第二章教案

第2章一元二次方程

目录

2.1 一元二次方程（1） (2)

2.1一元二次方程（2） (4)

2.2一元二次方程的解法（1） (6)

2.2一元二次方程和解法（2） (8)

2.2一元二次方程的解法（3） (10)

2.3一元二次方程的应用（2） (14)

2.1 一元二次方程（1）

〖教学目标〗

◆1、经历一元二次方程概念的发生过程。 ◆2、理解一元二次方程的概念。

◆3、了解一元二次方程的一般形式，会辨别一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项。

〖教学重点与难点〗

◆教学重点：一元二次方程的概念，包括一般形式。

◆教学难点：例1第4题计算容易产生差错，是本节教学的难点。 〖教学过程〗 一、合作学习

1、 列出下列问题中关于未知数x 的方程

①正方形的面积为80，边长为x ，则可列出方程 。 ②某村的粮食年产量，在两年内从60万千克增长到72万千克，问平均每年增长的百分率是多少？设年平均增长率为x ，则可列出方程 。 二、引入新课

观察方程x 2=80 和()721602

=+x

两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，我们把这样的方程叫做一元二次方程，能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解（或根）

练一练：1、判断下列方程是否为一元二次方程：① 2（3x+2）=3

1x 2 ②

21x

+x+3=0 ③ 0522=--y x ④ x x 322= ⑤ 052

=x 2、判断未知数的值1-=x 、o x =、2=x 是否是方程x x =-22

的根。

一般地，任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为()002

≠=++a c bx ax 的形式，

我们把形如02

=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，a ≠0）称为一元二次方程的一般

形式，其中2

ax 、bx 、c 分别称为二次项、一次项和常数项。a 、b 分别称为二次项系数和一次项系数。

思考：为什么0≠a ，b 、c 可以为零吗？

三、范例讲解：

例1：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。

①2532

+=x x ②2)23)(12(2

+=+-x x x

③6)4)(3(-=-+x x ④)1(2)1(2

--+x x 2

56-=x

解：① 移项，整理，得 02532

=--x x

这个二次项系数为3，一次项系数为5-，常数项为2-。 ② 移项，整理，得 0452

=-+x x

这个二次项系数为5，一次项系数为1，常数项为4-。 ③ 移项，整理，得 062

=--x x

这个二次项系数为1，一次项系数为1-，常数项为6-。 ④ 移项，整理，得 042

=+-x

这个二次项系数为1-，一次项系数为0，常数项为4。

我们在写一元二次方程的一般形式时，通常按未知数的系数从高到低排列，先写二次项，再写一次项，最后是常数项。 四、练习巩固：

1、方程 ①1872=-x x ②06522

=+-y xy x ③0191

52

=--

x

x ④y y 34

2

= 中是一元二次方程的为 （填序号）。 2、关于x 的一元二次方程02

=++a ax x 的一个解是3，则a = 3、判断下列各方程后面的两个数是不是它的解。 ① 0762

=--x x )7,1(- （ ）

② 02532

=-+x x )3

2,35(- （ ）

③ 01322

=+-x x (3 , 1) （ ） ④ 0142

=+-x x (32,32--+-) （ ）

五、小结：

1、 记住一元二次方程的一般形式，并会判断方程是否为一元二次方程；

2、 化成一元二次方程的一般形式后，能说出二次项系数，一次项系数和常数项；

3、 能判断x 的值是不是方程的解。

作业：见作业本

2.1一元二次方程（2）

【教学目标】

◆1.掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤.

◆2.会用因式分解法解一元二次方程.

?教学重点与难点?

◆教学重点：用因式分解法解一元二次方程.

◆教学难点：例3方程中含有无理系数，需将常数项2看成2

，才能分解因式，是本

节教学的难点.

?教学过程?

一.复习引入

1、将下列各式分解因式：

22222

(1)3(2)49(3)(34)(43)(4)2

y y x x x x

------+教师指出：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解.

2、你能利用因式分解解下列方程吗？

22

(1)30(2)49

y y x

-==

请中等程度的学生上来板演，其余学生写在练习本上，教师巡视.

