节能评估培训 清华大学孟教授讲稿

5. 期首年金的本利和计算（图6） 期首年金的本利和计算（ ）
图6 期首年金流量图
上面讨论的普通年金R是在每年年末投入（或回收） 上面讨论的普通年金 是在每年年末投入（或回收）的，如果我们 是在每年年末投入 现在改为年初投入（或回收）的年金为T（称为期首年金），按利率i做 ），按利率 现在改为年初投入（或回收）的年金为 （称为期首年金），按利率 做n 次复利计算，其本利和F应该是 应该是： 次复利计算，其本利和 应该是： F=T（1+i）n+T（1+i）n-1+…+T（1+i） （ ） （ ） （ ） 等号两边乘以（ ）： 等号两边乘以（1+i）： （1+i）F=T（1+i）n+1+T（1+i）n+…+T（1+i）2 ） （ ） （ ） （ ） 减去上式， 减去上式，则： iF=T（1+i）n+1-T（1+i） （ ） （ ） ∴F=T(1+i)[(1+i)n-1]/i, 或 T=F×i/(1+i)[(1+i)n-1] ×
第三年后未回收的资金： 第三年后未回收的资金： ［P（1+i）2-R（1+i）-R］（ ）-R （ ） （ ） ］（1+i） ］（ =P（1+i）3-R（1+i）2-R（1+i）-R （ ） （ ） （ ） 年后未回收的资金应为残值L 第n年后未回收的资金应为残值 年后未回收的资金应为残值 L=P（1+i）n-［R（1+i）n-1+R（1+i）n-2+…+R］
0 1 2 3 4 5 …… n
F
图4 等额多次投资现金流量图
3. 资本回收系数与等额现值因子 若初始投入资金P，欲在 年内 每年年底等额回收资金R， 年内， 若初始投入资金 ，欲在n年内，每年年底等额回收资金 ， 在年利率为i的条件下 还清投资P的本利和 的条件下， 的本利和， 的数值是多少？ 在年利率为 的条件下，还清投资 的本利和，求R的数值是多少？ 的数值是多少
5
图2 累计现金流量图
二、 复利计算关系式
1. 一次支付的复利公式 第一年年初投入现金P，年末获利 ； 第一年年初投入现金 ，年末获利iP； 第一年末本利和F 第一年末本利和 1=P+iP=P（1+i）； …… 年末本利和F 第n年末本利和 n=P（1+i）n 年末本利和 则 F=P（1+i）n P=F/（1+i）n
R=P（1+i）n×i/（1+i）n-1］ （ ） （ ） ］ ……（5） （ ） 令 RP＝［（1+i）n×i］/［（ ）n-1］，称为资本回收系数。 ＝［（ ） ］ ［（1+i） ］，称为资本回收系数。 ［（ ］，称为资本回收系数 同理 P=R［（ ）n-1］/［i（1+i）n］ ［（1+i） ］ ［ （ ） ［（ ……（6） （ ） ＝［（1+i） ］ ［ （ ） ］，称为等额现值因子 称为等额现值因子。 令 PR＝［（ ）n-1］/［i（1+i）n］，称为等额现值因子。
企业节能技术经济评价方法
一、 基本概念
1. 资本与货币
在进行技术经济评价时，为了进行定量计算与比较， 在进行技术经济评价时，为了进行定量计算与比较，把整个生产过程 和消费过程中直接或间接有关的社会财产（如厂房、设备、工具、原材料、 和消费过程中直接或间接有关的社会财产（如厂房、设备、工具、原材料、 燃料、动力以及成品）都看作是资本。 燃料、动力以及成品）都看作是资本。 这是一个相当抽象的概念，所代表的品种、属性不同，很难进行比较， 这是一个相当抽象的概念，所代表的品种、属性不同，很难进行比较， 更不便于分析与计算。为此，我们把它们统一地化为货币， 更不便于分析与计算。为此，我们把它们统一地化为货币，作为统一的计 算单位，进行计算与比较。 算单位，进行计算与比较。
资本回收与残值（ 6. 资本回收与残值（图7）
图7 资本回收与残值 设有一节能技术改造项目，初始投入 工作 工作n年后还存有剩余价 设有一节能技术改造项目，初始投入P,工作 年后还存有剩余价 ），令年利率为 值L（称为残值），令年利率为 ，试问每年等额资本回收额 是多 （称为残值），令年利率为i，试问每年等额资本回收额R是多 少？ 第一年后未回收的资金： 第一年后未回收的资金： P（1+i）-R （ ） 第二年后未回收的资金： 第二年后未回收的资金： ］（1+i） ［P（1+i）-R］（ ）-R=P（1+i）2-R（1+i）-R （ ） ］（ （ ） （ ）
0.10 1.00 1.10 1.21 1.33 1.46 1.61 1.77 1.95 2.14 2.36 2.59
