7滑模控制解析

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（如何修正上面推导出的控制规律以消除颤振？）
控制规律 u u k sgn(s) 在通过曲面S(t)时是不连续的原因是什么？
u s
^
解决方法：在切换曲面附近的 薄边界层上平滑控制的不连续性
把控制规律u中的 sgn(s)项改为s /
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薄边界层 B(t ) {x, | s( x, t ) | }, 0 其中是边界层厚度， / n1是边界层宽度
控制
2
7.1
考虑单输入动态系统
滑动曲面
x( n) f ( x) b( x)u
其中，标量x是感兴趣的输出，u是控制输入。非线性函数f(x)不是
精确已知的，但f(x)不精确性范围的上界是x的一个已知连续函数。
同样，b(x)也不是精确已知，但其符号已知且其范围受一个x的连续 函数界定。 现在的控制问题是:在f(x)和b(x)具有建模不精确性的情况下 ，使 状态x跟踪特定的时变状态
s , 当s 0 (等价于 ) s , 当s 0
^
既然允许随时间变化，为了保证 边界层的吸引性，就要 修改滑动条件
1d 2 s | s | 2 dt
1 d 2 s （） |s| 2 dt
d dt [ s ] , 当s (等价于 ) d [ s ()] , 当s - dt
第七章 滑模控制
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反馈线性化的缺陷之一是: 当有不确定参数或未建模动 态时,不能确保鲁棒性.

建模不精确性可分为两个主要类型:
结构(或参数)不精确性(比如未知的系统参数) 未建模动态 (如建模时把摩擦处理成线性) 第一类不精确性包含在模型某些项中,而第二类是系统阶 数的不精确性
解决模型不确定性的两个主要方法是鲁棒控制和自适应

^
比如，给定系统x a(t ) x cos3x u 其中, a(t )未知，但是满足 1 a(t ) 2
从而得出 f 1.5 x cos3x, F 0.5 x | cos3x |
~ d n 1 为了使系统跟踪 x(t ) xd (t )，根据s ( x; t ) ( ) x0 dt ~ d 定义滑动曲面 s 0, 即s ( ) x x x dt ~ ~
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为了满足修改后的滑动条件,控制规律u变为
u u k ( x) sgn(s)
u u [k ( x) ]sat( s / )
^
^
而边界厚度的期望时间演化满足平 衡条件： k ( xd )
例如，再次考查系统x a(t ) x cos3x u, 其中a(t )未知，但是 1 a(t ) 2 假定期望轨线是 xd sin(t / 2). a(t ) | sin t | 1
2
^
2
2
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于是有 s x x d x f u x d x
^



~

~
（1）
使得 s 0的一个连续控制规律的 最好逼近u 为 u - f xd x
^
^
^

~
（2）
不管动态f的不确定性，为了满足 滑动条件，在穿越曲面 s 0时 在 u 上加一不连续项，即 sgn(s ) 1, s 0 u u k sgn(s ), sgn()为 sgn(s ) 1, s 0
( n 1) T [ xd , x d ,, xd ]
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7.1 记号简化
记 x x xd 为x的跟踪误差, 用标量方程s( x, t ) 0定义状态空间 Rn
~ d n 1 中的时变曲面 S (t ) : s ( x, t ) ( ) x 0 dt ~
其中是正常数。例如， n 2时，s x x; 如果n 3，有s x 2 x x
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渐近模态
满足滑Baidu Nhomakorabea条件的一个系统的性态见下图，其中n=2
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7.1.2 如何构造控制规律 给定 f(x) 和 b(x) 的不确定的界，如何构造控制律以满足滑动条件呢？ 例：考查二阶系统 x f u 其中，u是控制输入，动态f（可能是非线性的或时变的）不精确 知道，但其估计值为

^

f
假定f的估计误差受已知函数 F F ( x, x)限制，即| f f | F
例：水下车辆的简化模 型 m x c x | x | u m和c的界限分别是 1 m 5
^ ^



0.5 c 1.5
使用时变边界层平滑控 制输入。
得到估计值为m 5 , c 1.取 20， 0.1
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由滑动条件
，得
因此，总的控制规律为：
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最后的仿真结果：
2 ~ ~ ~
~
~
因为\lambda是正常数，
所以s(x,t)=0的特征方程具有n-1重负实根-\lambda， 所以s(x,t)=0表示了一个指数稳定的微分方程，当t趋于无穷 大时，跟踪误差指数收敛于0
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通过选择
x( n) f ( x) b( x)u 中的控制u，使得在曲面S(t)之外满足
1d 2 s , 当s 0 （滑动条件） s | s | 等价于 2 dt s , 当s 0
以得到使s恒为0。（\eta为一正常数） 满足滑动条件的曲面S(t)称为滑动曲面 在曲面上的系统性态称为滑动形态或滑动模
滑动模态
可以证明，即使系统实际的初始值 x(t=0) 偏离了期望值的初始值 x_{d}(t=0) ，系 统轨线仍然能在有效时间内到达曲面 S(t)，到达所需时间小于 | s (t 0) | /
取 控制规律为
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把上述控制修正到厚度为0.1的薄边界层中，得到
跟踪性能很好， 代价是高颤振
跟踪性能不如上面 的完美，但也很好。 是通过光滑控制规 律得到的
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在边界层中添加修正作用的直观理解可以继续发展: 边界层厚度是 时变的. 对系统 x
(n)
f ( x) b( x)u, 设b b 1
^
（3）
结合上面3个公式可得，
^ ^ 1 d 2 s s s [ f f k sgn(s )]s ( f f ) s k | s | 2 dt
取k ( x, x) F （ｋ取其它足够大的 值也可以） 则 ( f f ) s k | s | ( f f ) s F | s | | s |
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^ ^

| f f | F ( f f ) s F | s | 0 1 d 2 s | s | 2 dt
^
^
从k F 可以看出，当穿越曲面 s 0时，控制的 不连续部分k随参数不确定范围的增 加而增加。
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7.2 切换控制规律的连续逼近
滑模控制器的设计包括两个步骤： ① 选择反馈控制规律，使得滑动条件成立。考虑到模型不准 确和干扰的存在，控制规律在穿过S(t)时是不连续的，导致 了颤振。实际中，颤振是应该尽量避免的，因为它需要高 的控制功率，并且可能进一步激发在建模中被忽略的高频 动态 ② 对控制规律u做适当平滑，以得到控制带宽和跟踪精度之间 的最佳权衡
^ ~


2
现在完整的控制规律是 u - f x d x [k ( x) )] sat ( s / )

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仿真结果为：
其中常数 反映了从外部出发到达 边界层的时间，选得比 k ( xd )均值小 .
注：s-轨线，即s随时间的变化,它表示了模型不确定性假设的 有效性的时变度量； 16 边界层厚度描述的是动态模型不确定性随时间的变化。
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在边界层的外部，控制规律和以 前一样，保证边界层是吸引的； 所有从边界层内出发的轨线当t>0 时停留在边界层内。
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例如，系统x a(t ) x cos3x u, 其中a(t )未知，但是 1 a(t ) 2 假定期望轨线是 xd sin(t / 2). a(t ) | sin t | 1