之后教师指出：像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。（板书课题）

二.新课学习

1、归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：

教师首先指出：当方程的一边为0，另一边容易分解成两个一次因式的积时，用因式分解法求解方程比较方便.然后归纳步骤：（板书）

①若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；

②将方程的左边分解因式；

③根据若M〃N=0，则M=0或N=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。

2、讲解例2.

（1）解下列一元二次方程：

22

(1)(5)(32)10(2)2(2)(34)(43)

x x x x x x x

--=-=--=-

(3)

教师在讲解中不仅要突出整体的思想：把x-2及3x-4和4x-3看成整体，还要突出化归的思想：通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.并且教师要认真板演，示范表述格式，强调两个一元一次方程之间的连结词要用“或”，而不能用且。

（2）想一想：将第（1），（2），（3）题的解分别代人原方程的左、右两边，等式成立吗？（3）归纳用因式分解法解的一元二次方程的基本类型：

①先变形成一般形式，再因式分解：

②移项后直接因式分解.

在选择方法时通常可先考虑移项后能否直接分解因式，然后再考虑化简后能否分解因式。

2、讲解例3.

解方程22

x=-

在本例中出现无理系数，要注意引导学生将将常数项2

看成

2

，另外对于方程中出现两

个相等的根，教师要做好板书示范。

3、补充例4 若一个数的平方等于这个数本身，你能求出这个数吗？

首先让学生设出未知数，列出方程（2x x

=），再让学生求解.根据学生的求解情况强调：对于此类方程不能两边同时约去x，因为这里的x可以是0。

三、巩固练习：

课本第32页课内练习。

四、体会和分享

能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？

先由学生自由发言，教师再投影演示：

1.能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；

2.用分解因式法解一元二次方程的一般步骤：

（1）将方程的右边化为零；

（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；

（3）令每一个因式为零，得到两个一元一次方程；

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

3. 用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0.

4、用分解因式法解一元二次方程的注意点：1.必须将方程的右边化为零；2.方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.

5、数学思想：整体思想和化归思想.

五.课后作业

1.书本作业题

2.作业本

?板书设计?

2.2一元二次方程的解法（1）

【教学目标】

◆1. 理解开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义. ◆2. 会用开平方法解一元二次方程. ◆3. 理解配方法.

◆4. 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. ?教学重点与难点?

◆教学重点：开平方法.

◆教学难点：配方法有一个比较复杂的过程，无论从理解和运用上，对学生来说都有一定的难度.

?教学手段?

用多媒体powerpoint 和黑板的形式。 ?教学过程? (一)引入新课

问题1： 在修建甬(宁波)金(金华)高速公路时，遇到高山，需要开掘隧道，为了预计这座山隧道的长度，工程人员测量了山的高度约AB=3千米，坡面的长度约AC=5千米。请你估算开掘这座山的隧道约有多少千米？

从甬金高速公路入手引出 型的一元二次方程，体现方程与几何图形性质的应用，对一元二次方程概念的理解、方程根的检验等起着复习巩固的作用。 （二）由问题1可得 即 再利用因式分解法得出方程的根。 如果把 变形为 ，进而可以理解为x 是16的平方根，引出求这种方程的根可以用两边直接开方的方法进行，再得出开平方法的概念。

通过让学生观察体会得出开平方法的两个特征：1、它适合于什么样的方程？(左边是一个关于x 的完全平方，右边为一个非负常数即 )。2：用什么样的方法来解？(方程的两边直接开平方的方法)

然后通过一系列、连续的例题来巩固用开平方法解一元二次方程，既突出本节课的重点，又比较自然的过渡到用配方法解一元二次方程。 例1、

(1 )

(2)

(3)

(4)

通过第4个例题的讲解学生已经了解到，如果左边不是一个直接的完全平方，那么通过观察、变形，把它配成完全平方，就可以用开平方法来解一元二次方程。 （三）、问题2： 把方程变形：左边是一个含有x 的式子的完全平方，而右边是一个非负数。 1：先移项：含有未知数的项移到左边，含有常数的项移到右边。 2：方程两边同加上一个合适的数。

a x =2

()0≥a 02732=-x 022

1

2=--x ()7322=-x 4122

=+-x x 0

322=--x x 22253=+x 0162=-x 162=x 0162=-x a x =2

3：左边是一个完全平方，右边是一个非负常数。 4：最后用开平方法来解

即可引出配方法的概念。像这样，把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。

然后让学生回答：用配方法解一元二次方程关键在哪里？(就是如何在方程左、右两边同加上一个合适的数使左边配成一个完全平方。)

