武汉四调理科数学第12题函数最大值的最小值问题

第126题（供题人：陕西西安赵钊编辑：湖北来凤李光荣）

题目出处：2019届武汉四月调考理数12

题目：已知函数3

()f x x ax b =++定义域为[1,2]-，记|()|f x 的最大值为M ，则M 的最小值为（）A.4

B.3

C.2

D. 3．

答案：C..解题策略分析：本题函数绝对值的在闭区间的最值问题，属于困难题，处理此题的常见思路有铅锤大法（纵向距离），构造平口单峰函数，取点控制法，分类讨论，切比雪夫最佳逼近等．下面是老师们的精彩解法．

思路一：铅锤大法（江苏宿迁张延春，广东阳江曾广荣，浙江义乌鲁明明，浙江台州鲍伟伟，浙江杭州王水水，湖北武汉张广大，河南郑州苗洪涛）

解法一：由设()3g x x =，[1,2]x ∈-，用两条平行的直线12,l l 夹住曲线()3

g x x =，[1,2]x ∈-，当两平行线间的铅锤距离最小时，

其铅锤距离的一半就是()f x 的最大值M 的最小值。

注意到()1,1A --，()2,8B ，3AB k =，直线AB 的方程为32y x =+，

考虑与AB 平行的直线与曲线()3

g x x =相切，设切点为()00,x y ，由()23g x x '=，则2

033x =，得01x =或01x =-（舍），所以切点为()1,1，切线方程为32y x =-，

于是()

2222M --≥=，得M 的最小值为2.

感悟反思：此法的一般模型为：如何求()|()()|g x f x ax b =-+(,a b 为参数，[,]x m n ∈)最大值中的最小值?

解决问题的方法，形象地说，就是用两条平行线去夹住曲线()f x ,当两平行线间的铅锤距离

最小时，其距离的一半，就是()g x 最大值的最小值。这个方法我们称为“铅锤大法”。它是通过

直接确定取最大值的最小值状态之后，求出参数值(或参数之间的制约关系)，从而求得()g x 最大值的最小值（陈永清老师）.

思路二：构造平口单峰函数（浙江义乌鲁明明，浙江温州刘雨阳，陕西铜川祝敏坤，浙江杭州龚大成，安徽淮北马建）

解法二：记3|()|||f x x ax b =++，设3

|()||[()]|f x x x a x b λλ=---+-设3

()g x x x λ=-，由(1)g(2)g -=，解得=3λ-.容易验证3()3g x x x =-，[1,2]x ∈-是平口单峰函数.

故max min min ()()2(2)222

g x g x M ---===感悟反思：自从吴剑老师写了构造平口单峰函数的文章后，这种问题逐渐成为套路题，问题的难点集中在如何构造平口单峰函数，方法二通过待定系数法构造平口单峰函数，其实也蕴含了解题者对3()g x x x λ=-图象的深刻认识.

其实单口平峰和铅锤距离本质上是一样的，只是一个水平一个倾斜而已，水平的平口单峰函数更容易观察.可以说，平口单峰就是铅垂距离的一个特例.

平口单峰函数的引理：若()f x 为[,]m n 上的连续单峰函数，且()()f m f n =，0x 为()f x 的极值点；则当,k b 变化时，()|()|g x f x ax b =--的最大值的最小值为0|()()|2

f n f x -，当且仅当0()()0,2

f n f x k b +==时取得.思路三：取点控制法（河南安阳肖成荣，广东阳江曾广荣，安徽淮北马建）

解法三：依题意|()|,[1,2]M f x x ≥∈-.分别令1,1,2x x x =-==于是得到：

|(1)||1||(1)||1||()||8+2+|M f a b M f a b M f x a b ≥-=--+⎧⎪≥=++⎨⎪≥=⎩

所以32|1||333||1642|12

M M M a b a b a b ++≥--+++++++≥则2M ≥，当1182a b a b a b --+=---=++时，即3,0a b =-=时取等号.感悟反思：在处理函数最大值的最小值问题时，借助不等式时常常取特殊点进行控制：①对于二次函而言一般选用三点控制，这三点分别是区间端点和区间中点；②对于二次平口的打勾函数而言，这三点一般是区间端点和极值点；对于一般的打勾函数而言，这三点一般是区间端点和打勾函数两区间端点连线平行且与打勾函数相切的直线与打勾函数的切点；③对于一般的三次函数而言，一般需要四点才能控制，这四点分别是两区间端点和分别靠近两个端点的两个四等分点．

值得注意的是，对于缺少常数的二次函数或者缺项的三次函数而言，可能选取点的原则会发生改变，这个要根据题目条件而定.本题即是选取三点控制,有兴趣的读者可以参阅2017年全国高中数学联赛预赛第9题

.

思路四：分类讨论（浙江杭州龚大成，湖北武汉丁昊旻）

分析：负责把函数图象进行上下平移，使的最小值为：

解法四：()

()2

f x f x b +-= ，()f x

∴的图象关于点(0,)b

对称.

若，则

在

上是增函数，所以

若

，则

在

上递增，在

上递减，在上递增.

当

，即时，

在

上是减函数，所以

当

，即

时，

在

上是减函数，在

上是增函数，且

（当

时取等号），所以，

当

时取等号.

当，即时，在上的最大值是，

综上可知：的最小值为，选.感悟反思：对于含参的最值问题，分类讨论函数的单调性从而求最值是常见的思想方法和处理手段．不过此题利用分类讨论计算非常繁琐，需要强大的计算能力和良好的心理素质，两位解题老师做了非常好的示范.

总评

本题的背景是切比雪夫多项式，在高考题中以切比雪夫多项式为背景的代表试题有2016年全国3卷理数21题和2016年天津理数20题.

相似题1（安徽淮北马建）

已知函数1()||f x x ax b x =+

--，当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，设()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为

．【答案】14

.相似题2（安徽淮北马建）

设函数2()||f x x ax b =++，若对于任意实数a ,b ，总存在0[0,4]x ∈，使得0()f x M ≥成立，则实数m 的取值范围是

．【答案】2m ≤.

相似题3（安徽淮北马建）

设函数()||f x x ax b =--，若对于任意实数a ,b ，总存在0[0,4]x ∈，使得0()f x M ≥成立，则实

数m 的取值范围是

．【答案】14

m ≥.相似题4（广东阳江曾广荣）

设函数32

()||f x x ax bx c =+++，,,R a b c ∈，若对于任意实数a ，b ，c ，总存在0[0,4]x ∈，使得不等式0()f x M ≥成立，则实数m 的取值范围是

．【答案】2m ≤.