6、幂函数与函数的奇偶性

简单的幂函数与函数的奇偶性

一、简单的幂函数

1．幂函数的定义

如果一个函数，是自变量x，是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．2．简单的幂函数的图像和性质

函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1在同一平面直角坐标系中的图像如图所示：

从图中可以观察得到：

例1.下列函数中是幂函数的是()

①y＝1

x3；②y＝ax

m(a，m为非零常数，且a≠1)；③y＝＋x4；④y＝x n；⑤y＝(x－6)3；⑥y＝8x2；

⑦y＝x2＋x；⑧y＝1.

A．①②③⑧B．①④C．③④⑤⑥D．②④⑦

例2.函数f(x)＝(m2－m－1)是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增加的，求f(x)的解析式．

【名师指津】

1．形如y ＝x a 的函数叫幂函数，它有两个特点：(1)系数为1；(2)指数为常数，底数为自变量x .

2．求幂函数的解析式常利用幂函数的图像特征或性质确定指数的特征值．

例3.点(2，2)与点⎝

⎛⎭⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图像上，当x 为何值时，有①f (x )＞g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )＜g (x )?

变式练习

1．已知幂函数f (x )＝x α的图像经过点A ⎝⎛⎭⎫12，2.

(1)求实数α的值；

(2)用定义证明f (x )在区间(0，＋∞)内的单调性．

二、函数的奇偶性

1、一般地，函数图像关于原点对称函数叫做 ，有 ；反之，若满足 的函数y=f(x)一定是奇函数。

2、函数图像关于y 轴对称函数叫做 ，有 ；反之，若满足 的函数y=f(x)一定是偶函数。

3、奇偶性

当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有 ．

例4.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)奇函数的图像一定过原点．( )

(2)定义在R 上的函数f (x )，若存在x 0，使f (－x 0)＝f (x 0)，则函数f (x )为偶函数．( )

(3)函数y ＝x 2，x ∈(－1,1]是偶函数．( )

例5. 判断下列函数的奇偶性：

(1)f (x )＝1

3

x 5； (2)f (x )＝3x 2；

(3)f (x )＝x 2－4＋4－x 2；

(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x －3，x ＞0，x 2＋2x ＋3，x ＜0.

例6．已知f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x ＞0时，f （x ）=x （x ﹣2），求f （x ）的解析式．

【名师指津】

判断函数奇偶性的方法

变式练习

1．函数f (x )＝x 2(x ＜0)的奇偶性为( )

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．既是奇函数又是偶函数

D ．非奇非偶函数

2.函数f (x )＝x 2＋x ( )

A ．是奇函数

B ．是偶函数

C ．是非奇非偶函数

D ．即是奇函数又是偶函数

三、函数单调性与奇偶性的综合应用

（一）比较大小

例1、已知函数f （x ）是偶函数，且在区间[0，1]上是增函数，则)0(),1(),5.0(f f f --

的大小关系是__________.

（二）解不等式

例2、定义在（－2，2）上的函数f （x ）是奇函数，并且在（－2，2）上是增函数，求

满足条件0)21()2(>-++m f m f 的实数m 的取值范围。

（三）求最值

例3、设函数f （x ）对于任意的R y x ∈,，都有)()()(y f x f y x f +=+，且当x>0时，

4)2(,0)(-=

变式练习

1．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减小的，且f (3)＝0，则使f (x )<0的x 的范围为________．

2．定义在R 上的奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，又f (－3)＝0，则不等式xf (x )<0的解集为 。

3.已知定义在上的函数在上为增函数，且是偶函数，则的大小关为 .

4．设函数y =f （x ）是定义在[﹣2，2]上的偶函数，当x ≥0时，f(x ）单调递减，若f （1﹣a ）＜f （a ）成立，则实数a 的取值范围是 ．

5.奇函数()y f x =在定义域[-1，1]上是减函数，2(1)(1)f a f a -+-0>求实数a 的取值范围。

6.定义在R 上的偶函数()y f x =在（-∞，0]上是增函数，且(21)f a ->(3)f a -求实数a 的取值范围。

R ()x f [)+∞-,4()4-=x f y ()()()0,4,6f f f --