理有
A．Q 点在 P 点正下方 B．小球电势能减小
C．小球重力势能减少量等于12mg2t2 D．Q 点应位于 P 点所在竖直线的左侧
解析：从 P 到 Q，由动能定理有 mgh＋W 电＝12mv02－12mv20＝0， 因为重力做正功，电场力做负功，电势能增加，则 Q 点应在 P 点的
右下方，故 A、B、D 错误；小球在竖直方向下落的高度 h＝12gt2， 则小球重力势能减少量等于 ΔEp＝mgh＝12mg2t2，故 C 正确．
v0－at＝0① x1＝v0t＋12at2②
x2＝v0t－12at2③ 联立①②③式得
xx12＝3④
(2)设 A 点距电场上边界的高度为 h，小球下落 h 时在竖直方向 的分速度为 vy，由运动学公式
vy2＝2gh⑤ H＝vyt＋12gt2⑥ M 进入电场后做直线运动，由几何关系知 vv0y＝xH1⑦ 联立①②⑤⑥⑦式可得
答案：CD
2．如图甲所示，热电子由阴极飞出时的初速度忽略不计，电 子发射装置的加速电压为 U0，电容器板长和板间距离均为 L＝10 cm，下极板接地，电容器右端到荧光屏的距离也是 L＝10 cm，在 电容器两极板间接一交变电压，上极板的电势随时间变化的图象如 图乙所示．(每个电子穿过平行板的时间都极短，可以认为电压是不 变的)求：
性碰撞．已知甲、乙两球的质量均为 m＝1.0×10－2 kg，乙所带 电荷量 q＝2.0×10－5 C，g 取 10 m/s2.(水平轨道足够长，甲、乙两球 可视为质点，整个运动过程无电荷转移)
(1)甲、乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点 D，求乙在轨 道上的首次落点到 B 点的距离；
(2)在满足(1)的条件下，求 出甲的速度 v0.
v0＝v 乙＝ 5mq＋m qER＝2 5 m/s⑨ 答案：(1)0.4 m (2)2 5 m/s
核心素养·科学思维 用“等效法”处理带电粒子在电场和重力场中的运动
1．等效重力法
将重力与电场力进行合成，如图所示，则 F 合为等效重力场中 的“重力”，g′＝Fm合为等效重力场中的“等效重力加速度”，F 合 的方向等效为“重力”的方向，即在等效重力场中的竖直向下方 向．
2 所以 Y＝13.5 cm.
(2)由题知电子侧移量 y 的最大值为L2，所以当偏转电压超过 2U0，电子就打不到荧光屏上了，所以荧光屏上电子能打到的区间 长为 3L＝30 cm.
答案：(1)打在屏上的点位于 O 点上方，距 O 点 13.5 cm
(2)30 cm
方法技巧 对于带电粒子在交变电场中的运动，主要是根据电场随时间的 变化情况分好段，对每一段分别受力分析，研究好每一段带电粒子 的运动情况，找好段与段之间的关系，比如前一段的末速度等于后 一段的初速度，两段的时间、空间关系等.