为了弄清楚在方程的左右两边究竟应加上一个什么样的合适的数，可以通过专门的3个练习来得出。即突破本节课的难点。 (1) (2)

(3)

最后让学生得出结论：1：加上一次项系数一半的平方；

2：前提条件：二次项系数为1

例2、

(1)

(2)

再次总结：形如 （二次项系数为1时），可以用配方法来解一元二次方程。

具体的步骤有：

第一：移项。

第二：等式两边同加上一次项系数一半的平方。

第三：再用开平方法来解方程。

（四）提出挑战题：当二次项系数不是1时，怎么办？为下节课的教学打下了基础。 例3、

一、课堂小结

让学生回答1：用开平方法、配方法解一元二次方程的概念。2：用这两种方法解方程时，方程的特点。3：用这两种方法解方程时的步骤。4：让学生回答在解方程过程中应注意的事项。 六、布置作业。

0432=++-x x ()22_____6+=++x x x ()

22

_____3

4+=++x x x 162=+x x x x 562-=02=++c bx x 01232

=-+x x 22222??? ??+-=??? ??++b c b bx x 4422

2b c b x +-=

??? ??+()22

_____5-=+-x x x c

bx x -=+2

2.2一元二次方程和解法（2）

【教学目标】

◆1. 巩固用配方法解一元二次方程的基本步骤.

◆2. 会用配方法解二次项系数的绝对值不为1的一元二次方程. ?教学重点与难点?

◆教学重点：用配方法解二次项的系数的绝对值不是1的一元二次方程. ◆教学难点：当二次项系数为小数或分数时，用配方法解一元二次方程. ?教学过程? 一.复习旧知

用适当的方法解下列方程： 1、（x-2）2=3

2、 x 2+3

请学生上来板演，老师点评归纳。 二.新课讲授

1.出示引例：用配方法解方程5x 2=1 提出问题：当一元二次方程的二次项系数的绝对值不是1时，怎样用配方法来解？

经学生讨论后，指定一名学生（中等程度）回答。

教师总结：对于二次项系数的绝对值不是1的一元二次方程，只要将方程的两边都除以二次项系数，就转化为我们已经能解决的问题。即用配方法解二次项系数是1的一元二次方程。 2.讲解例题

例3：用配方法解下列一元二次方程 （1）2x 2+4-3=0 (2) 3x 2-8x-3=0

评注（1）本例讲解可由上一课时的复习来引入，先给出方程x 2+2-1=0,让学生解答，并板书过程，同时解答方程3x 2+6-3=0,让学生作比较，学生容易发现，两个方程同解。再把6x 改成4x,并提出问题：方程3x 2+4-3=0又应该如何解？从而把问题化归。

（2）本例中两个小题的解法是相通的，在讲解时，需要让学生明确配上去的值到底应该是多少，即解决

,34,

38

的一半是多少这一问题，常用的解决方法是把该数乘以21。

教师总结：1：用配方法解系数为1的一元二次方程x 2+p 时，一般步骤为：

（1）x 2+p

-q(移）；

（2）x 2+p

2p ) 2=-q+(2

p

) 2(配)； （3）（x+2p ）2=442q

p - (化）；

（4）解得x=-2

p

±

4

42q

p - (解) 2、当二次项系数不为1时，则在 “移”之前先要有个“除”，即两边同除以二次项系数，使二次项系数为1.

练习：用配方法解下列方程 1.2x 2-7x+5=0

2.

2)

1(-n n -3n=1 3.23x 2-32x-6

1=0 练习：

一个长方形牧场的面积为8100平方米，长比宽多19米。这个牧场的周长是多少米？ 三：小结

1. 本课时的重点用配方法解答各种一元二次方程。

2. 本课时的难点是对二次项系数的处理。 四：布置作业

课本”“作业本”及习题精选中对应的练习。

2.2一元二次方程的解法（3）

【教学目标】

◆知识教学点：理解一元二次方程求根公式的推导，会运用公式法解一元二次方程．

◆能力训练点：1．通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性．

2．培养学生快速而准确的计算能力.