0.20 1.00 1.20 1.44 1.73 2.07 2.49 2.99 3.58 4.30 5.16 6.19
1.00 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
F=R（1+i）n-1+R（1+i）n-2+…+R（1+i）+R
（1+i）F=R（1+i）n +R（1+i）n-1+（1+i）n-2+…+R（1+i）
F=R［（1+i）n-1］/i ……（3） 称为等额复利系数。 令 FR=［（1+i）n-1］/i，称为等额复利系数。 R=F×i/［（1+i）n-1］……（4） 称为等额存储系数。 令 RF=i/［（1+i）n-1］，称为等额存储系数。 R
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
利息=本利和－本金 － 利息 本利和－本金=F－P 本利和 利率（ ）是单位时间内利息与本金的百分比值， 利率（i）是单位时间内利息与本金的百分比值，通常计算时间以年为 单位，称为年利率，特殊情况下还可以取得短些（如季、 单位，称为年利率，特殊情况下还可以取得短些（如季、月）。 计息时间的单位数称为计息周期数（ ）， 计息时间的单位数称为计息周期数（n）， 利率i=（单位时间利息 本金 本金P） 利率 （单位时间利息/本金 ）×100% 例如本金为100元，一年后回收110元，则利息 元 一年后回收 例如本金为 元 则利息=110-100=10元 元 年利率＝（ 年利率＝（110-100）/100=10% ＝（ ） 4. 单利与复利 单利计算时，只计算本金的利息， 单利计算时，只计算本金的利息，而不计算以前计算周期中利息所积 累的利息，其计算公式为： 累的利息，其计算公式为： 利息=（本金） 利息 （本金）×（计息周期数）×（利率）=P•ni 计息周期数） 利率） 本利和F=本金 利息 本利和 本金+利息 本金 利息=P+P•ni=P（1+ni） ） 复利计息时，在某一计算周期中的利息，是由本金 加上先前计算周 复利计息时，在某一计算周期中的利息，是由本金P加上先前计算周 期的利息的总和进行计息。 利上加利” 它反映出资金的时间价值。 期的利息的总和进行计息。即“利上加利”，它反映出资金的时间价值。 F=P（1+i）n
2. 资金的时间价值
资金是发展经济的基础，也是取得经济效益的前提。 资金是发展经济的基础，也是取得经济效益的前提。现有企业进行节 能技术改造，必须要投入资金。 能技术改造，必须要投入资金。在我国资金作为一种短缺的资源对我国经 济的影响更为显著，所以我们要十分珍惜现有资金，用好资金。 济的影响更为显著，所以我们要十分珍惜现有资金，用好资金。
表1 本利和与负利率数值表
利率i 计息 周期数n
0.01 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10
0.02 1.00 1.02 1.04 1.06 1.08 1.10 1.13 1.15 1.17 1.19 1.22
0.06 1.00 1.06 1.12 1.19 1.26 1.34 1.42 1.50 1.59 1.69 1.79
∴L=P（1+i）n-R［（1+i）n-1］/i 或 当
R=(P-L）i(1+i)n/[(1+i)n-1]+Li L=0时， R=P（1+i）ni/［（1+i）n-1］
7. 等值 等值在经济分析中是一个非常重要的概念， 等值在经济分析中是一个非常重要的概念，它基于时值与利 率两个概念，表示在不同的时刻的不同金额货币，是可以具有相 率两个概念，表示在不同的时刻的不同金额货币， 等的经济价值的。这样我们就可以利用上述各种复利公式， 等的经济价值的。这样我们就可以利用上述各种复利公式，把不 同时间的货币折算到某一个时刻进行比较。例如，年利率为6%的 同时间的货币折算到某一个时刻进行比较。例如，年利率为 的 100元钱与一年后的 元钱与一年后的106元钱等值，同时今年的 元钱等值， 元钱与一年后的 元钱等值 同时今年的100元钱又和一年 元钱又和一年 前的94.34元钱等值，这是因为它们的利率相等（i=6%），于是可 元钱等值， ），于是可 前的 元钱等值 这是因为它们的利率相等（ ）， 以看出等值的必要条件是利率相同。它指明了在不同时间，偿还 以看出等值的必要条件是利率相同。它指明了在不同时间， 不同数目的款项其总和的数值（绝对值）虽然不同， 不同数目的款项其总和的数值（绝对值）虽然不同，但是满足复 利计算的各类关系式，其价值就是相等时，我们称为等值。 利计算的各类关系式，其价值就是相等时，我们称为等值。 ［例1］如果以年利率 ］如果以年利率i=6%，按复利公式计算下列七种情况： ，按复利公式计算下列七种情况：