2．物理最高点与几何最高点 在“等效力场”中做圆周运动的小球，经常遇到小球在竖直平 面内做圆周运动的临界速度问题．小球能维持圆周运动的条件是能 过最高点，而这里的最高点不一定是几何最高点，而应是物理最高 点．几何最高点是图形中所画圆的最上端，是符合人眼视觉习惯的 最高点．而物理最高点是物体在圆周运动过程中速度最小(称为临界 速度)的点．
例 2 [2017·全国卷Ⅱ，25]如图，两水平面(虚线)之间的距离为
H，其间的区域存在方向水平向右的匀强电场．自该区域上方的 A 点将质量均为 m、电荷量分别为 q 和－q(q>0)的带电小球 M、N 先 后以相同的初速度沿平行于电场的方向射出．小球在重力作用下进 入电场区域，并从该区域的下边界离开．已知 N 离开电场时的速度 方向竖直向下；M 在电场中做直线运动，刚离开电场时的动能为 N 刚离开电场时动能的 1.5 倍．不计空气阻力，重力加速度大小为 g. 求
(1)M 与 N 在电场中沿水平方向的位移之比； (2)A 点距电场上边界的高度； (3)该电场的电场强度大小．
解析：(1)设小球 M、N 在 A 点水平射出时的初速度大小为 v0， 则它们进入电场时的水平速度仍然为 v0.M、N 在电场中运动的时间 t 相等，电场力作用下产生的加速度沿水平方向，大小均为 a，在电 场中沿水平方向的位移分别为 x1 和 x2.由题给条件和运动学公式得
考点二 电场中的力电综合问题 要善于把电学问题转化为力学问题，建立带电粒子在电场中加 速和偏转的模型，能够从带电粒子的受力与运动的关系、功能关系 和动量关系等多角度进行分析与研究．解决力电综合问Leabharlann Baidu的方法： 1．动力学的观点 (1)由于匀强电场中带电粒子所受电场力和重力都是恒力，可用 正交分解法． (2)综合运用牛顿运动定律和匀变速直线运动公式，注意受力分 析要全面，特别注意重力是否需要考虑的问题．
(1)在 t＝0.06 s 时刻，电子打在荧光屏上的何处； (2)荧光屏上有电子打到的区间有多长？
解析：(1)电子经电场加速满足 qU0＝12mv2
经电场偏转后侧移量 y＝12at2＝12qmUL偏Lv2 所以 y＝U4U偏L0 ，由图知 t＝0.06 s 时刻 U 偏＝1.8U0，所以 y＝4.5 m 设打在屏上的点距 O 点距离为 Y，满足Yy＝L＋L L2
典例 [2019·安阳模拟]如图所示，BCDG 是光滑绝缘的34圆形 轨道，位于竖直平面内，轨道半径为 R，下端与水平绝缘轨道在 B 点平滑连接，整个轨道处在水平向左的匀强电场中，现有一质量为 m、带正电的小滑块(可视为质点)置于水平轨道上，滑块受到的电
场力大小为34mg，滑块与水平轨道间的动摩擦因数为 0.5，重力加速 度为 g.
E＝
mg ⑬ 2q
答案：
：1
1 (2)3H
2mg (3) 2q
多维练透
1.[2019·江西等五市八校联考]如图所示，处于真空中的匀强电 场水平向右，有一质量为 m、带电荷量为－q 的小球从 P 点以大小 为 v0 的初速度水平向右抛出，经过 t 时间到达 Q 点(图中未画出)时 的速度仍为 v0，则小球由 P 点运动到 Q 点的过程中，下列判断正 确的是( )
A．带电粒子将始终向同一个方向运动 B．2 s 末带电粒子回到原出发点 C．3 s 末带电粒子的速度为零 D．0～3 s 内，电场力做的总功为零
解析：设第 1 s 内粒子的加速度为 a1，第 2 s 内的加速度为 a2， 由 a＝qmE可知，a2＝2a1，假设粒子第 1 s 内向负方向运动，1.5 s 末 粒子的速度为零，然后向正方向运动，至 3 s 末回到原出发点，粒 子的速度为 0，由动能定理可知，此过程中电场力做功为零，综上 所述，可知 C、D 正确．
(2)将 a＝Fm合视为“等效重力加速度”． (3)小球能自由静止的位置，即是“等效最低点”，圆周上与该 点在同一直径的点为“等效最高点”．注意：这里的最高点不一定 是几何最高点． (4)将物体在重力场中做圆周运动的规律迁移到等效重力场中 分析求解.
即学即练 在水平向右的匀强电场中，有一质量为 m、带正电的小球，用 长为 l 的绝缘细线悬挂于 O 点，当小球静止时，细线与竖直方向夹 角为 θ，如图所示，现给小球一个垂直于悬线的初速度，小球恰能 在竖直平面内做圆周运动，试问： (1)小球在做圆周运动的过程中，在哪一位置速度最小？速度最 小值多大？ (2)小球在 B 点的初速度多大？