阴影部分面积计算题
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求阴影部分图形面积新题型
近年来的中考数学试卷中,围绕图形面积的知识,出现了一批考查应用与创新能力的新题型,归纳起来主要有:
一、规律探究型
例1宏远广告公司要为某企业的一种产品设计商标图案,给出了如下几种初步方案,供继续设计选用(设图中圆的半径均为r).
(1)如图1,分别以线段O1O2的两个端点为圆心,以这条线段的长为半径作出两个互相交错的圆的图案,试求两圆相交部分的面积.
(2)如图2,分别以等边△O1O2O3的三个顶点为圆心,以其边长为半径,作出三个两两相交的相同的圆,这时,这三个圆相交部分的面积又是多少呢?
(3)如图3,分别以正方形O1O2O3O4的四个顶点为圆心,以其边长为半径作四个相同的圆,则这四个圆的相交部分的面积又是多少呢?(2005年黄冈市中考题)分析(1)利用“S阴=S菱形AO1BO2=4S弓形”即可;(2)利用“S阴=S△O1O2O3+3S弓”即可;(3)•直接求解比较困难,可利用求补法,即“S阴=S正方形O1O2O3O4-S空白”,考虑到四个圆半径相同,若延长O2O1交⊙O1•于A,则S空白=4S O1AB,由(1)根据对称性可求S O1BO4,再由“S O1AB=S扇形AO1O4-S O1BO4”,这样S空白可求.
解答(1)设两圆交于A、B两点,连结O1A,O2A,O1B,O2B.
则S阴=S菱形AO1BO2+4S弓.
∵S菱形=2S△AO1O2,△O1O2A为正△,其边长为r.
∴S△AO1O23
2,S弓=
2
60
360
r
π3
2=
2
6
r
π3
2.
∴S阴=23
2+4(
6
π
r2
3
r2)=
2
3
πr2
3
2.
(2)图2阴影部分的面积为S阴=S△O1O2O3+3S弓.∵△O1O2O3为正△,边长为r.
∴S△O1O2O3=
3
4
r2,S弓=
2
60
360
r
π
-
3
4
r2.
∴S阴=
3
4
r2+3(
2
6
r
π
-
3
4
r2)=
2
π
r2-
3
2
r2.
(3)延长O2O1与⊙O1交于点A,设⊙O1与⊙O4交于点B,由(1)知,S O1BO4=1 2
(2
3
πr2-
3
2
r2).
∵S O1AB=S扇形AO1O4-S O1BO4
=
2
90
360
r
π
-
1
2
(
2
3
πr2=
3
2
r2)
=
2
4
r
π
-
1
3
πr2+
3
4
r2.
则S阴=S正方形O1O2O3O4-4S O1AB
=r2-4(
2
4
r
π
-
1
3
πr2+
3
4
r2)
=r2+
1
3
πr2-3r2=(
1
3
π+1-3)r2.
二、方案设计型
例2 在一块长16m,宽12m的矩形荒地上,要建造一个花园,要求花园所占面积为
荒地面积的一半.下面分别是小明和小颖的设计方案.
小明的设计方案:如图1,其中花园四周小路的宽度相等,经过解方程,•我得到路的宽为2m或12m.
小颖的设计方案:如图2,其中花园中每个角上的扇形都相同.
(1)你认为小明的结果对吗?请说明理由.
(2)请你帮助小颖求出图中的x(精确到0.1m)
(3)你还有其它的设计方案吗?请在右边的矩形中画出你的设计草图,•并加以说明.(2004年新疆建设兵团中考题)
分析(1)由小明的设计知,小路的宽应小于矩形荒地宽的一半,由此判断即可;(2)可由“花园面积为矩形面积一半”列方程求x;(3)可由图形对称性来设计.解(1)小明的结果不对.
设小路宽xm,则得方程
(16-2x)(12-2x)=1
2
×16×12
解得:x1=2,x2=12.而荒地的宽为12m,若小路宽为12m,不符合实际情况,故x2=12m 不合题意.
(2)由题意,4×
2
4
x
π
=
1
2
×16×12
x2=96
π
,x≈5.5m.
(3)方案有多种,下面提供5种供参考:
三、网格求值型
例3 图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每个小三角形都是边长为1个单位长度的正三角形,这样的三角形称为单位正三角形.
(1)直接写出单位正三角形的高与面积;
(2)图1中的ABCD含有多少个单位正三角形?ABCD的面积是多少?
(3)求出图1中线段AC的长(可作辅助线);
(4)求出图2中四边形EFGH的面积.(2005年吉林省中考题)
分析(1)由正三角形边角关系来求;(2)仔细观察图1便可找到答案;(3)考虑到图1中AB=3,BC=4,∠B=60°,可作△ABC的高AK,构造直角三角形,•再利用解直角三角形知识即可求得;(4)可利用网格构造特殊格点图形,再由求补法计算四边