◆德育渗透点：1．通过公式的引入，培养学生寻求简便方法的探索精神及创新意识．

2．让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解，形成全面解决问题的积极情感，感受公式的对称美、简洁美，产生热爱数学的情感．

?教学重点与难点?

◆教学重点：求根公式的推导及用公式法解一元二次方程.

◆教学难点：对求根公式推导过程中依据的理论的深刻理解.

?教学过程?

（一）复习引入

1．用配方法解下列方程．

（1）x2－7x＋11＝0，（2）9x2＝12x＋14．

（通过两题练习，使学生复习用配方法解一元二次方程的思路和步骤，为本节课求根公式的推导做第一次铺垫．）

2．用配方法解关于x的方程x2＋2px＋q＝0．

解：移项，得x2＋2px＝-q

配方，得x2＋2px＋p2＝-q＋p2

即（x+p）2＝p2-q．

（教师板书，学生回答，此题为求根公式的推导做第二次铺垫．）3．用配方法推导出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根．

解：因为a≠0，所以方程的两边同除以a，

∵ a≠0，∴4a2＞0 当b2－4ac≥0时．

从上面的结论可以发现：

（1）一元二次方程a2+bx+c＝0（a≠0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的．（2）在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入上式中，可求得方程的两个根．

的求根公式，用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．

（二）师生互动，应用新知

互动1

师：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式中，要求b2-4ac?≥0?，?那么b2-4ac<0时会怎样呢？

生：当b2-4ac<0ax2+bx+c=0（a≠0）无

实数解．

明确: b2-4ac≥0是公式的一个重要组成部分，是求根公式成立的前提条件，这一点是解一元二次方程的一个隐藏条件．当b2-4ac<0时，此方程无解，?也是判断一元二次方程无解的一个前提条件．

互动2.

例1 用公式法解一元二次方程：x2－3x＋2＝0

解：∵a＝1，b＝-3，c＝2．

又∵b2－4ac＝（-3）2－4×1×2＝1＞0，

∴x1=2，x2=1．

在教师的引导下，学生回答，教师板书，提醒学生一定要先“代”后“算”．不要边代边算．引导学生总结步骤1．确定a、b、c的值．2．算出b2-4ac的值．3．代入求根公式求出方程的根．

例2不是一般形式，所以在利用公式法之前应先化成一般形式，另外注意例2中的b2－4ac＝0，方程有两个相同的实数根，应写成x1＝

例3用公式法解一元二次方程：

（1）X（1

2

x-1）=（X-2）2；（2）x2+x＋1＝0

其中第一题要先化简成一般形式,如系数是分数或小数,可以直接代公式,也可以先把系

数化成整系数后再代公式,视实际清况而定.第二题b2－4ac＜0,方程无实数根.

明确：运用公式法解一元二次方程的步骤：（?1）?把方程化为一般形式，?确定a、b、c的值；（2）求出b2-4ac的值；（3）若b2-4ac≥0，把a、b、c及b2-4ac的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若b2-4ac<0，此时方程无解．

练习：P．35课内练习1。熟悉公式法的步骤，训练快速准确的计算能力．

互动3

请同学们根据学习体会、小结一下解一元二次方程的几种方法，通常你是如何选择的？请同学们交流，教师鼓励发言．

明确: 解一元二次方程一般有以下四种方法：直接开平方法、因式分解法、配方法、求根公式法．（1）当方程形如（x-a）2=b（b≥0）时，可用直接开平方法；（2）?当方程左边可以直接简单因式分解时，可选用因式分解法；（3）?配方法是一种重要的解法，尤其要熟悉配方法的整个过程，但解一般方程不选用这种解法；（4）?公式法是一元二次方程最重要的、最常用的解法，任何一元二次方程都可以选用这种解法，我们有时也称它为万能公式．练习：P．35课内练习2。合理选择解法．

