射影定理(课堂PPT)

DFBC于F,求证 : CEF∽ CBA.C
F
证法一：
CDAB DEAC
CD2
CE
CA
E A
D
B
CDDFCEBACCBA CFCDCB2
CF
CB
CE
CF
CB CA
ECF BCA
CEF ∽ CBA.
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例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F,求证 : CEF∽ CBAC.
这就是射影定理
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直角三角形中的成比例线段
具体题目运用：
ACBC BC2 BD AB
CDAB AC2 AD AB A CD2 AD DB
C DB
根据应用选取相应的乘积式。
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C
利用射影定理证明勾股定理: A
DB
AC2 BC2 AD AB BD AB AB2
射影定理只能用在直角三角形中,且必须
1
原来学好数 学，一点都 不难！
2
教
复
新
例
练小
学
目 标
习
课
题
习结
3
你知道吗？
直角三角形中的成比例线段
使学生了解射影的概念，掌握 射影定理及其应用。
直角三角形中的比例线段定理 在证题和实际计算中有较多的 应用。
例2证法有一定的技巧性。
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直角三角形中的成比例线段
1.
已学习了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方 法。今天我们进一步学习直角三角形的特性。
CDAB
CA2
AC
BC
AD AB
CD
AB
AC BC
AD CD
CA CD CB AD
3.不能。只能证明 CDB ∽
ACB
。
CDAB
若已知 ABC是直角三角形。ACB 90， 则能推出
。
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直角三角形中的成比例线段
•运用射影定理时，注意前提条件
•求边注意联系方程与勾股定理
•如图中共有6条线段，已知任意2条，
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直角三角形中的成比例线段
这节课的知识， 你都听懂了吗？
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不要忘了 哦！！
直角三角形中的成比例线段 25
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例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F,求证 : CEF∽ CBA.C
F
E
分析:欲证 CEF∽ CBA. A D
Bຫໍສະໝຸດ Baidu
已具备条件 ACB ECF 公共角
要么找角,
CEF B或 CFE A
要么找边.
CE CF CB CA
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例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
所以：AC2 AB DA
A
DB
同理，得：CDB ∽ ACB CD DB CB CB2 AB DB
AC CB AB
ACD ∽ CBD AC CD AD CD2 BD AD
CB BD CD 6
直角三角形中的成比例线段
在RtABC中，CD是高，则有
C
AC是AD,AB的比例中项。
BC是BD,AB的比例中项。
垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在 l A’ B’
直线l上的正射影，简称射影。
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各种线段在直线上的射影的情况：
B A
A B’
A’ B’ l
A’
l B
直角三角形中的成比例线段
A B
A’ B’ l
如图,CD是 RtABC的斜边AB的高线 这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高 AD是直角边AC在斜边AB上的射影, A
大家先回忆一下：
在RtABC中，C=90,有__A_C__2____B_C__2____A_B__2__.
(1)一锐角相等 (2)任意两边对应 成比例.
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直角三角形中的成比例线段
如图， ABC中，C 90, CDAB.
C
由母子相似定理，得
ADC ∽ ACB
推出：AC CD DA
AB BC CA
CD是BD,AD的比例中项。
A
DB
那么AD与AC，BD与BC是什么关系呢？
这节课，我们先来学习射影的概念。
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直角三角形中的成比例线段
1.射影：
（1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN
上的影子应是什么？
B
（2）线段留在MN上的影子是什么？ M B’
.A A’ N
定义：
B
过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线， A
BD是直角边BC在斜边AB上的射影。
C DB
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直角三角形中的成比例线段
由复习得：
BC2 BD AB AC2 AD AB CD2 AD DB A
用文字如何叙述？
C DB
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直角三角形中的成比例线段
直角三角形中,斜边上的高线是两条 直角边在斜边上的射影的比例中项, 每一条直角边是这条直角边在斜边 上 的射影和斜边的比例中项.
求其余线段。
C
AD
B
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•直角三角形两锐角互余 •勾股定理 •直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 •直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半 及其逆定理。
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•直角三角形斜边上的高线分成的两直角三角形 与原三角形相似（母子相似定理）
•（由面积得） 两直角边积等于斜边上的高与斜边的积 • 射影定理
F
证法二：
1
RtCDF中，CD为外接圆的直径
RtCDE中，CD为外接圆的直径
E2 AD
四边形CEDF为圆内接四边形 1 2
RtCDB
2 B
B
DFCB
1 B
ECF BCA CEF ∽ CBA
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直角三角形中的成比例线段
书 P138 T2 T3
没问题吧！
参考答案：
2.证明：
ACB Rt
有斜边上的高
这里犯 迷糊， 可不行！
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例1 如图,若AD=2cm,DB=6cm,求CD，AC,BC的长。
C
分析：利用射影定理和勾股定理
CD2 AD DB 2 6 12,
解:
CD
12 2
3cm;
AD
B
AC2 AD AB 2 2 6 16,
AC 16 4cm;
BC2 BD AB 62 6 48,
cm.
4
4
（4）CD= 3 cm,BC= 2 3cm.
你都做对 了吗？
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你都弄懂了吗？
(1)在RtABC 中,CD为斜边AB上的高,图中共有6条线段
AC,BC,CD,AD,DB,AB 已知任意两条,便可求出其余四条. (2)射影定理中每个乘积式中,含三条线段,若已知两条 可求第三条. (3)解题过程中,注意和勾股定理联系,选择简便方法.
BC 48 4 3cm.
答:CD,AC,BC的边长分别为 2 3cm,4cm,4 3cm
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直角三角形中的成比例线段
书 P137
T1
参考答案：
1. （1）CD=6cm, AC=3 13 cm.
（2）BD= 144 cm, CD = 60 cm.
13 （3）AB= 25 cm, AC=
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