行列式计算方法演示文稿

（法二）求出非零元素乘积 a a 1 j1 2 j2 ...anjn 的列下标 j1, j2 ,..., jn 的所有n元排列，即可求出行列式的所有非零项.
2 化三角形法 :把已知行列式通过行列式的性质化为下 列三角形行列式中的某一种形式，则其值就可求出.
1 0 ... 0
1 ... 1 0 ... 0
当b不等于0时， Dn C1 n1 C2 n1
C1
D2 D1
,C2
D2 D1
,其中
和
为特征方程
x2 ax b 0 的两根。
4. 用升阶法计算行列式
升阶法指的是在原行列式中再添加一行一列，
使原来的n阶成n+1阶，且往往让n+1阶行列式的
值与原n阶行列式的值相等.一般来说,阶数高的
5. 用降阶定理计算行列式 ,将行列式与矩阵联系在
一起，用行列式的降阶定理计算n阶行列式，以 使方法简单化.
定理2
设
P
A C
B D
,其中A为年n阶，D为m阶方阵。
（1）若A可逆， 则 P A D CA1B
（2）若D可逆， 则. P D A BD1C
证明： （1）若A可逆，由分块矩阵的乘法，有
... 2 0
0 ... 2
(1) 2 12...n
... ... ... ...
... ... ... ... ... ... ... ...
n 0 ... 0
n 0 ... 0
n ...
(1)箭形行列式;(2)可化为箭形行列式的行式
(3)行（列）的和相等的行列式 这几种类型的行列式均可化为三角形行列式.
证明：设
P
A C
B D
,由定理2
A P
C
B A D CA1B D
D A BD C 1
故，D CA1B D A BD 1C 。 A
6. 用幂级数变换计算行列式 把一类n阶行列式转化为差分方程，再利用幂级数变
换求解差分方程，即可求出行列式的值.
任给一个数列 {an} ,则可相应地作出一个幂级数
.
三、行列式的计算方法
1 利用行列式的定义来计算 对于含零元素较多的行列式可用定义来计算.
因为行列式的项中有一个因数为零时，该项的值 就为零，故只须求出所有非零项即可.
（法一）求出位于不同行，不同列的非零元素乘积的 所有项.
当行列式中含大量零元素，尤其是行列式的非零 元素乘积项只有一项时，用此法计算非常简便.
比阶数低的计算更复杂些.但如果合理地选择所
添加的行，列元素，使新的行列式更便于“消零”
的话，则升阶后有利于计算行列式的值.
凡可利用升阶法计算的行列式具有的特点是：
除主对角线上的元素外，其余元素都相同，或任
两行（列）对应元素成比例.升阶时，新行（列）
由哪些元素组成？添加在哪个位置？要根据原行
列式的特点作适当的选择.
3. 用递推法计算行列Байду номын сангаас :利用行列式的性质,把某一行列
式表示为具有相同结构的较低阶行列式的关系式(称 为递推关系式），根据所得递推关系式及低阶某初始 行列式的值便可递推求得所需的结果.
文章给出了一类可化为 Dn aDn1 bDn2 的递归行列式. 的计算方法。 当b等于0 时，易得 Dn an1D1
关键词：n阶行列式；递推关系式；升阶；幂级数变
换；换元
一、引言
行列式的计算是高等代数的重要内容之一, 也是学习中的一个难点.对于阶数较低的行列 式,一般可直接利用行列式的定义和性质计算 出结果.对于一般的n阶行列式,特别是当n较大 时，直接用定义计算行列式往往是困难和繁琐 的，因此研究行列式的计算方法则显得十分必 要.通常需灵活运用一些计算技巧和方法，使 计算大大简化，从而得出结果.本文介绍了几 种计算方法，只要将各种方法综合地应用起来， 就可以基本上解决n阶行列式的计算问题.
= = = 0 2 ... 0
... ... ... ...
0 2 ... ... ... ... ...
2 ... 0 ... ... ... ...
12 ...n
0 0 ... n
0 ... ... n
... n
0 0 ... 1
... 1
0 0 ... 1
n(n1)
= = = 0 ... 2 0
E 0 A BE A1B A
0
CA1
E
C
D 0
E
0
D CA1B
由于 E CA1
0E
E0
A1B 1 ，所以两边取行列式， E
A P
B A D CA1B
CD
，同理可证（2）。
定理3 设A与D分别为n阶与m阶可逆阵，B与C分
别为n×m阵与m×n阵，则 D CA1B D A BD1C A
定理1 一个n阶行列式中等于零的元素个数如果比 n×n－n多，则此行列式等于零.
证明：由行列式定义，该行列式展开后都是n个 元素相乘，而n阶行列式共有n×n个元素.若等 于零的元素个数大于n×n－n，那么非零元素 个数就小于n个.因此该行列式的每项都至少含 一个零元素，所以每项必等于零，故此行列式 等于零.
2 性质
(1) 行列互换，行列式不变. (2) 数k乘行列式的一行相当于数k乘此行列式. (3) 若行列式中有两行相同，那么行列式为零. (4) 若行列式中两行成比例，那么行列式为零.
(5) 若行列式中某行（列）的每一个元素均为两数之 和，则这个行列式等于两个行列式的和，这两个行列 式分别以这两组数作为该行（列）元素，其余各行 （列）与原行列式相同. (6) 把行列式中一行的倍数加到另一行，行列式不变. (7) 对换行列式中两行的位置，行列式反号.
二、行列式的定义及性质
a11 a12 ... a1n
1
定义：n阶行列式
Dn aij
a21 ...
a22 ...
... a2n ... ...
an1 an2 ... ann
(1) a a ...a ( j1 j2 ... jn )
1 j1 2 j2
njn
j1 j2 ... jn
其中 ( j1 j2... jn ) 为排列 j1 j2... jn 的逆序数.
行列式计算方法演示文稿
行列式计算方法
摘要：本文探讨了行列式的计算方法问题，介绍了
计算n阶行列式的几种行之有效的方法. 除比较常用的定义 法，化三角形法，升阶法，数学归纳法等法外，还介绍了 利用降阶定理，幂级数变换，换元等技巧性较高的计算方 法.只要灵活地运用这些计算技巧和方法，就可以基本上 解决n阶行列式的计算问题.