(三)达标反馈,深化新知

（1）用公式法解方程4x2+12x+3=0，得到（A）

A．B．C．D．

（2）关于x的一元二次方程x2-2x+2+K=0有两个实数根，则k的取值范围是

（3）不解方程，你能说出下列方程解的个数吗：

x2-2x-2=0 4x2-4x+1=0 2x2-x+2=0，

（四）总结及布置作业

引导学生从以下几个方面总结：

≥0）．

（2）利用公式法求一元二次方程的解的步骤：①化方程为一般式．②确定a、b、c的值．③算出b2－4ac的值．④代入求根公式求根．公式法与配方法都是通法，前者较之后者简单．

2.求根公式是指在b2－4ac≥0对方程的解，如果b2-4ac＜0时，则在实数范围内无

实数解．渗透一种分类的思想．

2.3一元二次方程的应用（2）

【教学目标】

◆1. 继续探索一元二次方程的实际应用，进一步体验列一元二次方程解应用题的应用价值．

◆2. 进一步掌握列一元二次方程解应用题的方法和技能. ?教学重点与难点?

◆教学重点：本节教学的重点是继续探索一元二次方程的应用.

◆教学难点：＂合作学习＂的问题教为复杂，计算量大，是本节的难点. ?教学过程? 1．复习提问，

（1）列方程解应用题的基本步骤？ 答： ①审题；

②找出题中的量，分清有哪些已知量，哪些未知量，哪些是要求的未知量； ③找出所涉及的基本数量关系； ④列方程； ⑤解方程； ⑥检验．

2．新课讲解，

列一元儿次方程解应用题在初中阶段主要有三类问题：（1）变化率问题；（2）市场

营销中单价、销量、销售额以及利润之间的相互关系问题；（3）根据图形中的线段长度、面积之间的相互关系建立方程的问题．而我们今天要解决的就是根据图形中的线段长度、面积之间的相互关系建立方程的问题．

如图2-4，有一张长40cm ，宽25cm 的长方形硬纸片，裁去角上四个小正方形之后，折成如图2-5那样的无盖纸盒．若纸盒的底面积是450cm,那么纸盒的高是多少？

分析 设纸盒的高为x (cm)，那么裁去的四个小正方形的边长也是x （cm ），这样就可以用关于x 的代数式表示纸盒底面长方形的长和宽，根据纸盒的底面积是450cm ，就可以列出方程．

解 设纸盒的高为x （cm ），则纸盒底面长方形的长和宽分别为（40-2x ）cm ，（25-2x ）cm ．由题意，得

(402)(252)450x x --= 化简、整理，得 2

2652750x x -+=

解这个方程，得 125,27.5x x ==（不合题意，舍去）

答：纸盒的高为5cm.

接下来，同学们来做一下课内练习题１． １． 围绕长方形公园的栅栏长280m ．已知该公园的面积为4800㎡,求这个公园的长与宽． 解： 设公园的一边长为x(m),则另一边长为（140-x ）m ，由题意，得 (140)4800x x -= 化简、整理，得 2

1404800x x -+= 解这个方程，得 1280,60()x x ==舍去

答：略。

合作学习：

一轮船一30km/h 的速度由西向东航行（如图2-6），在途中接到台风警报，台风中心正以20km/h 的速度由南向北移动．已知距台风中心200km 的区域（包括边界）都属于受台风影响区．当轮船接到台风警报时，测得BC=500km,BA=300km.

(1) 如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？你采用什么方法来判

断？

(2) 如果你认为轮船会进入台风影响区，那么从接到报警开始，经过多少时间就

进入台风影响区？

建议：

①假设经过t 时后，轮船和台风中心分别在cb 位置； ②运用数形结合的方法寻找相等关系，并列出方程； ③通过相互交流，检查列方程，计算等过程是否正确； ④讨论：如果把航速改为10km/h,结果该怎样？

提示：①几何画版给出演示；

②若从接到台风警报开始，经过t 时，轮船到达C ’点，台风中心到达B ’点，那么船

是否受到台风影响与什么有关？

③当B’C’符合什么条件时船受到台风影响？

④你能用关于t的代数式表示B’,C’两点之间的距离吗？

⑤你能用一元二次方程表示船开始受台风影响的条件吗？

解答（略）

练习

（1）练习：P40——课内练习2

（2）补充练习：P40---作业题5

二、课堂小结：

体会如何根据图形中的线段长度、面积之间的相互关系建立方程的问题。从中学到了什么？

三、作业：

课堂作业本