4. 各种系数间的数学关系 （1） 倒数关系 ）
图5 复利系数倒数关系图
FPPF=1，RPPR=1，FRRF=1 FPRFPR=1，PFRPFR=1 （2） 资本回收系数与等额存储系数相差一个 ，即RP=RF+i ） 资本回收系数与等额存储系数相差一个i， ［证明］ 证明］ RP=i（1+i）n/［（1+i）n-1］ （ ［ ］ =［i（1+i）n-i+i］/［（1+i）n-1］ ［ ］［ ］ =i+i/［（1+i）n-1］ ［ ］ 得证。 则RP=RF+i得证。 得证
3. 利息和利率
资金的时间价值表现在资金的增值上， 资金的时间价值表现在资金的增值上，增值的大小是用利息或利率 来表示。原始投入的资金（或借款）称为本金（ ），本金经过一段时间， ），本金经过一段时间 来表示。原始投入的资金（或借款）称为本金（P），本金经过一段时间， 所积累的金额称为本利和（ ），它包括原来的本金及其增值， ），它包括原来的本金及其增值 所积累的金额称为本利和（F），它包括原来的本金及其增值，其增值部 分就是利息。 分就是利息。
5. 现金流量图 为了便于今后数学计算，我们引用现金流量图， 为了便于今后数学计算，我们引用现金流量图，表示一个项目 从开始到寿命终结其间的资金流动情况。 从开始到寿命终结其间的资金流动情况。
图1 现金流量图
6. 累计现金流量图 我们把投入系统的资金称为现金流入， 我们把投入系统的资金称为现金流入，把一切收益看作产出称 为累计现金流量图（见图2）。从图2中可以直观地进行项目技术经 ）。从图 为累计现金流量图（见图 ）。从图 中可以直观地进行项目技术经 济评价。图中F点为收支平衡点 点为收支平衡点； 为投资回收期 为投资回收期， 为最大累 济评价。图中 点为收支平衡点；AF为投资回收期，QD为最大累 计投资额； 为项目的总收入 为项目的总收入， 为净收益。 计投资额；PH为项目的总收入，PH-QD为净收益。 为净收益 显然，投资收益倍率 显然，投资收益倍率k=（PH-QD）/QD=（PH/QD）-1；PH， PH-QD和k愈大愈好；AF，QD愈小愈好。 愈大愈好； 愈小愈好。 和 愈大愈好 愈小愈好
在进行技术经济评价过程中，不仅要重视投资数额的大小， 在进行技术经济评价过程中，不仅要重视投资数额的大小，而且要 投资的使用与发挥效益的时间联系起来，进行综合考核与分析， 把 投资的使用与发挥效益的时间联系起来，进行综合考核与分析，这就 是要考虑资金的时间价值。 是要考虑资金的时间价值。 生产者和资金的使用者投入一笔资金，无论是购置厂房、 生产者和资金的使用者投入一笔资金，无论是购置厂房、设备等固 定资产，还是增加燃料、原料、动力等流动资产， 定资产，还是增加燃料、原料、动力等流动资产，都是生产过程中必不 可少的要素，在生产过程中一定会创造出剩余价值， 可少的要素，在生产过程中一定会创造出剩余价值，从资金的运动过程 来看，也表现出资金经过生产过程而产生了增值。 来看，也表现出资金经过生产过程而产生了增值。 资金的时间价值包括许多因素，主要的应有：投资利润率， 资金的时间价值包括许多因素，主要的应有：投资利润率，通货膨 胀率和风险因素。只有能够保证抵偿这些损失，投资者才会乐于把资金 胀率和风险因素。只有能够保证抵偿这些损失， 投入生产，发展国民经济，在技术经济评价中必须注意这一特性。 投入生产，发展国民经济，在技术经济评价中必须注意这一特性。
……（1）
P
F
0 1 2 3
Hale Waihona Puke Baidu……
n
图3 一次投资现金流量图
第二年末本利和F 第二年末本利和 2=P（1+i）+iP（1+i）=P（1+i）2；
其中： Fp=（1+i）n 称为复利系数。
……（2）
其中： PF=1/（1+i）n 称为折现系数。 2. 等额多次支付的复利公式 年中， ），则 年后 年后， 在n年中，每年底投入资金 （有时称为等额年金），则n年后，本利和 年中 每年底投入资金R（有时称为等额年金）， F应是各期投入资金的本金与复利的总和。 应是各期投入资金的本金与复利的总和。 应是各期投入资金的本金与复利的总和